行列式及其應(yīng)用論文

PAGEI目錄1.引言 22.行列式的概念 22.1排列與逆序 22.2n階行列式的定義 22.3行列式的基本性質(zhì) 32.4行列式按行（列）展開(kāi)定理 42.5重要公式與結(jié)論 52.6范德蒙德行列式的性質(zhì) 63.行列式的若干應(yīng)用 63.1行列式在線性方程組中的一個(gè)應(yīng)用（克拉默法則的應(yīng)用） 63.2行列式在初等代數(shù)中的幾個(gè)應(yīng)用 73.2.1用行列式分解因式 83.2.2用行列式證明不等式和恒等式 83.3.行列式在解析幾何中的幾個(gè)應(yīng)用 83.3.1用行列式表示公式（泰勒公式的行列式表示法） 83.3.2用行列式表示三角形面積 83.3.3用行列式表示直線方程 94.范德蒙德行列式的若干應(yīng)用 104.1范德蒙德行列式在行列式計(jì)算中的應(yīng)用 104.2范德蒙德行列式在微積分中的應(yīng)用 104.3范德蒙德行列式在向量空間理論中的應(yīng)用 124.4范德蒙德行列式在線性變換理論中的應(yīng)用. 12結(jié)論 13致謝 14PAGE1行列式及其應(yīng)用任蘭蘭,數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院摘要:行列式是線性代數(shù)一個(gè)重要的基本工具.本文首先對(duì)行列式的相關(guān)概念做了介紹,包括行列式的定義,性質(zhì),常見(jiàn)公式及結(jié)論等,然后通過(guò)例題詳細(xì)介紹了行列式在線性方程組,初等代數(shù)以及解析幾何中的應(yīng)用,以及范德蒙行列式在微積分以及向量空間等方面的應(yīng)用等.文章最后對(duì)行列式及其應(yīng)用做了總結(jié).關(guān)鍵詞:行列式;范德蒙德行列式;克拉默法則TheDeterminantsandTheirApplicationsAbstract:Thedeterminantisoneoftheelementarytoolsinlinearalgebra.Wefirstintroducethecorrespondingconceptionsofthedeterminants,suchasthedefinition,theproperties,theordinaryformulasandconclusions,thenwediscussindetailtheapplicationsofthedeterminantsinlinearequations,elementaryalgebra,andanalyticgeometryandsoon,wealsodiscusstheapplicationsoftheVandermondedeterminantincalculusandvectorspace.Finallywesummarizetheadvantagesofthedeterminants.Keywords:Determinant;Vandermondedeterminant;Cramerrule（6）將行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)k后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上,行列式的值不變.（7）分塊行列式的值等于其主對(duì)角線上兩個(gè)子行列式的值的乘積.例2.3.1（1）設(shè)是矩陣,為矩陣,且，,求?（2）設(shè)是矩陣,,把按列分塊為,其中是的第列,求.（3）設(shè)是方程的三個(gè)根,求行列式?解（1）.（2）,對(duì)于,第一列和最后一列對(duì)應(yīng)元素成比例,故其值為零,而.（3）由根與系數(shù)的關(guān)系知,于是.2.4行列式按行（列）展開(kāi)定理定義4在階行列式中,把元所在的第行和第列劃去后,留下來(lái)的階行列式叫做元的余子式,記作.,叫做元的代數(shù)余子式.引理1一個(gè)階行列式，如果其中第行所有元素除元外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即定理1行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和;推論3行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即或例2.4.1設(shè),求,其中為元素,的代數(shù)余子式.解.例2.4.2設(shè)階行列式,求中所有元素的代數(shù)余子式之和.解中所有元素的代數(shù)余子式,即中的所有元素.而中的所有元素的代數(shù)余子式之和,即的所有元素之和為2.5重要公式與結(jié)論（1）設(shè)為階方陣,則(或)表示對(duì)應(yīng)的行列式,記為（“”,”’”均表示轉(zhuǎn)置）（2）設(shè)方陣可逆,則（3）設(shè)為的伴隨矩陣,為的代數(shù)余子式.,則.（4）,(為階方陣).（5）,其中為階方陣,為階方陣.（6）范德蒙德（Vandermonde）行列式2.6范德蒙德行列式的性質(zhì)利用行列式的性質(zhì)容易推得：（1）若將范德蒙德行列式逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),可得：（2）若將范德蒙德行列式順時(shí)針旋轉(zhuǎn),可得：（3）若將范德蒙德行列式旋轉(zhuǎn),可得：3.行列式的若干應(yīng)用3.1行列式在線性方程組中的一個(gè)應(yīng)用線形方程組克拉默法則：如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零。即那么，方程有唯一解：利用行列式求解元線性方程組得,其中例3.1.1設(shè)曲線通過(guò)四點(diǎn),求系數(shù).解把四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程,得線性方程組其系數(shù)行列式是一個(gè)范德蒙德行列式,,而因此按克拉默法則,得唯一解.即曲線方程為.3.2行列式在初等代數(shù)中的幾個(gè)應(yīng)用3.2.1用行列式分解因式例3.2.1.1分解因式.解原式.3.2.2用行列式證明不等式和恒等式例3.2.2.1已知,求證.證明令,則.例3.2.2.2已知求證.證明令,則.3.3.行列式在解析幾何中的幾個(gè)應(yīng)用3.3.1用行列式表示公式設(shè)函數(shù)在的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義,在處有階導(dǎo)數(shù),則有3.3.2用行列式表示三角形面積例3.3.2.1已知平面中不共線的三點(diǎn)，由這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為.證明如下圖所示令,則因此有可以看出的大小與無(wú)關(guān).現(xiàn)在取即.則有即,得證.3.3.3用行列式表示直線方程例3.3.3.1直線方程通過(guò)兩點(diǎn)和的直線的方程為.證明由兩點(diǎn)式,我們得直線的方程為.將上式展開(kāi)并化簡(jiǎn),得,此式可進(jìn)一步變形為此式為行列式按第三行展開(kāi)所得結(jié)果.原式得證.4.范德蒙德行列式的若干應(yīng)用4.1范德蒙德行列式在行列式計(jì)算中的應(yīng)用例4.1.1求解把上式等號(hào)右邊的行列式的最后一行依次與前面的行交換,共交換3次,得此為4階范德蒙德行列式,得.4.2范德蒙德行列式在微積分中的應(yīng)用例4.2.1確定常數(shù)使.當(dāng)時(shí)為最高階的無(wú)窮小,并給出其等價(jià)表達(dá)式.解對(duì)的各項(xiàng)利用泰勒公式,有當(dāng)時(shí),若最高階無(wú)窮小在6階以上,則有方程組其系數(shù)行列式為范德蒙德行列式,由于.故以為未知數(shù)的方程組只有零解.;從而.這顯然不合題意.故以下考慮當(dāng)時(shí),最高階無(wú)窮小為6階的情形.令,這等價(jià)于此時(shí)為未知數(shù)的線性方程組,其系數(shù)行列式為范德蒙德行列式方程組有唯一一組依賴于的解：,從而在的領(lǐng)域內(nèi)的最高階無(wú)窮小,有下述形式的表達(dá)式：例4.2.2設(shè)至少有階導(dǎo)數(shù),對(duì)某個(gè)實(shí)數(shù)有證明.其中表示證明由已知條件,要證明,只要將寫(xiě)成與的線性組合即可.利用泰勒公式其中.這是關(guān)于的線性方程組.其系數(shù)行列式為后一行列式為范德蒙德行列式,其值為,故,于是可從方程組(1)把寫(xiě)成與的線性組合.我們只要證明即可.事實(shí)上,設(shè)，于是在此式中,分別令和令.則得4.3范德蒙德行列式在向量空間理論中的應(yīng)用例4.3.1設(shè)是數(shù)域上的維向量空間,任給正整數(shù).則在中存?zhèn)€向量,其中任取個(gè)向量都線性無(wú)關(guān).證明因?yàn)?所以只須在中考慮即可.取令.則是范德蒙德行列式,且.所以線性無(wú)關(guān).4.4范德蒙德行列式在線性變換理論中的應(yīng)用例4.4.1設(shè)數(shù)域上的維向量的線性變換有個(gè)互異的特征值,則（1）與可交換的的線性變換都是的線性組合,這里為恒等變換.（2）線性無(wú)關(guān)的重要條件為,這里.證明（1）設(shè)是與可交換的線性變換,且則是的不變子空間,令且.則由以下方程組（*）因?yàn)榉匠探M（*）的系數(shù)行列式是范德蒙德行列式,且所以方程組（*）有唯一解,故是的線性組合.（2）充分性:因?yàn)?，所以并?所以是可逆矩陣.又因?yàn)槭堑囊唤M基，線性無(wú)關(guān).必要性:設(shè)是分別屬于的特征向量,則構(gòu)成的一個(gè)基,因而有.若.則是的屬于的特征向量,故結(jié)論成立.若存在使，不防設(shè)全不為零.而.因而有.則利用范德蒙德行列式可知有一個(gè)階子式不為零,所以.從而.又因?yàn)榫€性無(wú)關(guān),所以線性無(wú)關(guān),矛盾.從而這里.結(jié)論在我們計(jì)算行列式時(shí)，可以根據(jù)行列式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)繁雜的行列式，熟悉掌握某些特殊行列式的運(yùn)用,比如范德蒙德行列式，若注意到行列式的行（列）含有從高到低或從低到高的冪次,可以考慮使用范德蒙德行列式.在解決線性方程組時(shí),我們可以考慮克拉默法則的應(yīng)用,在某些證明題中我們也可以利用行列式進(jìn)行證明,只要我們熟練掌握行列式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用方法,可以幫助我們解決好多繁雜的問(wèn)題,由于行列式本身運(yùn)算的簡(jiǎn)便性及可移植性,使得行列式的應(yīng)用成為未來(lái)的研究領(lǐng)域.參考文獻(xiàn):[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系著.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)[M].高等教育出版社,2003.[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系著.線性代數(shù)附冊(cè)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解[M].高等教育出版社,2003.[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系著.數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社,2001.[4]鄒應(yīng).數(shù)學(xué)分析習(xí)題及其解答[M].武漢大學(xué)出版社,2001.[5]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].高等教育出版社,1993.[6]吳良森,毛羽輝,宋國(guó)棟,魏木生.數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解[M].科學(xué)出版社,2002.[7]毛綱源.線性代數(shù)解題方法和技巧[M].湖南大學(xué)出版社,1987.[8]楊儒生,朱平天.線性代數(shù)習(xí)題集[M].江蘇教育出版社,1996.[9]王貴保.泰勒公式的行列式表示與應(yīng)用[J].