曲面的參數(shù)方程1課件

§2.2曲面的方程§2.2曲面的方程1一、曲面的方程二、曲面的參數(shù)方程三、球坐標系與柱坐標系Contents一、曲面的方程二、曲面的參數(shù)方程三、球坐標系與柱坐標系Con2

定義2.2.1:若曲面Σ與三元方程F(x,y,z)=0有如下關系:(1)Σ上任一點的坐標滿足方程F(x,y,z)=0;(2)不在Σ上點的坐標都不滿足方程F(x,y,z)=0;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面Σ的方程,而曲面Σ叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.F(x,y,z)=0

xyzoΣ一、曲面的方程定義2.2.1:若曲面Σ與三元方程F(x,y,z)3根據(jù)題意有化簡得所求方程解垂直平分面可以看成到兩定點A和B等距離的動點M(x,y,z)的軌跡，故點M的特征為由點的軌跡導出曲面方程根據(jù)題意有化簡得所求方程解垂直平分面可以看成到兩定點A和B等4解：因為所求平分面是與兩坐標面xOz和yOz有等距離的點的軌跡，因此M(x,y,z)在平分面上的充要條件是|y|=|x|即x+y=0與x-y=0例2求兩坐標面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。解：因為所求平分面是與兩坐標面xOz和yOz有等距離|y|=5解根據(jù)題意有所求方程為求M的軌跡方程已知，點M到O，M的距離比為1:2,解根據(jù)題意有所求方程為求M的軌跡方程已知，點M到O，M的距離6以下給出幾例常見的曲面.根據(jù)題意有所求的球面方程為特殊地：球心在原點時方程為

M0

M

R（2.2—1）（2.2—2）以下給出幾例常見的曲面.根據(jù)題意有所求的球面方程為特殊地：球7得上、下半球面的方程分別是：由將(2.2-1)展開后得

x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0（2.2—3）因此球面方程是一個三元二次方程，它的所有平方項的系數(shù)相等，交叉項消失。得上、下半球面的方程分別是：由將(2.2-1)8

反之，由一般式方程(2.2-3)，經(jīng)過配方又可得到：(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4習慣上把上面的點叫做點球，無實圖形時叫做虛球面，這三種情形統(tǒng)稱為球面。因此球面的方程是一個二次項系數(shù)相等，交叉項消失的三元二次方程。

當A2+B2+C2-4D>0時,為實的球面.

當A2+B2+C2-4D=0時,為空間一點.當A2+B2+C2-4D0時,無實圖形.反之，由一般式方程(2.2-3)，經(jīng)過配方9例5方程的圖形是怎樣的？根據(jù)題意有圖形上不封頂，下封底．解以上方法稱為截痕法.例5方程10空間常見的曲面有：平面，球面，柱面，錐面，旋轉曲面，二次曲面等。以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題：（2）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀．（討論旋轉曲面）（討論柱面、二次曲面）（1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程．上一頁返回空間常見的曲面有：平面，球面，柱面，錐面，旋轉曲面11二、曲面的參數(shù)方程1、雙參數(shù)向量函數(shù)設在兩個變量u,v的變動區(qū)域內(nèi)定義的函數(shù)

r=r(u,v)

(2.2-4)或r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3

(2.2-5)稱為雙參數(shù)向量函數(shù)，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是變向量r(u,v)的坐標，它們都是變數(shù)u，v的函數(shù)。當u,v取遍變動區(qū)域的一切值時，向徑OM=r(u,v)

=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3

的終點M(x(u,v),y(u,v),z(u,v))所畫的軌跡一般為一張曲面。Mozxy

Σ二、曲面的參數(shù)方程1、雙參數(shù)向量函數(shù)設在兩個變量u,v的變動122、曲面的參數(shù)方程2、曲面的參數(shù)方程133、曲面的坐標式參數(shù)方程3、曲面的坐標式參數(shù)方程14例5求中心在原點，半徑為r的球面的參數(shù)方程。

MrxyzPQθ解：設M(x,y,z)是球面上任一點，M在xOy坐標面上的射影為P，而P在x軸上的射影為Q，又設在坐標面上的有向角(i,OP)=,OP與OM的交角POM=θ，則(2.2-7)例5求中心在原點，半徑為r的球面的參數(shù)方程。Mrxyz15中心在原點，半徑為r的球面的坐標式參數(shù)方程為(2.2-7)或(2.2-5)中的θ，為參數(shù)，其取值范圍分別是-φ與-/2θ＜/2.從球面的參數(shù)方程（2.2-8）消去參數(shù)φ，θ，就得它的普通方程為

此即為中心在原點，半徑為r的球面的向量式參數(shù)方程。(2.2-8)注：空間曲面的參數(shù)方程不是唯一的，例如將θ取為OM與z軸的夾角。中心在原點，半徑為r的球面的坐標式參數(shù)方程為(2.216例7求以z軸為對稱軸，半徑為R的圓柱面的參數(shù)方程。PxyzooMQr解：如圖,有(2.2-9)或(2.2-10)式中的，u為參數(shù)，其取值范圍是

-＜，-＜u＜+(2.2-10)此即為圓柱面的向量式參數(shù)方程。其坐標式參數(shù)方程為（2.2-9）例7求以z軸為對稱軸，半徑為R的圓柱面的參數(shù)方程。Pxy17地理坐標大地坐標系是由大地經(jīng)度和大地緯度構成的坐標系.

地理坐標系，也可稱為真實世界的坐標系，是用于確定地物在地球上位置的坐標系.一個特定的地理坐標系是由一個特定的橢球體和一種特定的地圖投影構成，其中橢球體是一種對地球形狀的數(shù)學描述，而地圖投影是將球面坐標轉換成平面坐標的數(shù)學方法.絕大多數(shù)的地圖都是遵照一種已知的地理坐標系來顯示坐標數(shù)據(jù).例如,全國1∶25萬地形圖就是采用在克拉索夫斯基橢球體上的高斯－克呂格投影.

地理坐標是用經(jīng)度、緯度表示地面點位置的球面坐標。地理坐標系以地軸為極軸，所有通過地球南北極的平面，均稱為子午面。地理坐標大地坐標系是由大地經(jīng)度和大地緯度構成的坐標系.18為了實現(xiàn)全球通訊線路暢通，需要發(fā)射三顆地球同步衛(wèi)星.按照要求，這三顆衛(wèi)星應位于赤道平面內(nèi)，距地球36000千米的高空中，且它們構成等邊三角形，那么怎樣確定它們的位置呢？在實際中，我們是用三個數(shù)據(jù)來確定衛(wèi)星的位置，即衛(wèi)星到地球中心的距離、經(jīng)度、緯度.這種用距離和二個角度來表示空間一點的位置的思想，就是球坐標的基本思想.球坐標系的提出：為了實現(xiàn)全球通訊線路暢通，需要發(fā)射三顆地球同19三.球坐標系與柱坐標系空間中與坐標原點的距離為r的任意點，可以看成中心在原點，半徑為r的球面的坐標式參數(shù)方程為(2.2-8)(2.2-8)中的θ，為參數(shù)，其取值范圍分別是-φ與-/2θ＜/2.

如果把球面半徑r看成變量時，上式就說明了空間一點的位置，如右圖

Mr三.球坐標系與柱坐標系空間中與坐標原點的距離為r的任意201.球坐標系

建立空間直角坐標系Oxyz.設M(x,y,z)是空間任意一點，記|OM|=ρ,則M的位置也就確定了，反之，M點的位置確定，那么ρ,φ,θ也就確定了，并且有zxyoMQθρφ(ρ,φ

,θ)1.球坐標系建立空間直角坐標系Oxyz.zxyoMQθ21X

當時，空間的點（除直線OZ上的點）與有序數(shù)組建立一一對應關系，這種一一對應的關系叫做空間點的球坐標系，或稱空間極坐標系，(ρ,φθ)叫做點M的球坐標或稱為空間極坐標.這種坐標實際上就是我們在地球上定地理位置的地理坐標.

——是向徑；——相當于緯度緯度分北緯和南緯，即θ的正值和負值.——相當于經(jīng)度（二面角）經(jīng)度分為東經(jīng)和西經(jīng)，即為φ的正值和負值；

ZPOMθyX當22直角坐標與球面坐標的關系反過來，又有關系直角坐標與球面坐標的關系反過來，又有關系23

在空間建立了球坐標系后，空間的某些曲面在球坐標系里的方程非常簡單，例如在直角坐標系里球面方程為在球坐標系里的方程是坐標面分別為球面半平面錐面（只有一腔）在空間建立了球坐標系后，空間的某些曲面坐標面分別為球24

例

設點的球坐標為(2，，)，求它的直角坐標.點在直角坐標系中的坐標為例設點的球坐標為(2，，)，求它的直角25

以z軸為對稱軸，半徑為R的圓柱面的參數(shù)方程PxyzooMQr其坐標式參數(shù)方程為(2.2-9)或(2.2-10)式中的，u為參數(shù)，其取值范圍是

-＜，-＜u＜+(2.2-10)如果圓柱面半徑R看成變量，并改用ρ表示R2.柱坐標系以z軸為對稱軸，半徑為R的圓柱面的參數(shù)方程Pxyzo26

設M是空間任意一點，在xOy平面的射影為Q，用(ρ,φ)(ρ≥0,0≤φ＜2π)表示點Q在平面xOy上的極坐標，點M的位置可用有序數(shù)組(ρ,φ,u)表示.把建立上述對應關系的坐標系叫做柱坐標系.有序數(shù)組(ρ,φ,u)叫M的柱坐標或半極坐標系，記作M(ρ,φ,u).其中ρ≥0,-π＜φ≤

π,u∈R2.柱坐標系xyzoM(ρ,φ

,u)Qφρ

柱坐標系又稱半極坐標系,它是由平面極坐標系及空間直角坐標系中的一部分建立起來的.設M是空間任意一點，在xOy平面的2.柱坐標系xyz27就稱為點M的柱坐標.直角坐標與柱面坐標的關系:反過來，又有關系就稱為點M的柱坐標.直角坐標與柱面坐標的關系:反過來，又有28在柱坐標系里，坐標面分別為圓柱面平面半平面與球坐標一樣，某些曲面的方程，在柱坐標系里比較簡單，例