第6章-空間力系及重心課件

第6章空間力系及重心6.1力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影

6.2力對軸之矩及合力矩定理

6.3空間力系的平衡方程及其應(yīng)用

6.4重心的概念

思考題習(xí)題

第6章空間力系及重心6.1力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影16.1力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影

6.1力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影

6.1力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影6.1力在空間直角坐標(biāo)26.1.1直接投影法力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影定義與在平面力系中的定義相同。若已知力F與x、y、z坐標(biāo)軸之間的夾角分別為α、β、γ，如圖6-2所示，就可以直接依照定義求出力在各坐標(biāo)軸上的投影，即

（6-1）

這種求解方法稱為直接投影法。

6.1.1直接投影法（6-1）這種求解方法稱為直接投影3圖6-2圖6-246.1.2二次投影法如圖6-3所示，若已知力F、力F與z軸的夾角γ及力F在Oxy平面內(nèi)的投影Fxy與x軸的夾角φ，則可采用二次投影法，求出F在x、y、z坐標(biāo)軸上的投影。即先將力F分解到z軸和Oxy坐標(biāo)平面上，得到分力Fz和Fxy，然后再將分力Fz投影到z軸得到Fz，再將分力Fxy分別投影到x、y軸上，得到投影Fx和Fy，其過程如下：6.1.2二次投影法5圖6-3圖6-36于是

即可得出二次投影法的表達(dá)式

（6-2）

于是即可得出二次投影法的表達(dá)式（6-2）7如果已知力F在三個坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy、Fz，也可以求出力F的大小和方向。其形式如下（6-3）

其中,α、β、γ分別為力F與x、y、z軸之間所夾的銳角。

如果已知力F在三個坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy、Fz，也可以8例6-1已知圓柱斜齒輪所受到的嚙合力Fn＝1410N，齒輪壓力角α＝20°，螺旋角β＝25°，如圖6-4（a）所示。試計算斜齒輪所受到的圓周力Ft、軸向力Fa和徑向力Fr。圖6-4例6-1已知圓柱斜齒輪所受到的嚙合力Fn＝1410N9

解取坐標(biāo)系如圖6-4（a）所示，使得x、y、z軸分別沿齒輪的軸向、圓周的切線方向和徑向。先把嚙合力Fn向z軸和Oxy坐標(biāo)平面投影，得Fn在Oxy平面上的分力Fxy，其大小為

解取坐標(biāo)系如圖6-4（a）所示，使得x、y、z軸分別沿10然后把Fxy投影到x、y軸上(如圖6-4(b)所示)，

得

然后把Fxy投影到x、y軸上(如圖6-4(b)所示)，得116.1.3合力投影定理將平面力系的合力投影定理推廣到空間力系同樣適用。設(shè)有一空間力系F1、F2、…、Fn，其合力為FR，則FR在坐標(biāo)軸x、y、z上的投影，等于各分力F1、F2、…、Fn在同一坐標(biāo)軸投影的代數(shù)和,寫成代數(shù)表達(dá)式為（6-4）

式（6-4）稱空間力系的合力投影定理。

6.1.3合力投影定理（6-4）式（6-4）稱空間力系的126.2力對軸之矩與合力矩定理

6.2.1力對軸之矩的概念在工程中，常常遇到剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的情形。為了度量力對轉(zhuǎn)動剛體的作用效果，必須引入力對軸之矩的概念?，F(xiàn)以關(guān)門動作為例，在圖6-5中，門的一邊有固定軸z，在A點作用一力F，為度量此力對門的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，可將力F分解為平行于z軸的分力Fz和垂直于z軸的xy平面內(nèi)的分力Fxy。由經(jīng)驗可知，分力Fz不能使門繞z軸轉(zhuǎn)動，只有分力Fxy才對門有繞z軸轉(zhuǎn)動的作用，故Fz對z軸的矩為零。用Mz（F）表示F對軸z的矩，以d表示z軸與xy平面的交點O到Fxy作用線的距離，則（6-5）

6.2力對軸之矩與合力矩定理6.2.1力對軸之矩的概念13當(dāng)力與軸共面時（相交或平行），力對軸的矩為零。

圖6-5當(dāng)力與軸共面時（相交或平行），力對軸的矩為零。圖6-514力對軸的矩在軸上的投影是代數(shù)量，其量綱為N·m。力矩的正負(fù)代表其轉(zhuǎn)動的方向，當(dāng)從z軸的正向逆看，逆時針轉(zhuǎn)向為正，順時針轉(zhuǎn)向為負(fù)。讀者也可用右手螺旋法則判定力對軸之矩的正負(fù)。

力對軸的矩在軸上的投影是代數(shù)量，其量綱為N·m。力矩的正156.2.2合力矩定理設(shè)有空間力系F1、F2、…、Fn，其合力為FR，則合力對軸之矩等于各分力對同一軸之矩的代數(shù)和，表達(dá)式為（6-6）

式（6-6）稱為合力矩定理。

6.2.2合力矩定理（6-6）式（6-6）稱為合力矩定16設(shè)有一個空間力F，作用點A的坐標(biāo)為（x，y，z），該力在三個坐標(biāo)軸上的分力大?。丛摿υ趚、y、z軸上的投影）分別為Fx，F(xiàn)y和Fz，則該力對三個坐標(biāo)軸的矩為（證明從略）（6-7）

設(shè)有一個空間力F，作用點A的坐標(biāo)為（x，y，z），該力在17

例6-2手柄ABCD在xy平面內(nèi)，在D點作用一個力F，該力在和xz平面平行的平面內(nèi)，如圖6-6所示。試求F對x、y、z軸的矩。

解將力F沿坐標(biāo)軸分解為Fx、Fz兩個分力。其中根據(jù)合力投影定理，

并注意到力對平行于自身的軸之矩為零，有

例6-2手柄ABCD在xy平面內(nèi)，在D點作用一個力F，18圖6-6圖6-619第6章-空間力系及重心ppt課件20

例6-3

如圖6-7所示（單位：cm），已知F1＝F2＝F3＝F＝100N，求：（1）各力在x、y、z坐標(biāo)軸上的投影；（2）力F3對各軸之矩。

圖6-7例6-3如圖6-7所示（單位：cm），已知F1＝F2＝21解

(1)計算各力在坐標(biāo)軸上的投影：

F1：

F2：

解(1)計算各力在坐標(biāo)軸上的投影：F1：F2：22F3：

(２)求F3對各軸的矩:F3作用于A點，根據(jù)圖中尺寸，容易得到A點的坐標(biāo)為（40，0，30），由式（6-7）得

F3：(２)求F3對各軸的矩:F3作用于A點，根據(jù)236.3空間力系的平衡方程及其應(yīng)用

6.3.1空間任意力系的平衡方程與平面任意力系一樣，利用力的平移定理，可將空間力系簡化為一個主矢FR′和一個主矩MO?？臻g任意力系的平衡條件為主矢和主矩均為零，

即

6.3空間力系的平衡方程及其應(yīng)用6.3.1空間任意力系24由此，可得空間任意力系的平衡方程為

（6-8a）

（6-8b）

前三個稱為投影方程，

后三個稱為力矩方程。

由此，可得空間任意力系的平衡方程為（6-8a）（6-256.3.2空間匯交力系的平衡方程空間力系中各力的作用線匯交于一點，稱為空間匯交力系。如選取匯交點為坐標(biāo)原點，在式（6-8）中力矩方程為恒等式，

則可得空間匯交力系的平衡條件為

（6-9）

式（6-9）稱為空間匯交力系的平衡方程。此式有三個獨立方程，可解出三個未知量。

6.3.2空間匯交力系的平衡方程（6-9）式（6-9266.3.3空間平行力系的平衡方程空間力系中各力的作用線相互平行，稱為空間平行力系。如選取z軸和力的作用線平行，在式（6-8）中，∑Fx＝0，∑Fy＝0，∑Mz（F）＝0為恒等式，則空間平行力系的平衡條件為（6-10）

式（6-10）稱為空間平行力系的平衡方程。此式有三個獨立方程，可解出三個未知量。

6.3.3空間平行力系的平衡方程（6-10）式（6-10276.3.4空間力系平衡問題舉例求解空間力系平衡問題的基本方法和步驟與平面力系平衡問題相同，也分三個步驟：（1）選取研究對象和適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并畫出其受力圖；（2）根據(jù)所選坐標(biāo)系，列出平衡方程；（3）

求解所列平衡方程，

求出未知量。

6.3.4空間力系平衡問題舉例28表6-1常見的空間約束及簡化圖

表6-1常見的空間約束及簡化圖29表6-1常見的空間約束及簡化圖

表6-1常見的空間約束及簡化圖30

例6-4兩桿AB、AC鉸接于A點，在A點懸掛一重物G＝1000N，并用繩子AD系于D點，AB、AC等長且互相垂直，A、B、C、O在一個平面上，如圖6-8所示。求桿及繩子所受到的力。

解取銷A為研究對象，AB、AC均為二力桿，設(shè)AB、AC桿均受拉，銷A的受力圖如圖6-8所示，如圖建立坐標(biāo)系。本題為一個空間匯交力系，

有三個未知量。

例6-4兩桿AB、AC鉸接于A點，在A點懸掛一重物G＝31圖6-8圖6-832列平衡方程：

列平衡方程：33求解以上方程得

FT＝2000N，F(xiàn)x＝Fy＝-1225N負(fù)號表示圖中所示力的方向與實際力的方向相反，圖中假設(shè)兩桿受拉，而實際兩桿均受壓。

求解以上方程得FT＝2000N，F(xiàn)x＝Fy＝-1225N34例6-5圖6-9所示為一三輪起重車簡圖，已知車重G＝12.5kN，重力G的作用線通過ABC平面的D點，AD延長后垂直平分BC。起吊重W＝5kN，W的作用線通過ABC平面的E點。求靜止時地面對起重機各輪的反力（其他尺寸如圖所示，單位為m）。

解(1)選取起重機為研究對象，畫受力圖并建立坐標(biāo)系如圖6-9所示。

這是一個空間平行力系，有三個方程，有三個未知量，

可以求解。

例6-5圖6-9所示為一三輪起重車簡圖，已知車重G＝135圖6-9圖6-936(2)列平衡方程如下：

(2)列平衡方程如下：37(3)求解以上方程得：

FA=5.375N，

FB=7.8N，

FC=4.33N(3)求解以上方程得：FA=5.375N，F(xiàn)B=7.838例6-6如圖6-10所示為一腳踏拉桿裝置。若已知FP＝500N，AB＝40cm，AC=CD＝20cm，HC＝EH＝10cm，拉桿與水平面成30°。求拉桿的拉力和A、B兩軸承的約束反力。圖6-10例6-6如圖6-10所示為一腳踏拉桿裝置。若已知FP39解：

腳踏拉桿得受力圖如圖6-10所示，取坐標(biāo)系如圖，列平衡方程

解：腳踏拉桿得受力圖如圖6-10所示，取坐標(biāo)系如圖，列40第6章-空間力系及重心ppt課件41例6-7圖6-11所示手搖鉆由支點B、鉆頭A和一個彎曲的手柄組成。當(dāng)支點B處加壓力FBx、FBy、FBz和手柄上加力F后，即可帶動鉆頭繞AB轉(zhuǎn)動而鉆孔(尺寸如圖所示，單位為mm)。求：(1）鉆頭受到的阻抗力偶矩M；(2）材料給鉆頭的反力FAx、FAy、FAz；(3）壓力FBx、FBy的值。

解手搖鉆的受力情況屬于空間任意力系。（1）求鉆頭阻抗力偶矩M：

例6-7圖6-11所示手搖鉆由支點B、鉆頭A和一個彎曲42圖6-11圖6-1143（2）

計算B端壓力：

（2）計算B端壓力：44（3）計算A端反力

（3）計算A端反力45例6-8起重絞車如圖6-12所示。已知α＝20°，R＝200，r＝100，G＝10kN。試求勻速提升重物時，軸承A、B的反力及齒輪所受的力FP（圖中單位：mm）。

解對于輪系機構(gòu)，通常采用平面法求解，即將空間力系分別向三個坐標(biāo)平面投影，得到三個平面力系，于是求解一個空間力系的問題被轉(zhuǎn)換成求解三個平面力系的問題，此方法稱為空間問題的平面解法。本例就來介紹此方法。取絞車為研究對象，建立坐標(biāo)系并畫受力圖如圖6-12（a）所示。將此空間力系向三個坐標(biāo)平面投影，得到如圖6-12(b)、(c)、(d)所示的三個平面力系。求解時，一般從符合求解條件的那個投影圖解起。

例6-8起重絞車如圖6-12所示。已知α＝20°，R＝46圖6-12圖6-1247列平衡方程：xz平面：

列平衡方程：48yz平面：

yz平面：49xy面：

xy面：506.4重

心

的

概

念

6.4.1重心的概念

地球上的物體內(nèi)各質(zhì)點都受到地球的吸引力，這些力可近似地認(rèn)為組成一個空間平行力系，該力系的合力為G，稱為物體的重力。不論物體怎樣放置，這些平行力的合力作用點總是一個確定的點，

這個點叫做物體的重心。

6.4重心的概念6.4.1重心的概念51圖6-13圖6-13526.4.2重心坐標(biāo)公式設(shè)有一個物體由許多小塊組成，每一小塊都受到地球的吸引，其吸引力為ΔG1，ΔG2，……，ΔGn，它們組成一個空間平行力系（圖6-14）。該空間平行力系的合力為G，即為該物體的重力，即若合力作用點為C（ ，，），根據(jù)合力矩定理，對軸則有

6.4.2重心坐標(biāo)公式若合力作用點為C（ ，，53所以

(6-11a)同理，對χ軸，則有

（6-11b）

若將物體連同坐標(biāo)系統(tǒng)繞軸逆時針方向轉(zhuǎn)過90o，再對軸應(yīng)用合力矩定理，則可得

(6-11c)點C為重力作用點，就是物體的重心。式（6-11）即為重心的坐標(biāo)公式。

所以(6-11a)同理，對χ軸，則有（6-11b）54圖6-14圖6-1455若物體為均質(zhì)體，則G=γ·V，△Gk=γ·△Vi，代入式（6-11），并消去γ，可得

(6-12)若物體為均質(zhì)體，則G=γ·V，△Gk=γ·△Vi，代入式56可見，均質(zhì)物體的重心位置完全取決于物體的形狀。于是，均質(zhì)物體的重心也就改稱為形心。如果物體不僅是均質(zhì)的，而且是等厚平板，消去式（6-12）中的板厚，則其形心坐標(biāo)為

(6-13)可見，均質(zhì)物體的重心位置完全取決于物體的形狀。于是，均57若平面圖形處在xy平面內(nèi)，即zC≡0，則平面圖形的形心公式為

（6-14a）

(6-14b)式中,

,稱為平面圖形對軸和的靜矩或面積一次矩。

若平面圖形處在xy平面內(nèi)，即zC≡0，則平面圖形的形心公式為58上式表明，圖形對某軸的靜矩等于該圖形各組成部分對同軸靜矩的代數(shù)和。從上式可知，若軸通過圖形的形心，即yC=0，則該圖形對的靜矩為零。相反，若圖形對軸的靜矩為零，必有yC=0，即軸通過圖形的形心。由此可得出結(jié)論：1）

若某軸通過圖形得形心，則圖形對該軸的靜矩必為零。2）若圖形對某軸的靜矩為零，則該軸必通過圖形的形心。

上式表明，圖形對某軸的靜矩等于該圖形各組成部分對同軸596.4.3重心及形心位置的求法１．對稱法（圖解法）對于均質(zhì)物體，若在幾何形體上具有對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ點，則該物體的重心或形心亦必在此對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ點上。若物體具有兩個對稱面，則重心在兩個對稱面的交線上；若物體有兩根對稱軸，則重心在兩根對稱軸的交點上。例如，球心是圓球的對稱點，也就是它的重心或形心；矩形的形心就在兩個對稱軸的交點上。

6.4.3重心及形心位置的求法60運用此法時，應(yīng)當(dāng)善于在不對稱的圖形上找到對稱的因素。例如，對任意三角形ΔABD，可將圖形分隔成無數(shù)平行于底邊AB的直線，每一條直線的形心在其對稱點-中點上，這些中點聯(lián)起來形成一條形心跡線DE。若以BD為底邊，則又可以到另一條形心跡線AH，依對稱律，ΔABD之形心必在DE與AH之交點C上，見圖6-15(a)。

運用此法時，應(yīng)當(dāng)善于在不對稱的圖形上找到對稱的因素。例如61運用此法時，應(yīng)當(dāng)善于在不對稱的圖形上找到對稱的因素。例如，對任意三角形ΔABD，可將圖形分隔成無數(shù)平行于底邊AB的直線，每一條直線的形心在其對稱點-中點上，這些中點聯(lián)起來形成一條形心跡線DE。若以BD為底邊，則又可以到另一條形心跡線AH，依對稱律，ΔABD之形心必在DE與AH之交點C上，見圖6-15(a)。

運用此法時，應(yīng)當(dāng)善于在不對稱的圖形上找到對稱的因素。例如62圖6-15

圖6-15632．積分法（無限分割法）在求基本規(guī)則形體的形心時，可將形體分割成無限多塊微小的形體。在此極限情況下，式（6-11a）（6-11b）（6-11c）均可寫成定積分形式

（6-15）

2．積分法（無限分割法）（6-15）643.組合法（有限分割法）組合法是將一個比較復(fù)雜的形體分割成幾個形狀比較簡單的基本形體，每個形體的形心（重心）可以根據(jù)對稱判斷或查表獲得，而整個組合形體的形心由式（6-13）求得，具體求解方法以下面的例題加以說明。例6-9

如圖6-16所示截面。其中a=100，b=300，c=200，（單位：mm）試求該截面的形心位置。

3.組合法（有限分割法）65圖6-16圖6-1666解：方法一：如圖選取坐標(biāo)系，根據(jù)對稱原理，該形體的形心必在軸上，故有yC＝0。將截面分割為三部分C1、C2、C3，如圖6-16（a）所示，每一部分都是矩形，其面積和形心坐標(biāo)如下：

解：方法一：67將以上數(shù)據(jù)代入公式（6-13），得

將以上數(shù)據(jù)代入公式（6-13），得68

方法二：將形體分割成兩部分：矩形ABCD和矩形EFHK，C1、C2分別代表各自形心位置，如圖6-16（b）所示，其中EFHK的面積為負(fù)值。根據(jù)對稱性，同樣有yC=0。

方法二：69以上數(shù)據(jù)代入公式（6-13），得在這一例題中，綜合運用了對稱法、組合法。

以上數(shù)據(jù)代入公式（6-13），得在這一例題中，綜合運用了對稱70４.

實驗法實驗法常用來確定形狀比較復(fù)雜，或質(zhì)量不勻的物體，方法簡單，且具有一定的準(zhǔn)確度。實驗法通常采用的方法是懸掛法（圖6-17）和稱重法（圖6-18）。圖6-17采用兩次懸掛，重心必在AB和DE的交點上。圖6-18采用稱重，記錄FN，則

４.

實驗法71圖6-17圖6-1772圖6-18圖6-1873表6-2基本形體的形心位置表

表6-2基本形體的形心位置表74表6-2基本形體的形心位置表

表6-2基本形體的形心位置表75思考題

6-1

如力F與x軸的交角為α，在什么情況下Fx=Fsinα？此時Fx為多少？6-2

已知力F及F與x軸的夾角α和與y軸的夾角β，能不能算出Fz？6-3

一個空間問題可轉(zhuǎn)化為三個平面問題，每個平面問題有三個獨立的平衡方程，為什么空間問題不能解出9個未知量？6-4

物體的重心是否一定在物體內(nèi)部？將物體沿著過重心的平面截開，兩邊是否等重？

思考題 6-1如力F與x軸的交角為α，在什么情況下76習(xí)題

6-1如題6-1圖，已知六面體的棱長分別為a＝10cm，b＝10cm，c＝8cm，其上作用有三個力F1＝3kN，F(xiàn)2＝3kN，F(xiàn)3＝5kN，試計算各力在坐標(biāo)軸上的投影。

題6-1圖

習(xí)題6-1如題6-1圖，已知六面體的棱長分別為776-2如題6-2圖，力F作用于A點，求此力在坐標(biāo)軸上的投影。

題6-2圖

6-2如題6-2圖，力F作用于A點，求此力在坐標(biāo)軸上的投影786-3圓柱斜齒輪傳動時，輪齒受力如題6-3圖所示，已知Fn＝1000N，α=200，β＝150試求將輪齒所受力法向力Fn分解為圓周力Ft、徑向力Fr和軸向力Fa。題6-3圖

6-3圓柱斜齒輪傳動時，輪齒受力如題6-3圖所示，已796-4如題6-4圖所示，水平輪上A點作用一力F=1kN，方向與輪面成α=60°的角，且在過A點與輪緣相切的鉛垂面內(nèi)，而點A與輪心O’的連線與通過O’點平行于y軸的直線成β=45°角，h=r=1m。試求力F在三個坐標(biāo)軸上的投影和對三個坐標(biāo)軸之矩。

6-4如題6-4圖所示，水平輪上A點作用一力F=1kN80題6-4圖

題6-4圖816-5曲拐手柄如題6-5圖所示，已知作用于手柄上的力F=100N，AB=100mm，BC=400mm，CD=200mm，α=30°。試求力F對x、y、z軸之矩。題6-5圖

6-5曲拐手柄如題6-5圖所示，已知作用于手柄上的力826-6如題6-6圖所示的懸臂剛架，作用有分別平行于x、y軸的力F1和F2。已知：F1=5kN，F(xiàn)2=4k