高一平面向量教案

高一平面向量教案平面向量一、向量相關(guān)概念：1.向量的定義：向量是既有大小又有方向的量，與數(shù)量有所不同。向量通常用帶箭頭的有向線段表示，但不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為向量就是有向線段，因?yàn)橄蛄靠梢云揭?。例如，已知A（1,2），B（4,2），將向量AB按照向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是（3,0）。2.零向量：長(zhǎng)度為0的向量稱為零向量，記作0，其方向可以是任意的。3.單位向量：長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量。與AB共線的單位向量是±AB/|AB|。4.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量稱為相等向量，具有傳遞性。5.平行向量（也稱共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b稱為平行向量，記作a∥b，規(guī)定零向量與任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行和兩條直線平行是不同的概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量不具有傳遞性（因?yàn)榇嬖贏C共線的情況）；④三點(diǎn)A、B、C共線的充要條件為AB、AC共線。6.相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量稱為相反向量。a的相反向量是－a。以下是正確的命題：（1）若a=b，則a=b。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若AB=DC，則ABCD是平行四邊形。（4）若ABCD是平行四邊形，則AB=DC。（5）若a=b,b=c，則a=c。（6）若a//b,b//c，則a//c。答案為（4）和（5）。二、向量的表示方法：1.幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后。2.符號(hào)表示法：用小寫英文字母表示，如a、b、c等。3.坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a=x*i+y*j=(x,y)，稱(x,y)為向量a的坐標(biāo)，a=(x,y)表示向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)的坐標(biāo)相同。三、平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1*e1+λ2*e2。例如：（1）若a=(1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,2)，則c=a-b。向量的加減法、數(shù)量積、向量積等。2．向量的加減法：（1）向量加法：設(shè)向量a，b，它們的起點(diǎn)都在同一點(diǎn)P上，以它們的終點(diǎn)為對(duì)角線作△OAB，以O(shè)為起點(diǎn)作向量c，即c＝a＋b，那么向量c的終點(diǎn)就是△OAB的第三個(gè)頂點(diǎn)B。（2）向量減法：設(shè)向量a，b，它們的起點(diǎn)都在同一點(diǎn)P上，以b的終點(diǎn)為對(duì)角線作△OAB，以O(shè)為起點(diǎn)作向量c，即c＝a－b，那么向量c的終點(diǎn)就是△OAB的第三個(gè)頂點(diǎn)B。3．向量的數(shù)量積：（1）數(shù)量積的定義：設(shè)向量a，b，它們的夾角為，則稱|a||b|cos為向量a，b的數(shù)量積，記作a?b，即a?b＝|a||b|cos。（2）數(shù)量積的性質(zhì)：①交換律：a?b＝b?a；②分配律：(a)?b＝(a?b)，a?(b)＝(a?b)；③結(jié)合律：a?(b＋c)＝a?b＋a?c；④對(duì)于任意向量a，a?a|a|2，且a?a≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝時(shí)，a?a＝；⑤當(dāng)且僅當(dāng)a，b共線且同向時(shí)，a?b＝|a||b|，當(dāng)且僅當(dāng)a，b共線且反向時(shí)，a?b＝－|a||b|；⑥當(dāng)且僅當(dāng)a，b垂直時(shí)，a?b＝。4．向量積：（1）向量積的定義：設(shè)向量a，b，它們的夾角為，則稱向量|a||b|sin的方向垂直于向量a，b所在的平面，其大小等于以|a|，|b|，所構(gòu)成的平行四邊形的面積，記作a×b，即a×b＝|a||b|sin。（2）向量積的性質(zhì)：①交換律：a×b＝－b×a；②分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c，(a)×b＝(a×b)，a×(b)＝(a×b)；③結(jié)合律：a×(b×c)＝(a?c)b－(a?b)c；④對(duì)于任意向量a，b，有a×b＝0的充分必要條件是a，b共線或其中至少有一個(gè)為0向量；⑤當(dāng)a，b不共線時(shí)，向量a，b，a×b構(gòu)成右手系，即以a，b為鄰邊，右手握住a，彎曲的四指指向b，此時(shí)大拇指的方向就是a×b的方向。七．空間向量的坐標(biāo)表示：1．空間直角坐標(biāo)系：設(shè)O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸兩兩垂直，且滿足右手定則，即當(dāng)右手的四指從x軸轉(zhuǎn)向y軸時(shí)，大拇指所指方向?yàn)閦軸正方向，則稱該坐標(biāo)系為空間直角坐標(biāo)系。2．空間向量的坐標(biāo)表示：設(shè)向量a的起點(diǎn)為原點(diǎn)O，終點(diǎn)為點(diǎn)P(x,y,z)，則向量a的坐標(biāo)表示為a＝(x,y,z)，稱為向量a的坐標(biāo)三元組。3．空間向量的加減法：設(shè)向量a＝(x1,y1,z1)，b＝(x2,y2,z2)，則a＋b＝(x1＋x2,y1＋y2,z1＋z2)，a－b＝(x1－x2,y1－y2,z1－z2)。4．空間向量的數(shù)量積：設(shè)向量a＝(x1,y1,z1)，b＝(x2,y2,z2)，則a?b＝x1x2＋y1y2＋z1z2。5．空間向量的向量積：設(shè)向量a＝(x1,y1,z1)，b＝(x2,y2,z2)，則a×b＝(y1z2－z1y2，z1x2－x1z2，x1y2－y1x2)。6．空間向量的混合積：設(shè)向量a＝(x1,y1,z1)，b＝(x2,y2,z2)，c＝(x3,y3,z3)，則(a×b)?c＝x1y2z3＋y1z2x3＋z1x2y3－x1z2y3－y1x2z3－z1y2x3。向量加法可以用“平行四邊形法則”來進(jìn)行，但要注意該法則只適用于不共線的向量。除此之外，還可以利用“三角形法則”來進(jìn)行向量加法運(yùn)算：設(shè)向量AB為a，向量BC為b，則向量AC即為向量a與向量b的和，即a+b=AB+BC=AC。向量減法可以利用“三角形法則”來進(jìn)行：設(shè)向量AB為a，向量AC為b，則向量a-b=AB-AC=CB，其中減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。需要注意的是，減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。對(duì)于以下問題：1.化簡(jiǎn)：AB+BC+CD=___；(答：AD)；(AB-CD)-(AC-BD)=____；(答：CB)；AB-AD-DC=____；(答：BC)2.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB為向量a，BC為向量b，AC為向量c，則|a+b+c|=____。(答：2√2)在坐標(biāo)系中進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，設(shè)向量a的坐標(biāo)為(x1,y1)，向量b的坐標(biāo)為(x2,y2)，則向量a+b的坐標(biāo)為(x1+x2,y1+y2)，向量a-b的坐標(biāo)為(x1-x2,y1-y2)。對(duì)于以下問題：1.已知點(diǎn)A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP=AB+λAC(λ∈R)，則當(dāng)λ=____時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上。(答：1/3)2.若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則向量AB的坐標(biāo)為(x2-x1,y2-y1)。設(shè)A(2,3)，B(-1,5)，且AC=AB，AD=3AB，則C、D的坐標(biāo)分別為(1,7)和(-7,9)。平面向量a和b的數(shù)量積為a?b=x1x2+y1y2。對(duì)于以下問題：已知向量a=(sinx,cosx)，b=(sinx,sinx)，c=(-1,2)。1.若x=π/3，求向量a和c的夾角。(答：150)2.若x∈[?2π/3,π/3)，函數(shù)f(x)=λa?b的最大值為k，求λ的值。(答：-2或-1)向量的模為|a|=√(x^2+y^2)，向量a的單位向量為a/|a|。對(duì)于以下問題：已知向量a和b均為單位向量，它們的夾角為60度，那么|a+3b|=____。(答：√13)兩點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2)之間的距離為|AB|=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。注：文章中的符號(hào)“”應(yīng)為“=”。十．線段的定比分點(diǎn)1.定比分點(diǎn)的概念：在線段$P_1P_2$上，如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)$\lambda$，使得$\vec{PP_2}=\lambda\vec{P_1P_2}$，那么點(diǎn)$P$就是線段$P_1P_2$的以定比$\lambda$分的定比分點(diǎn)。2.$\lambda$的符號(hào)與分點(diǎn)$P$的位置之間的關(guān)系：當(dāng)$P$點(diǎn)在線段$P_1P_2$上時(shí)，$\lambda>0$；當(dāng)$P$點(diǎn)在線段$P_1P_2$的延長(zhǎng)線上時(shí)，$\lambda<-1$；當(dāng)$P$點(diǎn)在線段$P_2P_1$的延長(zhǎng)線上時(shí)，$-1<\lambda<0$。若點(diǎn)$P$分線段$P_1P_2$所成的比為$\dfrac{m}{n}$，則點(diǎn)$P$分線段$P_2P_1$所成的比為$\dfrac{n}{m}$。3.線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)$P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$，$P(x,y)$分線段$P_1P_2$所成的比為$\lambda$，則$$\begin{cases}x=x_1+\lambda(x_2-x_1)\\y=y_1+\lambda(y_2-y_1)\end{cases}$$特別地，當(dāng)$\lambda=1$時(shí)，就得到線段$P_1P_2$的中點(diǎn)公式$$\begin{cases}x=\dfrac{x_1+x_2}{2}\\y=\dfrac{y_1+y_2}{2}\end{cases}$$在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確$(x,y)$，$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比$\lambda$。例如：（1）若$M(-3,-2)$，$N(6,-1)$，且$MP=-\dfrac{3}{7}M