彈性力學(xué)問題有限單元的一般原理課件

第2章

彈性力學(xué)問題有限單元法

一般原理和表達(dá)式第2章

彈性力學(xué)問題有限單元法

一般原理和表達(dá)式1構(gòu)造廣義坐標(biāo)有限元并建立其位移插值函數(shù)的步驟,以及插值函數(shù)的基本性質(zhì).本章要點(diǎn)通過彈性力學(xué)平面問題和三角形單元闡述基于彈性力學(xué)最小位能原理,建立有限元求解方程的步驟.有限元方程求解前引入位移邊界條件的必要性和方法.有限元方法的收斂準(zhǔn)則.有限元方法求解彈性力學(xué)問題的一般原理和步驟.第2章彈性力學(xué)問題有限單元法一般原理和表達(dá)式構(gòu)造廣義坐標(biāo)有限元并建立其位移插值函數(shù)的步驟,以及插值函數(shù)的2單元位移模式及插值函數(shù)平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式典型3

結(jié)點(diǎn)三角形單元結(jié)點(diǎn)編碼為i,j,m(逆時(shí)針方向?yàn)檎?每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移(2

個(gè))每個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)位移(6

個(gè))單元位移模式及插值函數(shù)平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格33

結(jié)點(diǎn)三角形單元位移模式選取一次多項(xiàng)式單元的位移模式及插值函數(shù)平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式是待定系數(shù),稱為廣義坐標(biāo),可以用單元的6

個(gè)結(jié)點(diǎn)位移表示結(jié)點(diǎn)i

(xi,yi)的x方向位移ui同理3結(jié)點(diǎn)三角形單元位移模式選取一次多項(xiàng)式單元的位移模式及插值4平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式求廣義坐標(biāo)線性代數(shù)方程系數(shù)行列式A是三角形單元的面積平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式求廣義坐標(biāo)線性代數(shù)方5平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式其中下標(biāo)可以輪換平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式其中下標(biāo)可以輪換6平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式結(jié)點(diǎn)i

(xi,yi)的y方向位移vi結(jié)點(diǎn)位移表示的位移函數(shù)其中稱為單元的插值函數(shù)或形函數(shù),是x,y的一次函數(shù).平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式結(jié)點(diǎn)i(xi,7平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式結(jié)點(diǎn)位移表示的位移函數(shù)N

稱為插值函數(shù)矩陣或形函數(shù)矩陣平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式結(jié)點(diǎn)位移表示的位移函8平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式形函數(shù)性質(zhì)結(jié)點(diǎn)上形函數(shù)的值單元中任一點(diǎn)各形函數(shù)之和等于1x方向有剛體位移u0,則若形函數(shù)不滿足此要求，則不能反映單元的剛體位移，用這形函數(shù)求解就得不到正確結(jié)果．3結(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù)是線性的，在單元內(nèi)部及邊界上的位移可由結(jié)點(diǎn)位移唯一確定．相鄰單元公共邊界上位移連續(xù)．平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式形函數(shù)性質(zhì)結(jié)點(diǎn)上形函9平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣單元位移單元應(yīng)變B

稱為應(yīng)變矩陣，L

是平面問題的微分算子．應(yīng)力和應(yīng)變幾何方程物理方程平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣單10平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣應(yīng)變矩陣

B

的分塊子矩陣平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣應(yīng)11平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣單元應(yīng)力其中S

稱為應(yīng)力矩陣，其分塊矩陣為平面應(yīng)力平面應(yīng)變平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣單12平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式利用最小位能原理建立有限元方程最小位能原理的泛函總位能對離散模型，系統(tǒng)位能是各單元位能的和．結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式利用最小位能原理建立13平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式利用最小位能原理建立有限元方程其中n

為結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)數(shù)平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式利用最小位能原理建立14平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式利用最小位能原理建立有限元方程離散形式的總位能單元?jiǎng)偠染仃噯卧刃ЫY(jié)點(diǎn)荷載列陣整體剛度矩陣結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)荷載列陣平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式利用最小位能原理建立15平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式利用最小位能原理建立有限元方程離散形式的總位能p

的未知變量是結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移a，泛函p

取駐值的條件為有限元求解方程即平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式利用最小位能原理建立16平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元?jiǎng)偠染仃囂卣?結(jié)點(diǎn)三角形單元的應(yīng)變矩陣是常量陣單元?jiǎng)偠确謮K矩陣對稱性平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元?jiǎng)偠染仃囂卣?17平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元?jiǎng)偠染仃囂卣鲗ΨQ性利用最小位能原理建立單元的平衡方程單元?jiǎng)偠染仃囋氐奈锢硪饬x平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元?jiǎng)偠染仃囂卣鲗ΨQ18平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元?jiǎng)偠染仃囂卣鲉卧獎(jiǎng)偠染仃囋氐奈锢硪饬x單元結(jié)點(diǎn)平衡方程令第一列元素的物理意義:當(dāng)a1=1時(shí)，其他結(jié)點(diǎn)位移為零，需要在單元各結(jié)點(diǎn)位移方向上施加結(jié)點(diǎn)力的大?。矫鎲栴}3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元?jiǎng)偠染仃囂卣鲉卧?9平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元?jiǎng)偠染仃囂卣鲉卧獎(jiǎng)偠染仃囋氐奈锢硪饬x單元在結(jié)點(diǎn)力作用下處于平衡狀態(tài)元素Kij的物理意義:當(dāng)單元的第j

個(gè)結(jié)點(diǎn)位移為單位位移而其他結(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，需要在單元第i

結(jié)點(diǎn)方向上施加的結(jié)點(diǎn)力的大?。?/p>

x

方向

y

方向平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元?jiǎng)偠染仃囂卣鲉卧?0平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元?jiǎng)偠染仃囂卣髌娈愋詥卧獎(jiǎng)偠染仃囀瞧娈惖模淮嬖谀婢仃嚕?/p>

任意剛體位移物理解釋：單元平衡時(shí)，結(jié)點(diǎn)力相互不獨(dú)立，必須滿足三個(gè)平衡方程．單元的平衡方程平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元?jiǎng)偠染仃囂卣髌娈?1平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元?jiǎng)偠染仃囂卣髦髟阍謮K矩陣Krs當(dāng)r=s=i,j,m時(shí)，主元K1和K4恒正．物理解釋：要使結(jié)點(diǎn)位移

ai=1,施加在ai方向的結(jié)點(diǎn)力必須與位移ai

同向．平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元?jiǎng)偠染仃囂卣髦髟?2平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元等效結(jié)點(diǎn)荷載單元等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)荷載列陣均質(zhì)等厚單元的自重例1yxoiPiyPixPmymPmxjPjyPjx平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元等效結(jié)點(diǎn)荷載單元23平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元等效結(jié)點(diǎn)荷載結(jié)點(diǎn)的等效結(jié)點(diǎn)荷載等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元等效結(jié)點(diǎn)荷載結(jié)點(diǎn)24平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元等效結(jié)點(diǎn)荷載單元等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣均布側(cè)壓q，作用在ij

邊例2yxoiPixPiyPmxmPmyjPjxPjyqL單元邊界上的面積力平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元等效結(jié)點(diǎn)荷載單元25平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元等效結(jié)點(diǎn)荷載單元邊界上取局部坐標(biāo)s，沿

ij邊插值函數(shù)為yxoiPixPiyPmxmPmyjPjxPjyqLs結(jié)點(diǎn)的等效結(jié)點(diǎn)荷載同理平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元等效結(jié)點(diǎn)荷載單元26平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元等效結(jié)點(diǎn)荷載yxoiPixPiyPmxmPmyjPjxPjyqLs結(jié)點(diǎn)的等效結(jié)點(diǎn)荷載同理平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元等效結(jié)點(diǎn)荷載yx27平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元等效結(jié)點(diǎn)荷載在ij邊上x

方向均布力q例3等效結(jié)點(diǎn)荷載yxojPjxPjyPixiPiymPmxPmyq單元邊界上的面積力平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元等效結(jié)點(diǎn)荷載在28平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元等效結(jié)點(diǎn)荷載在ij邊上x

方向三角形布荷載例4等效結(jié)點(diǎn)荷載單元邊界上的面積力寫成局部坐標(biāo)的函數(shù)yxojPjxPjyPixiPiymPmxPmyq平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式單元等效結(jié)點(diǎn)荷載在29平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式結(jié)構(gòu)剛度矩陣和結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)荷載列陣的集成單元?jiǎng)偠染仃嚨霓D(zhuǎn)換平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式結(jié)構(gòu)剛度矩陣和結(jié)構(gòu)結(jié)30平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式結(jié)構(gòu)剛度矩陣和結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)荷載列陣的集成單元?jiǎng)偠染仃嚨霓D(zhuǎn)換其中n

為結(jié)點(diǎn)總數(shù)；i、j、m為單元結(jié)點(diǎn)碼.平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式結(jié)構(gòu)剛度矩陣和結(jié)構(gòu)結(jié)31平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式結(jié)構(gòu)剛度矩陣和結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)荷載列陣的集成單元等效結(jié)點(diǎn)荷載的轉(zhuǎn)換平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式結(jié)構(gòu)剛度矩陣和結(jié)構(gòu)結(jié)32平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點(diǎn)對稱性奇異性稀疏性非零元素呈帶狀分布（結(jié)點(diǎn)編號合理）平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點(diǎn)對33平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式引入位移邊界條件求解位移場的問題，需要引入消除剛體位移的邊界條件。直接代入法將已知結(jié)點(diǎn)位移的自由度消去，得到修正方程，用以求解其他結(jié)點(diǎn)位移。重新組合方程待定結(jié)點(diǎn)位移已知結(jié)點(diǎn)位移為相應(yīng)的剛度、荷載矩陣的分塊矩陣.平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式引入位移邊界條件求解34平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式引入位移邊界條件直接代入法已知重組方程后，將已知項(xiàng)和未知項(xiàng)分別移置到方程的右邊和左邊。重組的方程階數(shù)低了，但是結(jié)點(diǎn)位移的順序已被破壞，導(dǎo)致程序編制困難。平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式引入位移邊界條件直接35平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式引入位移邊界條件給定位移值為零時(shí)，在K中將與零結(jié)點(diǎn)位移相對應(yīng)的行列中，將主對角元素改為1，其他元素改為0；在荷載列陣中將與零結(jié)點(diǎn)位移相對應(yīng)的元素改為0。對角元素改1法（不改變方程階數(shù)和結(jié)點(diǎn)編號順序，適用于位移為零）平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式引入位移邊界條件給定36平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式引入位移邊界條件對角元素乘大數(shù)法結(jié)點(diǎn)位移為給定值時(shí)，第j

個(gè)方程作如下改動(dòng)：對角元素中乘以大數(shù)（左右量級），并將用取代。平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式引入位移邊界條件對角37平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式引入位移邊界條件對角元素乘大數(shù)法修改后第j

個(gè)方程對于任意給定位移均適用，這種方法不改變方程的階數(shù)和結(jié)點(diǎn)位移順序，程序編制方便。平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元格式引入位移邊界條件對角38廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式選擇單元位移函數(shù)的一般原則位移模式以廣義坐標(biāo)為待定參數(shù)的有限項(xiàng)多項(xiàng)式作為近似函數(shù)廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)與結(jié)點(diǎn)自由數(shù)相等有限項(xiàng)多項(xiàng)式選取的一般原則單元結(jié)點(diǎn)自由數(shù)廣義坐標(biāo)u多項(xiàng)式v多項(xiàng)式3結(jié)點(diǎn)三角形66334結(jié)點(diǎn)矩形8844常數(shù)項(xiàng)和坐標(biāo)的一次項(xiàng)必須完備常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)反映單元?jiǎng)傮w位移和常應(yīng)變的特性，單元縮小于一點(diǎn)時(shí)，單元應(yīng)變趨于常應(yīng)變。位移模式能描述由于其他單元變形而通過結(jié)點(diǎn)位移引起單元?jiǎng)傮w位移。廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式選擇單元位移函數(shù)的一般原則位移模39廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式選擇單元位移函數(shù)的一般原則位移模式以廣義坐標(biāo)為待定參數(shù)的有限項(xiàng)多項(xiàng)式作為近似函數(shù)多項(xiàng)式選取應(yīng)由低階到高階，盡量取完全多項(xiàng)式以提高精度有限項(xiàng)多項(xiàng)式選取的一般原則單元邊單元多項(xiàng)式2個(gè)結(jié)點(diǎn)3結(jié)點(diǎn)三角形4結(jié)點(diǎn)矩形8結(jié)點(diǎn)六面體保證一次完全3個(gè)結(jié)點(diǎn)6結(jié)點(diǎn)三角形8結(jié)點(diǎn)矩形20結(jié)點(diǎn)六面體保證二次完全廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式選擇單元位移函數(shù)的一般原則位移模40廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式廣義坐標(biāo)有限元的一般格式以廣義坐標(biāo)

表示單元內(nèi)位移u2D問題三角形常應(yīng)變單元廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式廣義坐標(biāo)有限元的一般格式以廣義坐41廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式廣義坐標(biāo)有限元的一般格式以單元結(jié)點(diǎn)位移表示廣義坐標(biāo)結(jié)點(diǎn)位移重寫成三角形常應(yīng)變單元廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式廣義坐標(biāo)有限元的一般格式以單元結(jié)42廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式廣義坐標(biāo)有限元的一般格式以單元結(jié)點(diǎn)位移表示單元位移函數(shù)u三角形常應(yīng)變單元廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式廣義坐標(biāo)有限元的一般格式以單元結(jié)43廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式廣義坐標(biāo)有限元的一般格式以單元結(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)切纬?yīng)變單元有初應(yīng)力和初應(yīng)變時(shí)廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式廣義坐標(biāo)有限元的一般格式以單元結(jié)44廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式廣義坐標(biāo)有限元的一般格式利用最小位能原理建立離散體系的結(jié)點(diǎn)平衡方程系統(tǒng)總位能的離散形式廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式廣義坐標(biāo)有限元的一般格式利用最小45廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式廣義坐標(biāo)有限元的一般格式利用最小位能原理建立離散體系的結(jié)點(diǎn)平衡方程其中是結(jié)點(diǎn)集中力列陣廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式廣義坐標(biāo)有限元的一般格式利用最小46廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式廣義坐標(biāo)有限元的一般格式引入強(qiáng)制邊界條件解方程得到結(jié)點(diǎn)位移輔助計(jì)算困難位移函數(shù)選擇不當(dāng)時(shí)，可能不存在結(jié)點(diǎn)較多時(shí)，解廣義坐標(biāo)比較繁瑣。利用自然坐標(biāo)構(gòu)造單元的插值函數(shù)廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式廣義坐標(biāo)有限元的一般格式引入強(qiáng)制47有限元解的性質(zhì)和收斂性有限元解的收斂準(zhǔn)則準(zhǔn)則1完備性要求如果在泛函中場函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)m

為，則有限元解的收斂條件之一是單元內(nèi)場函數(shù)的試函數(shù)至少是m

次完全多項(xiàng)式?；蛘哒f試探函數(shù)中必須包括本身和直至m

階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的項(xiàng)。待求標(biāo)量場函數(shù)的微分方程相應(yīng)泛函準(zhǔn)則2協(xié)調(diào)性要求如果在泛函中場函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)m

為，則試函數(shù)在單元交界面上必須具有Cm-1

連續(xù)性，即在相鄰單元的交界面上應(yīng)有函數(shù)直至m-1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。有限元解的性質(zhì)和收斂性有限元解的收斂準(zhǔn)則準(zhǔn)則1完備性48矩形單元和高精度三角形單元4結(jié)點(diǎn)矩形單元單元有8個(gè)結(jié)點(diǎn)自由度相鄰單元的邊界公共點(diǎn)上有共同的結(jié)點(diǎn)位移值，因此位移在公共邊界的連續(xù)性。這種位移模式是完備、協(xié)調(diào)的。u1v1aau2v2u4v4u3v3bb2341y,x,廣義坐標(biāo)位移多項(xiàng)式位移模式為雙線性位移模式，具有完全一次式的非完全二次式。矩形單元和高精度三角形單元4結(jié)點(diǎn)矩形單元單元有8個(gè)結(jié)點(diǎn)49矩形單元和高精度三角形單元4結(jié)點(diǎn)矩形單元結(jié)點(diǎn)位移矩形單元和高精度三角形單元4結(jié)點(diǎn)矩形單元結(jié)點(diǎn)位移50矩形單元和高精度三角形單元4結(jié)點(diǎn)矩形單元位移模式令矩形單元和高精度三角形單元4結(jié)點(diǎn)矩形單元位移模式令51矩形單元和高精度三角形單元4結(jié)點(diǎn)矩形單元自然坐標(biāo)(,)與整體坐標(biāo)(x,y)的關(guān)系單元形心位置為（x0,y0）u1v1aau2v2u4v4u3v3bb2341xy自然坐標(biāo)(,)單元內(nèi)單元邊單元角點(diǎn)令矩形單元和高精度三角形單元4結(jié)點(diǎn)矩形單元自然坐標(biāo)(,)52矩形單元和高精度三角形單元4結(jié)點(diǎn)矩形單元單元應(yīng)變單元位移矩形單元和高精度三角形單元4結(jié)點(diǎn)矩形單元單元應(yīng)變單元位移53矩形單元和高精度三角形單元4結(jié)點(diǎn)矩形單元單元應(yīng)力單元位移矩形單元和高精度三角形單元4結(jié)點(diǎn)矩形單元單元應(yīng)力單元位移54矩形單元和高精度三角形單元4結(jié)點(diǎn)矩形單元應(yīng)力矩陣的分塊矩陣單元?jiǎng)偠染仃嚪謮K形式矩形單元和高精度三角形單元4結(jié)點(diǎn)矩形單元應(yīng)力矩陣的分塊矩陣55矩形單元和高精度三角形單元4結(jié)點(diǎn)矩形單元單元厚度t

是常量其中矩形單元和高精度三角形單元4結(jié)點(diǎn)矩形單元單元厚度t是常56矩形單元和高精度三角形單元高精度三角形單元二次單元：6結(jié)點(diǎn)三角形單元位移函數(shù)取完全的二次多項(xiàng)式563241位移函數(shù)中的常數(shù)項(xiàng)和完整的一次多項(xiàng)式滿足收斂條件對完備性的要求。單元邊界上位移按二次拋物線分布，三個(gè)公共結(jié)點(diǎn)正好保證相鄰單元位移的連續(xù)性，滿足協(xié)調(diào)性的要求。矩形單元和高精度三角形單元高精度三角形單元二次單元：6結(jié)點(diǎn)57矩形單元和高精度三角形單元高精度三角形單元三次單元：10結(jié)點(diǎn)三角形單元位移函數(shù)取完全的三次多項(xiàng)式單元邊界上位移按三次曲線分布，4個(gè)公共結(jié)點(diǎn)正好保證相鄰單元位移的連續(xù)性，滿足協(xié)調(diào)性的要求。563241789106結(jié)點(diǎn)、10結(jié)點(diǎn)三角形單元求解廣義坐標(biāo)以及剛度、等效結(jié)點(diǎn)荷載計(jì)算等很繁瑣。如果采用面積坐標(biāo)作為自然坐標(biāo)，則可以很方便地建立單元的插值函數(shù)。矩形單元和高精度三角形單元高精度三角形單元三次單元：10結(jié)58矩形單元和高精度三角形單元面積坐標(biāo)j(0,1,0)i(1,0,0)m(0,0,1)AiAmAjpdidLi=0Lm=0Lj=0三角形中任一點(diǎn)P

與其三個(gè)角點(diǎn)相連形成三個(gè)子三角形。點(diǎn)P(x,y)的位置用三個(gè)比值確定矩形單元和高精度三角形單元面積坐標(biāo)j(0,1,0)i(1,059矩形單元和高精度三角形單元面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系j(xj,yj)i(xi,yi)m(xm,ym)AiAmAjP(x,y)xy三角形的面積矩形單元和高精度三角形單元面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系j(x60矩形單元和高精度三角形單元面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系面積坐標(biāo)Li,

Lj,

Lm

與3結(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù)Ni,

Nj,

Nm完全相同。矩陣形式矩形單元和高精度三角形單元面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系面積坐61矩形單元和高精度三角形單元面積坐標(biāo)的微積分運(yùn)算矩形單元和高精度三角形單元面積坐標(biāo)的微積分運(yùn)算62矩形單元和高精度三角形單元面積坐標(biāo)的微積分運(yùn)算面積坐標(biāo)的冪函數(shù)在三角形全面積上的積分公式面積坐標(biāo)的冪函數(shù)在三角形某一邊（ij邊）上的積分公式有關(guān)積分矩形單元和高精度三角形單元面積坐標(biāo)的微積分運(yùn)算面積坐標(biāo)的冪函63矩形單元和高精度三角形單元面積坐標(biāo)給出的三角形單元插值函數(shù)線性單元：3結(jié)點(diǎn)三角形單元132L3=0L2=0L1=0插值函數(shù)是線性函數(shù)，即三角形單元的三個(gè)面積坐標(biāo)。矩形單元和高精度三角形單元面積坐標(biāo)給出的三角形單元插值函數(shù)線64矩形單元和高精度三角形單元面積坐標(biāo)給出的三角形單元插值函數(shù)二次單元：6結(jié)點(diǎn)三角形單元對每個(gè)結(jié)點(diǎn)i，可選擇通過除i

點(diǎn)以外的所有結(jié)點(diǎn)的兩條直線，利用直線方程的左部作為線性函數(shù)來構(gòu)造插值函數(shù)。132L3=0L2=0L1=0456角點(diǎn)12-3直線和4-6直線，并使結(jié)點(diǎn)1上角點(diǎn)2、3統(tǒng)一寫作三個(gè)邊中點(diǎn)矩形單元和高精度三角形單元面積坐標(biāo)給出的三角形單元插值函數(shù)二65軸對稱問題的有限元格式3結(jié)點(diǎn)三角形環(huán)狀單元的插值函數(shù)及應(yīng)力應(yīng)變矩陣位移模式和插值函數(shù)線性位移模式單元結(jié)點(diǎn)位移其中軸對稱問題的有限元格式3結(jié)點(diǎn)三角形環(huán)狀單元的插值函數(shù)及應(yīng)力66軸對稱問題的有限元格式3結(jié)點(diǎn)三角形環(huán)狀單元的插值函數(shù)及應(yīng)力應(yīng)變矩陣位移模式和插值函數(shù)插值函數(shù)單元內(nèi)位移矩陣形式軸對稱問題的有限元格式3結(jié)點(diǎn)三角形環(huán)狀單元的插值函數(shù)及應(yīng)力67軸對稱問題的有限元格式3結(jié)點(diǎn)三角形環(huán)狀單元的插值函數(shù)及應(yīng)力應(yīng)變矩陣單元應(yīng)變和應(yīng)力其中應(yīng)變軸對稱問題的有限元格式3結(jié)點(diǎn)三角形環(huán)狀單元的插值函數(shù)及應(yīng)力68軸對稱問題的有限元格式3結(jié)點(diǎn)三角形環(huán)狀單元的插值函數(shù)及應(yīng)力應(yīng)變矩陣單元應(yīng)變和應(yīng)力應(yīng)力分塊矩陣應(yīng)力軸對稱問題的有限元格式3結(jié)點(diǎn)三角形環(huán)狀單元的插值函數(shù)及應(yīng)力69軸對稱問題的有限元格式3結(jié)點(diǎn)三角形環(huán)狀單元的單元?jiǎng)偠染仃嚍榱撕喕?jì)算，單元中隨點(diǎn)而變化的r,z

用單元截面形心處的坐標(biāo)來近似。應(yīng)變矩陣B應(yīng)力矩陣S常量陣A是三角形環(huán)狀單元的面積軸對稱問題的有限元格式3結(jié)點(diǎn)三角形環(huán)狀單元的單元?jiǎng)偠染仃嚍?0軸對稱問題的有限元格式3結(jié)點(diǎn)三角形環(huán)狀單元的單元?jiǎng)偠染仃噭偠染仃嚨拿恳蛔訅K軸對稱問題的有限元格式3結(jié)點(diǎn)三角形環(huán)狀單元的單元?jiǎng)偠染仃噭?1廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式其中集中力應(yīng)是作用在一圈結(jié)點(diǎn)上集中力的總量。ri是結(jié)點(diǎn)

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