高中數(shù)學第一章三角函數(shù)1.1.1任意角學案（含解析）新人教A版必修4

1．1任意角和弧度制1．1.1任意角內容標準學科素養(yǎng)1.了解任意角的概念．2.掌握象限角及終邊相同角的概念及其表示．3.會判斷角的終邊所在的象限.應用直觀想象應用數(shù)學抽象提升邏輯推理授課提示：對應學生用書第1頁[基礎認識]知識點一角的相關概念閱讀教材P2－4，思考并完成以下問題初中學習角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角．角也可以看作一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形．包括銳角、鈍角、直角、平角、周角，范圍是0°～360°.那么，你注意到射線的旋轉方向了嗎？(1)假如手表慢了5分鐘，怎樣將它校準？提示：將分針順時針撥動5分鐘，即順時針轉動30°.(2)假如手表快了1.25小時，怎樣將它校準？提示：將分針逆時針轉動一圈再轉動三個數(shù)字，即逆時針轉動450°.知識梳理(1)角的概念：角可以看成平面內一條射線繞著端點O從一個位置OA旋轉到另一個位置OB所成的圖形．點O是角的頂點，射線OA，OB分別是角α的始邊和終邊．(2)按照角的旋轉方向，分為如下三類：名稱定義圖形正角按逆時針方向旋轉形成的角負角按順時針方向旋轉形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉形成的角思考(1)上述問題探究(1)中，分針轉了多少度？提示：－30°.(2)探究(2)中，分針逆時針轉動了多少度？如果順時針校準，分針轉了多少度？提示：450°，－3870°.知識點二象限角思考并完成以下問題(1)把角的頂點放在平面直角坐標系的原點，角的始邊與x軸的非負半軸重合，旋轉該角，則其終邊(除端點外)可能落在什么位置？提示：可能在第一、二、三、四象限或坐標軸上．(2)銳角、鈍角、直角、平角、周角的終邊分別在什么位置？提示：第一象限、第二象限、y軸的正半軸、x軸的負半軸、x軸的正半軸．(3)α＝－30°、β＝－120°、γ＝270°的終邊在什么位置？提示：α的終邊在第四象限、β的終邊在第三象限、γ的終邊在y軸的負半軸．知識梳理在平面直角坐標系內，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合．象限角：終邊在第幾象限就是第幾象限角；軸線角：終邊落在坐標軸上的角．知識點三終邊相同的角思考并完成以下問題(1)假設60°的終邊是OB，那么－660°，420°的終邊與60°的終邊有什么關系，它們與60°分別相差多少？提示：終邊相同，相差720°、360°.(2)與60°的終邊相同的角能寫出多少個？如何表示？提示：無數(shù)個．可用60°＋k·360°，(k∈Z)表示．(3)角的終邊分別在x軸的正半軸、負半軸、y軸的正半軸、負半軸上的角如何表示？提示：k·360°、k·360°＋180°、k·360°＋90°、k·360°＋270°.知識梳理所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．思考結合象限角的定義及終邊相同角的表示，用集合表示出象限角．提示：象限角的集合表示角α的終邊所在象限集合表示第一象限{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}[自我檢測]1．判斷正誤(1)經(jīng)過1小時，時針轉過30°.()(2)終邊與始邊重合的角是零角．()(3)小于90°的角是銳角．()(4)鈍角是第二象限角．()(5)第二象限角是鈍角．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．與－457°角的終邊相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}答案：C授課提示：對應學生用書第2頁探究一任意角概念的理解[例1]下列說法：①時鐘經(jīng)過兩個小時，時針轉過的角是60°；②鈍角一定大于銳角；③射線OA繞端點O按逆時針旋轉一周所成的角是0°；④小于90°的角都是銳角．其中錯誤的為________(錯誤說法的序號都填上)．[解析]①時鐘經(jīng)過兩個小時，時針按順時針方向旋轉60°，因而轉過的角為－60°，故①不正確．②鈍角α的取值范圍為90°<α<180°，銳角θ的取值范圍為0°<θ<90°，因此鈍角一定大于銳角，故②正確．③射線OA按逆時針旋轉一周所成的角是360°，故③不正確．④銳角θ的取值范圍是0°<θ<90°，小于90°的角也可以是零角或負角，故④不正確．[答案]①③④方法技巧解決此類問題要正確理解銳角、鈍角、0°～90°角、象限角等概念．角的概念推廣后，確定角的關鍵是確定旋轉的方向和旋轉量的大小．跟蹤探究1.下列說法：①鈍角都是第二象限角；②第一象限角一定不是負角；③小于180°的角是鈍角或直角或銳角．其中正確說法的序號為________．(把正確說法的序號都寫上)解析：①正確；②不正確，如－300°的終邊在第一象限；③不正確，如0°或負角．答案：①探究二終邊相同的角[教材P4～5例2、例3]方法步驟：先寫出0°～360°內的角，再寫出終邊相同的角．角度1求與已知角終邊相同的角[例2]在與角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．(1)最大的負角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．[解析]與10030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，(1)由－360°<k·360°＋10030°<0°，得－10390°<k·360°<－10030°，解得k＝－28，故所求的最大負角為β＝－50°.(2)由0°<k·360°＋10030°<360°，得－10030°<k·360°<－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角為β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10030°<720°，得－9670°≤k·360°<－9310°，解得k＝－26，故所求的角為β＝670°.方法技巧求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構建不等式求出k的值．跟蹤探究α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β<360°的元素β寫出來．解析：由終邊相同的角的表示知，與角α＝－1910°終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β<360°，即－720°≤k·360°－1910°<360°(k∈Z)，∴3eq\f(11,36)≤k<6eq\f(11,36)(k∈Z)，故取k＝4，5，6.當k＝4時，β＝4×360°－1910°＝－470°；當k＝5時，β＝5×360°－1910°＝－110°；當k＝6時，β＝6×360°－1910°＝250°.角度2求終邊在給定直線上的角的集合[例3]寫出終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合．[解析]終邊在y＝－eq\r(3)x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；終邊在y＝－eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．因此，終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．故終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．方法技巧求解終邊在某條直線上的角的集合的思路(1)若所求角β的終邊在某條射線上，則其集合的形式為{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．(2)若所求角β的終邊在某條直線上，則其集合的形式為{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．延伸探究y＝eq\r(3)x上的角的集合．解析：法一：終邊在y＝eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；終邊在y＝eq\r(3)x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．綜上，終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．法二：如圖，觀察圖形可知，終邊在直線y＝eq\r(3)x上的最小正角為60°，其終邊每旋轉180°便與直線重合，∴終邊在y＝eq\r(3)x上的角的集合為S＝{α|α＝60°＋k·180°，k∈Z}．角度3區(qū)域角的求解[例4]寫出終邊落在陰影部分的角的集合．[解析]設終邊落在陰影部分的角為α，角α的集合由兩部分組成：①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}；②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合應當是集合①與②的并集，即{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．方法技巧表示區(qū)域角的三個步驟第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界．第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°～360°范圍內的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、終止邊界對應角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合．若區(qū)域是對稱的區(qū)域，兩區(qū)域可合并．延伸探究2.將例4中區(qū)域改為如圖所示的陰影，求終邊落在陰影部分的角的集合．解析：終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在OB位置上的角的集合為{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．∴終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合為{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．3．將例4中區(qū)域改為如圖所示的陰影，求終邊落在陰影部分的角的集合．解析：在0°～360°范圍內、陰影部分(包括邊界)表示的范圍是：150°≤α≤225°，則滿足條件的角α為{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．探究三象限角及應用[例5](1)已知α是第二象限角，則180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角[解析]由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，所以180°－(180°＋k·360°)<180°－α<180°－(90°＋k·360°)，k∈Z，即－k·360°<180°－α<90°－k·360°，k∈Z.所以180°－α為第一象限角．[答案]A(2)若α是第一象限角，問－α，2α，eq\f(α,3)是第幾象限角？[解析]∵α是第一象限角，∴k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)．①∵－k·360°－90°<－α<－k·360°(k∈Z)，∴－α是第四象限角．②∵2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，∴2α是第一、二象限角或終邊在y軸非負半軸上的角．③k·120°<eq\f(α,3)<k·120°＋30°(k∈Z)．法一(分類討論)：當k＝3n(n∈Z)時，n·360°<eq\f(α,3)<n·360°＋30°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第一象限角；當k＝3n＋1(n∈Z)時，n·360°＋120°<eq\f(α,3)<n·360°＋150°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第二象限角；當k＝3n＋2(n∈Z)時，n·360°＋240°<eq\f(α,3)<n·360°＋270°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第三象限角，綜上可知：eq\f(α,3)是第一、二或第三象限角．法二(幾何法)：如圖，先將各象限分成3等份，再從x軸的非負半軸的上方起，依次將各區(qū)域標上1，2，3，4，則標有1的區(qū)域即為eq\f(α,3)終邊所落在的區(qū)域，故eq\f(α,3)為第一、二或第三象限角．方法技巧(1)判斷象限角的步驟①當0°≤α<360°時，直接寫出結果；②當α<0°或α≥360°時，將α化為k·360°＋β(k∈Z，0°<β<360°)，轉化為判斷角β所屬的象限．(2)已知角α所在象限，要確定角eq\f(α,n)所在象限，有兩種方法①用不等式表示出角eq\f(α,n)的范圍，然后對n的取值分情況討論：被n整除，被n除余1，被n除余2，…，被n除余n－1，從而得出結論．②作出各個象限的從原點出發(fā)的n等分射線，它們與坐標軸把周角分成4n個區(qū)域，從x軸非負半軸起，按逆時針方向把這4n個區(qū)域依次循環(huán)標上1，2，3，4.標號為幾的區(qū)域，就是根據(jù)角α終邊所在的象限確定角eq\f(α,n)的終邊所落在的區(qū)域．如此，角eq\f(α,n)所在的象限就可以由標號區(qū)域所在的象限直觀地看出．延伸探究4.在本例(1)中，90°－α是第幾象限角．解析：α是第二象限角，則－α為第三象限角．∴90°－α為第四象限角．5．在本例(2)中，eq\f(α,2)是第幾象限角．解析：∵k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z.∴k·180°<eq\f(α,2)<k·180°＋45°，k∈Z.當k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)為第一象限角．當k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)為第三象限角．授課提示：對應學生用書第4頁[課后小結]1．對角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應用“運動”的觀點下定義，理解這一概念時，要注意“旋轉方向”決定角的“正負”，“旋轉幅度”決定角的“絕對值大小”．2．關于終邊相同的角的認識一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．注意：(1)α為任意角；(2)k·360°與α之間是“＋”號，k·360°－α可理解為k·360°＋(－α)；(3)相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍；(4)k∈Z這一條件不能少．[素養(yǎng)培優(yōu)]1．角的集合間的關系[典例]設集合A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，C＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，D＝{β|β＝－135°＋k·360°，k∈Z}，E＝{α|α＝45°＋k·360°或α＝225°＋k·360°，k∈Z}，則相等的集合是________．[解析]對于集合D，有β＝－135°＋k·360°＝－135°＋360°＋(k－1)·360°＝225°＋(k－1)·360°.∵k∈Z，∴k－1∈Z，即集合D可以表示為D＝{β|β＝225°＋n·360°，n∈Z}，∴B＝D.對于集合E，有α＝45°＋k·360°＝45°＋2k·180°或α＝225°＋k·360°＝45°＋180°＋2k·180°＝45°＋(2k＋1)·180°.由k∈Z，得2k表示所有的偶數(shù)，2k＋1表示所有的奇數(shù)，∴集合E可以表示為E＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}，∴C＝E.綜上，相等的集合有B與D，C與E.[答案]B與D，C與E方法技巧判斷角的集合之間的關系一般有兩種方