2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)高一下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市通州區(qū)高一下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值，求解即可.【詳解】∵且，∴.2．已知，，且，則|（

）A．3 B． C．5 D．9【答案】B【分析】結(jié)合向量運(yùn)算法則和求解即可；【詳解】故選：B.3．扇形的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，而弧長(zhǎng)也增加到原來的2倍，則A．扇形的面積不變 B．扇形的圓心角不變C．扇形的面積增大到原來的2倍 D．扇形的圓心角增大到原來的2倍【答案】B【詳解】試題分析：由弧度制定義，等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在的圓的半徑增加為原來的2倍，弧長(zhǎng)也增加到原來的2倍，弧長(zhǎng)與半徑之比不變，所以，扇形的圓心角不變，故選B．【解析】本題主要考查弧度制的概念．點(diǎn)評(píng)：等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．4．下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)函數(shù)以為最小正周期，的周期為，故排除A.在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，故排除B.在區(qū)間上，單調(diào)遞增，且其最小正周期為，故C正確；根據(jù)函數(shù)以為最小正周期，的周期為，可排除D.故選：C.5．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)單調(diào)性，限定的取值范圍即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增可知，即；由三角函數(shù)單調(diào)性可知；利用指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增可得；所以.故選：C6．要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向右移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】D【分析】根據(jù)圖象平移前后的解析式判斷平移過程.【詳解】由題設(shè)，所以只需把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位.故選：D7．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將齊次式由弦化切，即可求值.【詳解】.故選：C8．已知函數(shù)，若，且函數(shù)的部分圖象如圖所示，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合圖象即可得到，進(jìn)而求得，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)可求得周期和，從而求得答案.【詳解】由圖可知，函數(shù)過點(diǎn)和點(diǎn)，即，又因?yàn)?，所以，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)可知，，解得，所以，解得，因?yàn)?，所以所以，所以，即，解得，因?yàn)?，所以故選：B.9．已知是單位向量，向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用向量數(shù)量積公式得到，結(jié)合，得到不等式，求出的取值范圍.【詳解】設(shè)的夾角為，由題意得，因?yàn)槭菃挝幌蛄?，故，顯然，且，所以，因?yàn)椋?，所以，解?故選：C10．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】分析題意，由賦值法即可判斷充分性成立，利用函數(shù)最小值小于即可判斷必要性.【詳解】取，當(dāng)時(shí)，，即充分性成立；設(shè)，因?yàn)?，顯然時(shí)，不存在使成立；當(dāng)時(shí)，，則，即；當(dāng)時(shí)，，則，即.所以或，即必要性不成立.故選：A11．從物理學(xué)知識(shí)可知，圖中彈簧振子中的小球相對(duì)平衡位置的位移與時(shí)間（單位：）的關(guān)系符合函數(shù).從某一時(shí)刻開始，用相機(jī)的連拍功能給彈簧振子連拍了張照片.已知連拍的間隔為，將照片按拍照的時(shí)間先后順序編號(hào)，發(fā)現(xiàn)僅有第張、第張、第張照片與第張照片是完全一樣的，請(qǐng)寫出小球正好處于平衡位置的所有照片的編號(hào)為（

）A．、 B．、 C．、、 D．、、【答案】D【分析】分析可知彈簧振子運(yùn)動(dòng)時(shí)的最小正周期為，求出的值，然后結(jié)合已知條件求出的值，令可求得的表達(dá)式，結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮H有第張、第張、第張照片與第張照片是完全一樣的，則彈簧振子運(yùn)動(dòng)時(shí)的最小正周期為，則，所以，，由題意可得，所以，，即，所以，，則，則，令可得，所以，，令，則，由可得，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)第張照片，當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)第張照片，當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)第張照片.故選：D.12．已知，則函數(shù)的值域是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)即可求得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故函數(shù)的值域是.故選：A.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的值域有以下幾類：（1）標(biāo)準(zhǔn)正弦、余弦函數(shù)的值域，直接求解；（2）正弦型、余弦型函數(shù)利用換元法，轉(zhuǎn)化為求標(biāo)準(zhǔn)正弦、余弦函數(shù)；（3）含sinx或cosx的復(fù)合函數(shù)型的直接求外函數(shù)的值域.二、填空題13．已知，則的值為．【答案】【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式求得的值，可得要求式子的值．【詳解】，則，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．在△ABC中，點(diǎn)D滿足，若，則【答案】【分析】把作為基底，然后利用向量加減法法則和平面向量基本定理把用基底表示出來，從而可求出的值，進(jìn)而可得答案【詳解】解：因?yàn)?，所?，因?yàn)?，所以，所以，故答案為?5．暑假期間，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙兩人的行動(dòng)相互之間沒有影響，則暑假期間兩人中至少有一人外出旅游的概率是.【答案】【解析】設(shè)“暑假期間兩人中至少有一人外出旅游”為事件，則其對(duì)立事件為“暑假期間兩人都未外出旅游”，先求得，再求解即可.【詳解】設(shè)“暑假期間兩人中至少有一人外出旅游”為事件，則其對(duì)立事件為“暑假期間兩人都未外出旅游”，則，所以.故答案為：.三、雙空題16．某學(xué)校開展了“國(guó)學(xué)”系列講座活動(dòng)，為了了解活動(dòng)效果，用分層抽樣的方法從高一年級(jí)所有學(xué)生中抽取10人進(jìn)行國(guó)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試，這10名同學(xué)的性別和測(cè)試成績(jī)(百分制)的莖葉圖如圖所示.則男生成績(jī)的75%分位數(shù)為；已知高一年級(jí)中男生總數(shù)為80人，試估計(jì)高一年級(jí)學(xué)生總數(shù)為.【答案】200【解析】根據(jù)75%分位數(shù)的求法，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可得答案；根據(jù)分層抽樣的定義，即可求得高一年級(jí)學(xué)生總數(shù).【詳解】將男生成績(jī)從小到大排列可得：64、76、77、78，共4個(gè)數(shù)據(jù)，且，所以男生成績(jī)的75%分位數(shù)為；設(shè)高一年級(jí)學(xué)生總數(shù)為n，因?yàn)橛梅謱映闃臃椒ǔ槿?0人中，男生有4人，且高一年級(jí)中男生總數(shù)為80人，所以，解得，故答案為：；200.四、填空題17．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)E，F(xiàn)分在邊BC，CD上，，．若，則的最小值為．【答案】【分析】由題意畫出圖形，把用表示，最后轉(zhuǎn)化為含有，的代數(shù)式，再結(jié)合及基本不等式求得的最小值．【詳解】解：如圖，，，且，，．由題意可得，，，，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），的最小值為．故答案為：．五、解答題18．已知函數(shù)(1)求的定義域；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，，解得函數(shù)的定義域?yàn)?（2）化簡(jiǎn)，代入求得然后根據(jù)以及同角三角函數(shù)間的關(guān)系，解得，最后化簡(jiǎn)解得：【詳解】（1）依題意，，.所以有.所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）.由，得.又因?yàn)?，所?所以.所以19．已知向量，.(1)若，求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值；(3)若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)且【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算可求得，進(jìn)而求出結(jié)果.（2）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出答案.（3）由題意分析得到且與不共線，結(jié)合（1）利用相關(guān)坐標(biāo)即可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)橄蛄?，且，所以，解得，所?（2）因?yàn)?，且，所以，解?（3）因?yàn)榕c的夾角是鈍角，則且與不共線，即且，所以且.20．已知函數(shù)，振幅為2，初相為.(1)若函數(shù)相鄰的兩條對(duì)稱軸的距離為，①求的值以及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；②求在區(qū)間［0，］上的最值，以及相對(duì)應(yīng)得的值.(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍.【答案】(1)①，（kZ）②當(dāng)x＝時(shí)，最大值為2，當(dāng)x＝時(shí)，最小值為-1.(2)【分析】（1）①首先根據(jù)三角函數(shù)圖像對(duì)稱軸性質(zhì)特征解得=，然后結(jié)合正弦函數(shù)圖像的單調(diào)性，利用整體代入求得的單調(diào)遞減區(qū)間為（kZ）②將x∈［0，］代入求得整體范圍，然后分別找到對(duì)應(yīng)的最大值和最小值以及相對(duì)應(yīng)得的值即可；（2）將，求得大范圍，然后結(jié)合函數(shù)圖像以及條件5個(gè)零點(diǎn)，確定范圍，最后求解的取值范圍.【詳解】（1）由題知，，所以=①由題函數(shù)相鄰的兩條對(duì)稱軸的距離為，所以，所以，=.因?yàn)閥＝sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為（kZ），令（kZ），得（kZ）.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（kZ）.②因?yàn)閤∈［0，］，所以2x＋.當(dāng)2x＋=，即x＝時(shí)，最大值為2，當(dāng)2x＋=，即x＝時(shí)，最小值為-1.（2）由題可得，所以，因?yàn)?，所以，若?個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得：，所以的取值范圍是.六、填空題21．定義運(yùn)算，例如：，則函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮縖-1,]【詳解】由題設(shè)可得，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像如圖，結(jié)合圖像可知：，故函數(shù)的值域?yàn)?，?yīng)填答案．22．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，P為正方形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意建立合適的平面直角坐標(biāo)系并求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，代入中，再由角的取值范圍即可求得的取值范圍.【詳解】已知正方形的邊長(zhǎng)為2，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則，又為正方形內(nèi)部不含邊界的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，所以P在以AB為直徑的半圓上（不包含端點(diǎn)），，則，又，則.故答案為：.23．已知函數(shù)，若存在滿足，且（，），則的最小值為．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，因此要使得滿足條件的最小，須取即【解析】三角函數(shù)性質(zhì)24．設(shè)函數(shù)，給出下列結(jié)論：①是奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，；③是周期函數(shù)；④存在無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；⑤，，使得且.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②④【分析】直接利用三角函數(shù)的性質(zhì)，周期性單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系判斷①②③④⑤的結(jié)論.【詳解】函數(shù)，對(duì)于①：函數(shù)故函數(shù)f(x)是奇函數(shù),故①正確；對(duì)于②：令，而在上恒正，則，又，則，所以，故②正確；對(duì)于③,假設(shè)函數(shù)的周期為T，則對(duì)一切x都成立，取x=0時(shí)得到，再取時(shí)故，所以明顯T無解，故假設(shè)錯(cuò)誤，故不是周期函數(shù).故③錯(cuò)誤；對(duì)于④,令解得，取時(shí)，，解得x=0或，故存在無數(shù)個(gè)零點(diǎn).故④正確；對(duì)于⑤,令，則，由為奇函數(shù)，不妨令，所以，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問題，如下圖，

不妨假設(shè)()為圖象靠近原點(diǎn)處的兩交點(diǎn)，隨的變化，可能無限趨近于0，但恒有，所以，使不能總成立,故⑤錯(cuò)誤.故答案為：①②④【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）函數(shù)奇偶性、周期性的判斷通常用定義進(jìn)行驗(yàn)證；（2）要證明一個(gè)命題為真命題，需要嚴(yán)格的證明；要判斷一個(gè)命題為假命題，舉一個(gè)反例就可以了.（3）結(jié)論⑤是本題的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn).七、解答題25．已知函數(shù).在下列條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中，選擇可以確定ω和m值的兩個(gè)條件作為已知.條件①：＝2；條件②：最大值與最小值之和為0；條件③：最小正周期為π.(1)求的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間［0，a］上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最大值【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】本題為劣構(gòu)題；（1）選擇條件然后對(duì)應(yīng)分析解析；條件①②：由①知，根據(jù)，解得m=2；由②知，根據(jù)，解得，矛盾，不能同時(shí)選；選條件①③：解得，從而解得，結(jié)合函數(shù)圖像的單調(diào)性確定a的最大值為；選條件②③：根據(jù)條件解得，，解得，（2）結(jié)合函數(shù)圖像的單調(diào)性確定a的最大值為；【詳解】（1）函數(shù)．選條件①②：由①知，，所以m=2；由②知，，所以，矛盾，不能同時(shí)選；選條件①③：由條件③得，，又因?yàn)棣?gt;0，所以ω=2．由①知，，所以m=2．則．所以．選條件②③：由于最小正周期為，所以ω=2，所以；由最大值與最小值之和為0，，故，解得．所以，所以．（2）選條件①③：令，所以，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間［0，a]上單調(diào)遞增，且，此時(shí)k=0，所以，故a的最大值為．選條件②③：解法同選擇①③：令，所以，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間［0，a]上單調(diào)遞增，且，此時(shí)k=0，所以，故a的最大值為．26．設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，在內(nèi)任取個(gè)數(shù)，設(shè)，令，如果存在一個(gè)正數(shù)M，使得，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P.己知函數(shù)，.(1)若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)試判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)P?若具有性質(zhì)P，請(qǐng)求出M的最小值；若不具有性質(zhì)P，請(qǐng)說明理由.(3)試判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)P?若具有性質(zhì)P，請(qǐng)求出M的最小值；若不具有性質(zhì)P，請(qǐng)說明理由.(4)請(qǐng)?jiān)噷懗鲆粋€(gè)函數(shù)使其在區(qū)間上不具有性質(zhì)P.（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）【答案】(1)(2)是，最小值為(3)是，最小值為(4)（不唯一）【分析】（1）使得恒成立，需，只需求的最大值即可；（2）判斷的單調(diào)性，可得，滿足性質(zhì)P；（3）判斷的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合絕對(duì)值不等式可得，滿足性質(zhì)P；（4）找一個(gè)函數(shù)值趨于無窮大的函數(shù)即可.【詳解】（1）使得恒成立，需，因?yàn)楹瘮?shù)，在時(shí)為增函數(shù)，所以在時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，.故為使得恒成立，a的取值范圍是.（2）函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P.設(shè).首先證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.任取，所以函