工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)

工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第1頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量．其中aij表示上半年工廠向第

i家商店發(fā)送第

j種貨物的數(shù)量．其中cij表示工廠下半年向第

i家商店發(fā)送第j

種貨物的數(shù)量．第2頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量第3頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月一、矩陣的加法定義：設(shè)有兩個(gè)

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣A與B的和記作

A＋B，規(guī)定為說明：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.第4頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月知識(shí)點(diǎn)比較第5頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月交換律結(jié)合律其他矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B、C是同型矩陣設(shè)矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)，稱為矩陣A的負(fù)矩陣．顯然第6頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各l件，試求：工廠向該商店發(fā)送第j種貨物的總值及總重量．例（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表：其中bi1表示第i種貨物的單價(jià)，bi2表示第i種貨物的單件重量．第7頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月解：工廠向該商店發(fā)送第j種貨物的總值及總重量其中bi1表示第i種貨物的單價(jià)，bi2表示第i種貨物的單件重量．第8頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月二、數(shù)與矩陣相乘定義：數(shù)l與矩陣

A的乘積記作

lA

或

Al

，規(guī)定為第9頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.第10頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月知識(shí)點(diǎn)比較第11頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月其中aij表示工廠向第i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例（續(xù)）

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1表示第i種貨物的單價(jià)，bi2表示第i種貨物的單件重量．試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量．第12頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月解：以ci1，ci2分別表示工廠向第i家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中i=1,2,3．于是其中aij表示工廠向第i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．其中bi1表示第i種貨物的單價(jià)，bi2表示第i種貨物的單件重量．第13頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月可用矩陣表示為一般地，第14頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月一、矩陣與矩陣相乘定義：設(shè)，，那么規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是一個(gè)

m×n矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．第15頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例：設(shè)則第16頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月知識(shí)點(diǎn)比較有意義.沒有意義.只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.第17頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例P.35例5

結(jié)論：矩陣乘法不一定滿足交換律.矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結(jié)論．第18頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)乘法結(jié)合律(3)乘法對(duì)加法的分配律(2)數(shù)乘和乘法的結(jié)合律（其中

l

是數(shù)）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是純量陣

lE

與任何同階方陣都是可交換的.純量陣不同于對(duì)角陣第19頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月(5)矩陣的冪

若A是n階方陣，定義顯然思考：下列等式在什么時(shí)候成立？A、B可交換時(shí)成立第20頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT

.例第21頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)第22頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例：已知解法1第23頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月解法2第24頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月定義：設(shè)A為n階方陣，如果滿足，即那么A稱為對(duì)稱陣.如果滿足A=－AT，那么A稱為反對(duì)稱陣.對(duì)稱陣反對(duì)稱陣第25頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例：設(shè)列矩陣X=(x1,x2,…,xn

)T滿足XT

X=1，E為n階單位陣，H=E－2XXT，試證明H是對(duì)稱陣，且HHT=E.證明：從而H是對(duì)稱陣．第26頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月五、方陣的行列式定義：由n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣A的行列式，記作|A|或detA.運(yùn)算性質(zhì)第27頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：要使得|AB|=|A||B|

有意義，A、B必為同階方陣，假設(shè)A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我們以

n=3為例，構(gòu)造一個(gè)6階行列式第28頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月第30頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月令，則C=(cij)=AB．第31頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月從而．第32頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年