導(dǎo)熱問題數(shù)值解法基礎(chǔ)

導(dǎo)熱問題數(shù)值解法基礎(chǔ)第1頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§4-1建立離散方程的方法一、區(qū)域和時(shí)間的離散化—有限差分法的基本原理把物體分割為有限個(gè)離散的單元體，用有限差商代替導(dǎo)數(shù)，從而將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程。通過數(shù)值計(jì)算求取各網(wǎng)格單元節(jié)點(diǎn)的溫度二維導(dǎo)熱問題；網(wǎng)格線；沿x、y方向的間距為x、y；網(wǎng)格單元節(jié)點(diǎn)：網(wǎng)格線的交點(diǎn)；p(i,j)p(i,j)邊界節(jié)點(diǎn)（Nodalpoint）第2頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月每個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度就代表了它所在網(wǎng)格單元的溫度此方法求得的溫度場(chǎng)在空間上不連續(xù)網(wǎng)格越細(xì)密、節(jié)點(diǎn)越多，結(jié)果越接近分析解p(i,j)對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：除了在空間上把物體分割成網(wǎng)格單元，時(shí)間上也要分割成許多間隔網(wǎng)格越細(xì)密，計(jì)算所花時(shí)間越長(zhǎng)——在時(shí)間上也是不連續(xù)的建立有限差分離散方程的常用方法：(1)Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開法；(2)熱平衡法；(3)多項(xiàng)式擬合法；(4)控制容積積分法（Energybalancemethod）第3頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月p(i,j)Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開法和多項(xiàng)式擬合法偏重于從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行推導(dǎo)；而熱平衡法和控制容積積分法則著重于從物理的觀點(diǎn)來分析建立差分方程的方法(1)Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開法★(2)多項(xiàng)式擬合法(3)熱平衡法★(4)控制容積積分法前一類方法優(yōu)點(diǎn)：便于對(duì)離散方程進(jìn)行數(shù)學(xué)特性分析缺點(diǎn)：變步長(zhǎng)網(wǎng)格的離散方程形式復(fù)雜、導(dǎo)出過程的物理概念不清晰、不能保證差分方程具有守恒特性后一類方法優(yōu)點(diǎn)：推導(dǎo)過程物理概念清晰、離散方程系數(shù)具有一定物理意義、保證差分方程具有守恒特性缺點(diǎn)：不便于對(duì)離散方程進(jìn)行數(shù)學(xué)特性分析第4頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開法將函數(shù)t(x,y,z)在某點(diǎn)（i+1,j）對(duì)點(diǎn)（i,j）作Taylor展開二、建立差分方程的方法二階導(dǎo)數(shù)和更高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)之和——截?cái)嗾`差第5頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二階導(dǎo)數(shù)和更高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)之和——截?cái)嗾`差節(jié)點(diǎn)（i,j）一階導(dǎo)數(shù)的向前差分表達(dá)式；一階截差公式第6頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將函數(shù)t(x,y,z)在均勻網(wǎng)格點(diǎn)（i-1,j）對(duì)點(diǎn)（i,j）作Taylor展開：節(jié)點(diǎn)（i,j）一階導(dǎo)數(shù)的向后差分表達(dá)式；一階截差公式第7頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月節(jié)點(diǎn)（i,j）一階導(dǎo)數(shù)的中心差分表達(dá)式；二階截差公式二方程相減，得：節(jié)點(diǎn)（i,j）一階導(dǎo)數(shù)的三種表達(dá)式中，中心差分表達(dá)式的截?cái)嗾`差最?。槐M可能采用中心差分表達(dá)式第8頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月節(jié)點(diǎn)（i,j）二階導(dǎo)數(shù)的中心差分表達(dá)式；二階截差公式二方程相加，得：在表示溫度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)時(shí)一般采用向前或向后差分表達(dá)式——溫度對(duì)時(shí)間的中心差分表達(dá)式不穩(wěn)定第9頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月節(jié)點(diǎn)P(i,j)的溫度離散方程在寫出導(dǎo)數(shù)差分表達(dá)式后，可以很容易建立導(dǎo)熱微分方程的離散方程。以常物性、無內(nèi)熱源、二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例：第10頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、熱平衡法（Energybalancemethod）(i,j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j-1)S

(i,j+1)NPxxyy

熱平衡法的優(yōu)點(diǎn)（1）物理意義明確；（2）當(dāng)熱導(dǎo)率是溫度的函數(shù)或內(nèi)熱源不是均勻分布時(shí)，較簡(jiǎn)單；（3）適用于均勻與非均勻網(wǎng)格；（4）適用于內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)

在穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱條件下：導(dǎo)入與導(dǎo)出網(wǎng)格單元凈熱量+網(wǎng)格單元內(nèi)熱源發(fā)熱量=0

不存在內(nèi)熱源時(shí)：第11頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(i,j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j-1)S

(i,j+1)NPxxyy根據(jù)傅里葉定律：代入熱平衡關(guān)系式：第12頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(i,j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j-1)S

(i,j+1)NPxxyy

熱平衡法的優(yōu)點(diǎn)（1）物理意義明確（2）適于熱導(dǎo)率是溫度的函數(shù)或內(nèi)熱源非均勻分布（3）適用于均勻與非均勻網(wǎng)格（4）適用于內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)第13頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計(jì)算一、內(nèi)節(jié)點(diǎn)溫度差分方程可以用Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開法或熱平衡法熱平衡法有優(yōu)點(diǎn)(i,j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j-1)S

(i,j+1)NPxxyy第14頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、邊界節(jié)點(diǎn)溫度差分方程第一類邊界條件：?jiǎn)栴}簡(jiǎn)單；邊界節(jié)點(diǎn)溫度給定第二類、第三類邊界條件：根據(jù)給定的具體條件，針對(duì)邊界節(jié)點(diǎn)所在的網(wǎng)格單元，寫出熱平衡關(guān)系式，建立邊界節(jié)點(diǎn)溫度差分方程例：第三類邊界條件：假設(shè)無內(nèi)熱源第15頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第16頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第17頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第18頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、節(jié)點(diǎn)方程組的求解寫出所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)的溫度差分方程n個(gè)未知節(jié)點(diǎn)溫度，n個(gè)代數(shù)方程式：代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法第19頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月直接解法：通過有限次運(yùn)算獲得代數(shù)方程精確解;

矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)、在迭代計(jì)算過程中不斷予以改進(jìn)、直到計(jì)算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時(shí)不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計(jì)算過程中要相應(yīng)地不斷更新）迭代解法有多種：簡(jiǎn)單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯-賽德爾迭代的特點(diǎn)：每次迭代時(shí)總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值第20頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)按下式（采用最新值）例如：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值可以求得節(jié)點(diǎn)溫度：第21頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：k及k+1表示迭代次數(shù)；—第k次迭代得到的最大值當(dāng)有接近于零的t時(shí)，第三個(gè)較好有時(shí)還要同時(shí)考慮熱流密度收斂第22頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二氧化碳?xì)饫涠驯貙樱∕anchesterUniversity）第二類邊界條件第一類邊界條件第23頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第24頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計(jì)算非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的主要區(qū)別：控制方程中多一個(gè)非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)；溫度隨空間和時(shí)間變化能量平衡關(guān)系：網(wǎng)格單元不僅與相鄰的網(wǎng)格單元之間有熱量的導(dǎo)入或?qū)С?，網(wǎng)格單元本身的熱力學(xué)能也隨時(shí)間發(fā)生變化溫度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)：向前差分、向后差分差分方程：顯式差分格式、隱式差分格式第25頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的顯式差分格式常物性、無內(nèi)熱源、一維、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)節(jié)點(diǎn)i、在k時(shí)刻熱平衡關(guān)系式：可用泰勒級(jí)數(shù)展開法或熱平衡法第26頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)節(jié)點(diǎn)i、k時(shí)刻：用Taylor級(jí)數(shù)展開法可以得到同樣的結(jié)果第27頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月只要知道k時(shí)刻各節(jié)點(diǎn)溫度，就可以利用上式計(jì)算出(k+1)時(shí)刻各節(jié)點(diǎn)的溫度顯式差分格式：(k+1)時(shí)刻各節(jié)點(diǎn)的溫度直接利用前一個(gè)時(shí)刻（k）各節(jié)點(diǎn)的溫度以顯函數(shù)的形式表示根據(jù)穩(wěn)定性分析：必須保證每項(xiàng)前面的系數(shù)一維非穩(wěn)態(tài)內(nèi)節(jié)點(diǎn)顯式差分格式的穩(wěn)定性條件第28頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一維非穩(wěn)態(tài)內(nèi)節(jié)點(diǎn)顯式差分格式的穩(wěn)定性條件二維和三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)節(jié)點(diǎn)顯式格式的穩(wěn)定性條件：若違反穩(wěn)定性條件，則計(jì)算值波動(dòng)、出現(xiàn)違反熱力學(xué)第二定律的現(xiàn)象——自學(xué)教科書第29頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的隱式差分格式常物性、無內(nèi)熱源、一維、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)節(jié)點(diǎn)i、在k時(shí)刻熱平衡關(guān)系式：溫度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)改為向后差分第30頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)節(jié)點(diǎn)i、k時(shí)刻：第31頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月改寫為：隱差分格式：(k+1)時(shí)刻各節(jié)點(diǎn)的溫度不能直接利用前一個(gè)時(shí)刻（k）各節(jié)點(diǎn)的溫度以顯函數(shù)的形式表示（含有未知的）第32頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隱差分格式無條件穩(wěn)定需將所有的內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)方程式聯(lián)立求解第33頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、邊界節(jié)點(diǎn)溫度差分方程第一類邊界條件：?jiǎn)栴}簡(jiǎn)單；邊界節(jié)點(diǎn)溫度給定第二類、第三類邊界條件：根據(jù)給定的具體條件，針對(duì)邊界節(jié)點(diǎn)所在的網(wǎng)格單元，寫出熱平衡關(guān)系式，建立邊界節(jié)點(diǎn)溫度差分方程顯式或隱式差分格式假設(shè)邊界條件為第三類：邊界節(jié)點(diǎn)0，k時(shí)刻熱平衡：1、邊界節(jié)點(diǎn)的顯式差分格式第34頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第35頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定性條件：綜合考慮內(nèi)節(jié)點(diǎn)與邊界節(jié)點(diǎn)：對(duì)于第三類邊界條件、應(yīng)用顯式差分格式時(shí)，其穩(wěn)定性條件：一維非穩(wěn)態(tài)內(nèi)節(jié)點(diǎn)顯式差分格式的穩(wěn)定性條件綜合考慮內(nèi)節(jié)點(diǎn)與邊界節(jié)點(diǎn)：對(duì)于第一、二類邊界條件、顯式差分格式的穩(wěn)定性條件：第36頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三類邊界條件、二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱均勻網(wǎng)格的顯式差分格式穩(wěn)定性條件：第三類邊界條件、三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱均勻網(wǎng)格的顯式差分格式穩(wěn)定性條件：邊界節(jié)點(diǎn)0，k時(shí)刻熱平衡：2、邊界節(jié)點(diǎn)的隱式差分格式熱力學(xué)能的變化項(xiàng)用向后差分第37頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月邊界節(jié)點(diǎn)0，k時(shí)刻熱平衡：第38頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隱式差分格式是無條件穩(wěn)定的4、節(jié)點(diǎn)方程組的求解所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程+邊界節(jié)點(diǎn)差分方程（1）應(yīng)用顯式差分格式時(shí)：計(jì)算簡(jiǎn)單；根據(jù)初始條件可依次計(jì)算出各個(gè)時(shí)刻、各節(jié)點(diǎn)的溫度值第39頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意：穩(wěn)定性條件；（2）應(yīng)用隱式差分格式時(shí)：需采用迭代法（1）應(yīng)用顯式差分格式時(shí)：計(jì)算簡(jiǎn)單；根據(jù)初始條件可依次計(jì)算出各個(gè)時(shí)刻、各節(jié)點(diǎn)的溫度值（參見教科書及陶文銓著的《數(shù)值傳熱學(xué)》）第40頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§4-4控制容積積分法簡(jiǎn)介（Controlvolume）導(dǎo)出離散方程的控制容積積分法也叫有限容積法，是傳熱問題的數(shù)值計(jì)算中最常用的方法主要步驟：1、將控制方程（導(dǎo)熱微分方程）在所選取的控制容積及時(shí)間間隔內(nèi)對(duì)空間和時(shí)間進(jìn)行積分2、選定未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)對(duì)時(shí)間及空間的局部分布曲線形式（型線或插值方法）3、對(duì)各個(gè)項(xiàng)按選定的型線進(jìn)行積分，并整理成關(guān)于節(jié)點(diǎn)上位置值的代數(shù)方程第41頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月用控制容積積分法導(dǎo)出離散方程應(yīng)用舉例：一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程1、將導(dǎo)熱微分方程在選取的控制容積及時(shí)間間隔內(nèi)對(duì)空間和時(shí)間進(jìn)行積分第42頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、選定未知函數(shù)（溫度）及其導(dǎo)數(shù)對(duì)時(shí)間及空間的局部分布曲線形式（型線或插值方法）分段線性階梯式分段線性階梯式第43頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、對(duì)各個(gè)項(xiàng)按選定的型線進(jìn)行積分，并整理成關(guān)于節(jié)點(diǎn)上位置值的代數(shù)方程（1）非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)：取t隨x變化的型線為階梯式即：同一控制容積中各處t值相同，為節(jié)點(diǎn)P上之值分段線性階梯式分段線性階梯式第44頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）擴(kuò)散項(xiàng)：取t的一階導(dǎo)數(shù)隨時(shí)間作顯式階躍式變化取t隨x呈分段線性變化分段線性階梯式分段線性階梯式第45頁(yè)，課件共50頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月擴(kuò)散項(xiàng)：（3）源項(xiàng)：假設(shè)源項(xiàng)對(duì)x和均呈階梯式變化第46頁(yè)，課件共