導(dǎo)熱問題數(shù)值解法基礎(chǔ)

導(dǎo)熱問題數(shù)值解法基礎(chǔ)第1頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月§4-1建立離散方程的方法一、區(qū)域和時間的離散化—有限差分法的基本原理把物體分割為有限個離散的單元體，用有限差商代替導(dǎo)數(shù)，從而將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程。通過數(shù)值計算求取各網(wǎng)格單元節(jié)點的溫度二維導(dǎo)熱問題；網(wǎng)格線；沿x、y方向的間距為x、y；網(wǎng)格單元節(jié)點：網(wǎng)格線的交點；p(i,j)p(i,j)邊界節(jié)點（Nodalpoint）第2頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月每個節(jié)點溫度就代表了它所在網(wǎng)格單元的溫度此方法求得的溫度場在空間上不連續(xù)網(wǎng)格越細密、節(jié)點越多，結(jié)果越接近分析解p(i,j)對于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：除了在空間上把物體分割成網(wǎng)格單元，時間上也要分割成許多間隔網(wǎng)格越細密，計算所花時間越長——在時間上也是不連續(xù)的建立有限差分離散方程的常用方法：(1)Taylor（泰勒）級數(shù)展開法；(2)熱平衡法；(3)多項式擬合法；(4)控制容積積分法（Energybalancemethod）第3頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月p(i,j)Taylor（泰勒）級數(shù)展開法和多項式擬合法偏重于從數(shù)學的角度進行推導(dǎo)；而熱平衡法和控制容積積分法則著重于從物理的觀點來分析建立差分方程的方法(1)Taylor（泰勒）級數(shù)展開法★(2)多項式擬合法(3)熱平衡法★(4)控制容積積分法前一類方法優(yōu)點：便于對離散方程進行數(shù)學特性分析缺點：變步長網(wǎng)格的離散方程形式復(fù)雜、導(dǎo)出過程的物理概念不清晰、不能保證差分方程具有守恒特性后一類方法優(yōu)點：推導(dǎo)過程物理概念清晰、離散方程系數(shù)具有一定物理意義、保證差分方程具有守恒特性缺點：不便于對離散方程進行數(shù)學特性分析第4頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月1、Taylor（泰勒）級數(shù)展開法將函數(shù)t(x,y,z)在某點（i+1,j）對點（i,j）作Taylor展開二、建立差分方程的方法二階導(dǎo)數(shù)和更高階導(dǎo)數(shù)項之和——截斷誤差第5頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月二階導(dǎo)數(shù)和更高階導(dǎo)數(shù)項之和——截斷誤差節(jié)點（i,j）一階導(dǎo)數(shù)的向前差分表達式；一階截差公式第6頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月將函數(shù)t(x,y,z)在均勻網(wǎng)格點（i-1,j）對點（i,j）作Taylor展開：節(jié)點（i,j）一階導(dǎo)數(shù)的向后差分表達式；一階截差公式第7頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月節(jié)點（i,j）一階導(dǎo)數(shù)的中心差分表達式；二階截差公式二方程相減，得：節(jié)點（i,j）一階導(dǎo)數(shù)的三種表達式中，中心差分表達式的截斷誤差最小；盡可能采用中心差分表達式第8頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月節(jié)點（i,j）二階導(dǎo)數(shù)的中心差分表達式；二階截差公式二方程相加，得：在表示溫度對時間的一階導(dǎo)數(shù)時一般采用向前或向后差分表達式——溫度對時間的中心差分表達式不穩(wěn)定第9頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月節(jié)點P(i,j)的溫度離散方程在寫出導(dǎo)數(shù)差分表達式后，可以很容易建立導(dǎo)熱微分方程的離散方程。以常物性、無內(nèi)熱源、二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例：第10頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月2、熱平衡法（Energybalancemethod）(i,j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j-1)S

(i,j+1)NPxxyy

熱平衡法的優(yōu)點（1）物理意義明確；（2）當熱導(dǎo)率是溫度的函數(shù)或內(nèi)熱源不是均勻分布時，較簡單；（3）適用于均勻與非均勻網(wǎng)格；（4）適用于內(nèi)節(jié)點和邊界節(jié)點

在穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱條件下：導(dǎo)入與導(dǎo)出網(wǎng)格單元凈熱量+網(wǎng)格單元內(nèi)熱源發(fā)熱量=0

不存在內(nèi)熱源時：第11頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月(i,j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j-1)S

(i,j+1)NPxxyy根據(jù)傅里葉定律：代入熱平衡關(guān)系式：第12頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月(i,j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j-1)S

(i,j+1)NPxxyy

熱平衡法的優(yōu)點（1）物理意義明確（2）適于熱導(dǎo)率是溫度的函數(shù)或內(nèi)熱源非均勻分布（3）適用于均勻與非均勻網(wǎng)格（4）適用于內(nèi)節(jié)點和邊界節(jié)點第13頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月§4-2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算一、內(nèi)節(jié)點溫度差分方程可以用Taylor（泰勒）級數(shù)展開法或熱平衡法熱平衡法有優(yōu)點(i,j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j-1)S

(i,j+1)NPxxyy第14頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月二、邊界節(jié)點溫度差分方程第一類邊界條件：問題簡單；邊界節(jié)點溫度給定第二類、第三類邊界條件：根據(jù)給定的具體條件，針對邊界節(jié)點所在的網(wǎng)格單元，寫出熱平衡關(guān)系式，建立邊界節(jié)點溫度差分方程例：第三類邊界條件：假設(shè)無內(nèi)熱源第15頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第17頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月三、節(jié)點方程組的求解寫出所有內(nèi)節(jié)點和邊界節(jié)點的溫度差分方程n個未知節(jié)點溫度，n個代數(shù)方程式：代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法第19頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月直接解法：通過有限次運算獲得代數(shù)方程精確解;

矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：先對要計算的場作出假設(shè)、在迭代計算過程中不斷予以改進、直到計算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計算已經(jīng)收斂。缺點：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點溫度差分方程中的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計算過程中要相應(yīng)地不斷更新）迭代解法有多種：簡單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯-賽德爾迭代的特點：每次迭代時總是使用節(jié)點溫度的最新值第20頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月在計算后面的節(jié)點溫度時應(yīng)按下式（采用最新值）例如：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值可以求得節(jié)點溫度：第21頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月判斷迭代是否收斂的準則：k及k+1表示迭代次數(shù)；—第k次迭代得到的最大值當有接近于零的t時，第三個較好有時還要同時考慮熱流密度收斂第22頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月二氧化碳氣冷堆保溫層（ManchesterUniversity）第二類邊界條件第一類邊界條件第23頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月§4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的主要區(qū)別：控制方程中多一個非穩(wěn)態(tài)項；溫度隨空間和時間變化能量平衡關(guān)系：網(wǎng)格單元不僅與相鄰的網(wǎng)格單元之間有熱量的導(dǎo)入或?qū)С?，網(wǎng)格單元本身的熱力學能也隨時間發(fā)生變化溫度對時間的一階導(dǎo)數(shù)：向前差分、向后差分差分方程：顯式差分格式、隱式差分格式第25頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月一、內(nèi)部節(jié)點的顯式差分格式常物性、無內(nèi)熱源、一維、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)節(jié)點i、在k時刻熱平衡關(guān)系式：可用泰勒級數(shù)展開法或熱平衡法第26頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)節(jié)點i、k時刻：用Taylor級數(shù)展開法可以得到同樣的結(jié)果第27頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月只要知道k時刻各節(jié)點溫度，就可以利用上式計算出(k+1)時刻各節(jié)點的溫度顯式差分格式：(k+1)時刻各節(jié)點的溫度直接利用前一個時刻（k）各節(jié)點的溫度以顯函數(shù)的形式表示根據(jù)穩(wěn)定性分析：必須保證每項前面的系數(shù)一維非穩(wěn)態(tài)內(nèi)節(jié)點顯式差分格式的穩(wěn)定性條件第28頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月一維非穩(wěn)態(tài)內(nèi)節(jié)點顯式差分格式的穩(wěn)定性條件二維和三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)節(jié)點顯式格式的穩(wěn)定性條件：若違反穩(wěn)定性條件，則計算值波動、出現(xiàn)違反熱力學第二定律的現(xiàn)象——自學教科書第29頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月二、內(nèi)部節(jié)點的隱式差分格式常物性、無內(nèi)熱源、一維、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)節(jié)點i、在k時刻熱平衡關(guān)系式：溫度對時間的一階導(dǎo)數(shù)改為向后差分第30頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)節(jié)點i、k時刻：第31頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月改寫為：隱差分格式：(k+1)時刻各節(jié)點的溫度不能直接利用前一個時刻（k）各節(jié)點的溫度以顯函數(shù)的形式表示（含有未知的）第32頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月隱差分格式無條件穩(wěn)定需將所有的內(nèi)節(jié)點和邊界節(jié)點方程式聯(lián)立求解第33頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月三、邊界節(jié)點溫度差分方程第一類邊界條件：問題簡單；邊界節(jié)點溫度給定第二類、第三類邊界條件：根據(jù)給定的具體條件，針對邊界節(jié)點所在的網(wǎng)格單元，寫出熱平衡關(guān)系式，建立邊界節(jié)點溫度差分方程顯式或隱式差分格式假設(shè)邊界條件為第三類：邊界節(jié)點0，k時刻熱平衡：1、邊界節(jié)點的顯式差分格式第34頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定性條件：綜合考慮內(nèi)節(jié)點與邊界節(jié)點：對于第三類邊界條件、應(yīng)用顯式差分格式時，其穩(wěn)定性條件：一維非穩(wěn)態(tài)內(nèi)節(jié)點顯式差分格式的穩(wěn)定性條件綜合考慮內(nèi)節(jié)點與邊界節(jié)點：對于第一、二類邊界條件、顯式差分格式的穩(wěn)定性條件：第36頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第三類邊界條件、二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱均勻網(wǎng)格的顯式差分格式穩(wěn)定性條件：第三類邊界條件、三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱均勻網(wǎng)格的顯式差分格式穩(wěn)定性條件：邊界節(jié)點0，k時刻熱平衡：2、邊界節(jié)點的隱式差分格式熱力學能的變化項用向后差分第37頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月邊界節(jié)點0，k時刻熱平衡：第38頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月隱式差分格式是無條件穩(wěn)定的4、節(jié)點方程組的求解所有內(nèi)節(jié)點差分方程+邊界節(jié)點差分方程（1）應(yīng)用顯式差分格式時：計算簡單；根據(jù)初始條件可依次計算出各個時刻、各節(jié)點的溫度值第39頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：穩(wěn)定性條件；（2）應(yīng)用隱式差分格式時：需采用迭代法（1）應(yīng)用顯式差分格式時：計算簡單；根據(jù)初始條件可依次計算出各個時刻、各節(jié)點的溫度值（參見教科書及陶文銓著的《數(shù)值傳熱學》）第40頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月§4-4控制容積積分法簡介（Controlvolume）導(dǎo)出離散方程的控制容積積分法也叫有限容積法，是傳熱問題的數(shù)值計算中最常用的方法主要步驟：1、將控制方程（導(dǎo)熱微分方程）在所選取的控制容積及時間間隔內(nèi)對空間和時間進行積分2、選定未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)對時間及空間的局部分布曲線形式（型線或插值方法）3、對各個項按選定的型線進行積分，并整理成關(guān)于節(jié)點上位置值的代數(shù)方程第41頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月用控制容積積分法導(dǎo)出離散方程應(yīng)用舉例：一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程1、將導(dǎo)熱微分方程在選取的控制容積及時間間隔內(nèi)對空間和時間進行積分第42頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月2、選定未知函數(shù)（溫度）及其導(dǎo)數(shù)對時間及空間的局部分布曲線形式（型線或插值方法）分段線性階梯式分段線性階梯式第43頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月3、對各個項按選定的型線進行積分，并整理成關(guān)于節(jié)點上位置值的代數(shù)方程（1）非穩(wěn)態(tài)項：取t隨x變化的型線為階梯式即：同一控制容積中各處t值相同，為節(jié)點P上之值分段線性階梯式分段線性階梯式第44頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）擴散項：取t的一階導(dǎo)數(shù)隨時間作顯式階躍式變化取t隨x呈分段線性變化分段線性階梯式分段線性階梯式第45頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月擴散項：（3）源項：假設(shè)源項對x和均呈階梯式變化第46頁，課件共