第3節(jié)　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系第八章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點核心素養(yǎng)1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.1.平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用2.判斷空間直線的位置關(guān)系3.異面直線所成的角1.直觀想象2.邏輯推理強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略1.平面的基本性質(zhì)

一條直線上的三點兩點

有且只有一條

微點撥三個推論推論1:經(jīng)過一條直線與這條直線外一點有且只有一個平面;推論2:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面;推論3:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.微思考1三點一定能確定一個平面,這個說法正確嗎?微思考2“有且只有一個平面”“確定一個平面”“共面”三者之間有何區(qū)別與聯(lián)系?提示:不正確.當(dāng)三點共線時,過這三點的平面有無數(shù)個,所以必須是不在一條直線上的三點才能確定一個平面.提示:“確定一個平面”與“有且只有一個平面”是等價的,都包括“存在”和“唯一”兩個方面.但“共面”的意思是“在同一個平面內(nèi)”,只強(qiáng)調(diào)了“存在性”,不含“唯一性”.所以“共面”與前兩者是不同的.2.等角定理

要注意角的兩邊方向空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角

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微思考空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角一定相等嗎?相等或互補(bǔ)

提示:不一定.如果這兩個角開口方向一致,則它們相等,若反向則互補(bǔ).3.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

微點撥空間中兩直線的位置關(guān)系

微思考分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線嗎?提示:不一定.因為異面直線是不同在任何一個平面內(nèi)的直線.分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線可能平行或相交.4.異面直線所成的角(1)定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間中任一點O作直線a‘∥a,b’∥b,把a(bǔ)'與b'所成的

叫作異面直線a與b所成的角.

銳角(或直角)常用結(jié)論1.異面直線判定的一個定理過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線,與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.2.唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.增素能精準(zhǔn)突破考點一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用典例突破例1.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB和AA1的中點.求證:(1)E,C,D1,F四點共面;(2)CE,D1F,DA三線共點.證明:(1)如圖,連接CD1,EF,A1B,因為E,F分別是AB和AA1的中點,所以EF∥A1B且EF=A1B.又因為A1D1∥BC,且A1D1=BC,所以四邊形A1BCD1是平行四邊形.所以A1B∥CD1,所以EF∥CD1,所以EF與CD1確定一個平面α.所以E,F,C,D1都在α中,即E,C,D1,F四點共面.(2)由(1)知,EF∥CD1,且EF=CD1,所以四邊形CD1FE是梯形,所以CE與D1F必相交.設(shè)交點為P,則P∈CE?平面ABCD,且P∈D1F?平面A1ADD1,所以P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又因為平面ABCD∩平面A1ADD1=AD,所以P∈AD,所以CE,D1F,DA三線共點.突破技巧共面、共線、共點問題的證明方法

對點訓(xùn)練1如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點,G,H分別在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.(1)求證:E,F,G,H四點共面;(2)設(shè)EG與FH交于點P,求證:P,A,C三點共線.證明:(1)∵E,F分別為AB,AD的中點,∴EF∥BD.∴GH∥BD,∴EF∥GH.∴E,F,G,H四點共面.(2)∵EG∩FH=P,P∈EG,EG?平面ABC,∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點.又平面ABC∩平面ADC=AC,∴P∈AC,∴P,A,C三點共線.考點二判斷空間直線的位置關(guān)系典例突破例2.(1)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是(

)A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交(2)(2021安徽六安模擬)如圖,G,H,M,N分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH與MN是異面直線的圖形有

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答案:(1)D

(2)②④

解析:(1)由于l與直線l1,l2分別共面,故直線l與l1,l2要么都不相交,要么至少與l1,l2中的一條相交.若l∥l1,l∥l2,則l1∥l2,這與l1,l2是異面直線矛盾,故l至少與l1,l2中的一條相交.(2)在①中,MG∥HN且MG=HN,則四邊形MGHN是平行四邊形,有GH∥MN,兩者不是異面直線;圖②中,點G,H,N三點共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面;在③中,M,N分別是所在棱的中點,所以GM∥HN且GM≠HN,故HG,NM必相交,不是異面直線;圖④中,點G,M,N共面,但H?平面GMN,所以GH與MN異面.所以圖②④中GH與MN異面.突破技巧空間兩條直線位置關(guān)系的判定方法

對點訓(xùn)練2(1)(2021江蘇蘇州園區(qū)三中階段檢測)設(shè)直線a,b分別是長方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線,則a與b(

)A.共面

B.相交C.異面

D.異面或相交(2)(2021江西南昌一模)如圖,E,F,G,H分別是菱形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上的點,且BE=2AE,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,現(xiàn)將△ABD沿BD折起,得到空間四邊形ABCD,在折起過程中,下列說法正確的是(

)A.直線EF,HG有可能平行B.直線EF,HG一定異面C.直線EF,HG一定相交,且交點一定在直線AC上D.直線EF,HG一定相交,但交點不一定在直線AC上答案:(1)D

(2)C

解析:(1)如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,當(dāng)A'B所在直線為a,BC'所在直線為b時,a與b相交;當(dāng)A'B所在直線為a,B'C所在直線為b時,a與b異面.(2)∵BE=2AE,DH=2HA,∴EH∥FG,且EH≠FG,∴四邊形EFGH為平面四邊形,故直線EF,HG一定共面,故B錯誤;若直線EF與HG平行,則四邊形EFGH為平行四邊形,可得EH=FG,與EH≠FG矛盾,故A錯誤;設(shè)交點為O,則O∈EF,又EF?平面ABC,可得O∈平面ABC,同理,O∈平面ACD,而平面ABC∩平面ACD=AC,∴O∈AC,即直線EF,HG一定相交,且交點一定在直線AC上,故C正確,D錯誤.考點三異面直線所成的角典例突破例3.(1)(2021全國乙,理5)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點,則直線PB與AD1所成的角為(

)(2)(2021寧夏吳忠二模)如圖,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,且PA=AC=BC=a,則異面直線PB與AC所成的角的正切值等于(

)答案:(1)D

(2)B

解析:(1)如圖,連接BC1,PC1.由正方體的性質(zhì)可得AD1∥BC1,故∠PBC1為直線PB與AD1所成的角.(2)如圖,將此多面體補(bǔ)成一個正方體,∵AC∥BD,∴PB與AC所成的角的大小即為此正方體體對角線PB與棱BD所成角的大小.突破技巧求解異面直線所成角的方法

方法解讀平移法通過作圖(如結(jié)合中位線、平行四邊形補(bǔ)形等)來構(gòu)造平行線,作出異面直線所成的角,通過解三角形來求解補(bǔ)形法補(bǔ)成長方體或正方體轉(zhuǎn)化法當(dāng)異面直線所成角為

時,可轉(zhuǎn)化為證明垂直