第5節(jié)　數學歸納法

第七章第五節(jié)數學歸納法內容索引0102強基礎增分策略增素能精準突破課標解讀衍生考點核心素養(yǎng)1.掌握數學歸納法的原理與一般步驟.2.能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.1.用數學歸納法證明等式2.用數學歸納法證明不等式3.歸納—猜想—證明1.邏輯推理2.數學運算強基礎增分策略1.數學歸納法一般地,證明一個與正整數n有關的命題,可按下列步驟進行:(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N+)時命題成立;(2)(歸納遞推)假設n=k(k≥n0,k∈N+)時命題成立,證明當n=

時命題也成立.

只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立.上述證明方法叫作數學歸納法.微點撥推證n=k+1時一定要用上n=k時的假設,否則就不是數學歸納法.微思考數學歸納法證明數學命題時初始值n0一定是1嗎?

k+1提示:不一定.要根據題目條件或具體問題確定初始值.2.數學歸納法的框圖表示

增素能精準突破考點一用數學歸納法證明等式典例突破

突破技巧(1)用數學歸納法證明等式問題,要“先看項”,弄清等式兩邊的構成規(guī)律,等式兩邊各有多少項,初始值n0是多少.(2)由n=k時等式成立,推出n=k+1時等式成立,一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標;二要充分利用歸納假設,進行合理變形,正確寫出證明過程.(3)不利用歸納假設的證明,就不是數學歸納法.求證:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N+).證明:(1)當n=2時,左邊=f(1)=1,(2)假設當n=k(k≥2,k∈N+)時,等式成立,即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1],那么,當n=k+1時,f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)[f(k+1)-1],即當n=k+1時等式仍然成立.由(1)(2)可知f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N+).考點二用數學歸納法證明不等式典例突破例2.(2021廣西師大附中高三月考)已知數列{bn}的通項公式為bn=2n,突破技巧用數學歸納法證明不等式的注意點(1)當遇到與正整數n有關的不等式證明時,若用其他辦法不容易證,則可考慮應用數學歸納法.(2)證明的關鍵是:由n=k時命題成立證n=k+1時命題也成立,在歸納假設使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明,充分應用基本不等式、不等式的性質等放縮技巧,使問題得以簡化.于是當n=k+1時,原不等式也成立.由(1)(2)可知,原不等式對任意n∈N+都成立.考點三歸納—猜想—證明典例突破例3.(2021寧夏中衛(wèi)中寧一中高三月考)已知數列{an}的通項公式是an=,記bn=(1-a1)(1-a2)…(1-an).(1)寫出數列{bn}的前三項;(2)猜想數列{bn}的通項公式,并用數學歸納法加以證明.突破技巧“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)

計算根據條件,準確計算出前若干項,這是歸納、猜想的前提歸納、猜想通過觀察、分析、比較、綜合、聯想,猜想出一般的結論證明對一般結論利用數學歸納法進行證明對點訓練3觀察下列等式:1=1,2+3+4=9,3+4+5+6+7=25,4+5+6+7+8+9+10=49,照此規(guī)律下去.(1)寫出第5個等式.(2)你能做出什么一般性的猜想?請用數學歸納法證明猜想.解:(1)第5個等式:5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.(2)猜想:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈N+).下面證明:①當n=1時,左邊=1,右邊=(2-1)2=1,所以等式成立;②假設當n=k(k∈N+)時等式成立,即有k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2,那么當n=k+1時,(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(2