第二節(jié)　等差數(shù)列

第二節(jié)等差數(shù)列第六章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.理解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分1.等差數(shù)列的概念一般地,如果數(shù)列{an}從第

2

項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于

同一個(gè)常數(shù)d

,即

an+1-an=d

恒成立,則稱(chēng){an}為等差數(shù)列,其中d稱(chēng)為等差數(shù)列的

公差

.

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推廣若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,則其通項(xiàng)公式為an=

a1+(n-1)d

.該式可推廣為an=am+(n-m)d(其中n,m∈N+).

3.等差數(shù)列通項(xiàng)公式與函數(shù)的關(guān)系an=a1+(n-1)d可化為an=nd+a1-d的形式.如果記f(x)=dx+a1-d,則an=f(n),而且(1)當(dāng)公差d=0時(shí),f(x)是常數(shù)函數(shù),此時(shí)數(shù)列{an}是常數(shù)列(因此,公差為0的等差數(shù)列是常數(shù)列);(2)當(dāng)公差d≠0時(shí),f(x)是一次函數(shù),而且f(x)的增減性依賴(lài)于公差d的符號(hào),因此,當(dāng)d>0時(shí),{an}是遞增數(shù)列;當(dāng)d<0時(shí),{an}是遞減數(shù)列.這也說(shuō)明,當(dāng)用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)來(lái)表示等差數(shù)列時(shí),所有的點(diǎn)一定在一條直線上.4.等差中項(xiàng)在一個(gè)等差數(shù)列中,中間的每一項(xiàng)(既不是首項(xiàng)也不是末項(xiàng)的項(xiàng))都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式微點(diǎn)撥1.在等差數(shù)列中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng),即an+1+an-1=2an(n∈N*,n≥2).證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的“等差中項(xiàng)法”2.任何兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng),且等差中項(xiàng)是唯一的.6.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且m+n=p+q,則

am+an=ap+aq

(m,n,p,q∈N*).

特別地,若m+n=2t,則am+an=2at(m,n,t∈N*).(3)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差數(shù)列,公差為m2d.常用結(jié)論1.數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是an=kn+b(k,b∈R).2.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是Sn=an2+bn(a,b∈R).3.在等差數(shù)列{an}中,若Sm=Sn,則Sm+n=0.4.在等差數(shù)列{an}中,若d>0,則數(shù)列{an}為遞增數(shù)列;若d<0,則數(shù)列{an}為遞減數(shù)列;若d=0,則數(shù)列{an}為常數(shù)列.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)1.若數(shù)列{|an|}不是等差數(shù)列,則{an}也不是等差數(shù)列.(

)2.在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p,則am+an=ap.(

)3.在等差數(shù)列{an}中,若m+n+p=3t,則am+an+ap=3at.(

)4.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=-n2+5n,則{an}中不存在相等的兩項(xiàng).(

)××√√題組二

雙基自測(cè)5.

在等差數(shù)列{an}中,若S15=5(a2+a6+ak),則k=

.

答案

16解析

因?yàn)镾15=15a8=5×(3a8),所以3a8=a2+a6+ak,因此有2+6+k=24,故k=16.6.

數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,且a1=5,b1=15,a100+b100=100.求數(shù)列{an+bn}的前100項(xiàng)的和.解

依題意{an+bn}為等差數(shù)列,其首項(xiàng)a1+b1=5+15=20.又a100+b100=100,所以{an+bn}前100項(xiàng)的和為研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算題組(1)(2023·山東煙臺(tái)高三月考)已知在等差數(shù)列{an}中,Sn為其前n項(xiàng)和,S4=24,S9=99,則a7等于(

)A.13 B.14 C.15 D.16(2)(多選)(2023·湖南岳陽(yáng)高三模擬)已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a9=S17,下列說(shuō)法正確的是(

)A.a8=0 B.a9=0C.a1=S16 D.S8>S10答案

(1)C

(2)BC規(guī)律方法

解決等差數(shù)列基本量運(yùn)算的思想方法(1)方程思想:等差數(shù)列的基本量為首項(xiàng)a1和公差d,通常利用已知條件及通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式列方程(組)求解,等差數(shù)列中包含a1,d,n,an,Sn五個(gè)量,可“知三求二”.(2)整體思想:當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí),可將已知和所求都用a1,d表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想:運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn),優(yōu)化解題過(guò)程.考點(diǎn)二等差數(shù)列的判斷與證明規(guī)律方法

等差數(shù)列的判斷與證明的方法

方法解讀適合題型定義法an-an-1(n≥2,n∈N*)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列解答題中證明問(wèn)題等差中項(xiàng)法2an=an+1+an-1(n≥2,n∈N*)成立?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法an=pn+q(p,q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問(wèn)題前n項(xiàng)和公式法Sn=An2+Bn(A,B是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2023·廣東惠州高三期中)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知Sn=nan-n2+n.(1)證明:{an}是等差數(shù)列;(1)證明

由已知Sn=nan-n2+n,①∴Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)2+n-1(n≥2).②由①-②,得an=nan-(n-1)an-1-2(n-1),即(n-1)an-(n-1)an-1=2(n-1),∴an-an-1=2(n≥2且n∈N*).故{an}是以2為公差的等差數(shù)列.

考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用(多考向探究預(yù)測(cè))考向1等差數(shù)列的性質(zhì)題組(1)(2023·安徽阜陽(yáng)高三月考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,3a3+2a8=35,則S9=(

)A.56 B.63 C.67 D.72(2)(2022·山西太原二模)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若

=-2,則{an}的公差d=(

)A.1 B.2 C.-1 D.-2(3)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2,S2n=6,則S4n=(

)A.8 B.12 C.14 D.20答案

(1)B

(2)D

(3)D

(4)A解析

(1)(方法1)由于3a3+2a8=a3+2(a3+a8)=a3+2(a5+a6)=2a5+2a6+a3=2a5+(a5+a7)+a3=3a5+(a7+a3)=3a5+2a5=5a5=35,于是a5=7,故S9=9a5=63.故選B.(3)由已知得Sn=2,S2n-Sn=6-2=4,因此Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n構(gòu)成首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,于是S4n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)+(S4n-S3n)=2+4+6+8=20.故選D.答案

D規(guī)律方法

利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題的關(guān)注點(diǎn)(1)等差數(shù)列中兩項(xiàng)和的轉(zhuǎn)換是最常用的性質(zhì),利用2am=am-n+am+n可實(shí)現(xiàn)項(xiàng)的合并與拆分,在

中,Sn與a1+an可以相互轉(zhuǎn)化.(2)在等差數(shù)列中,前奇數(shù)項(xiàng)的和與中間項(xiàng)的關(guān)系S2n-1=(2n-1)an可以將中間項(xiàng)與前n項(xiàng)和聯(lián)系起來(lái),相互轉(zhuǎn)化.(3)在等差數(shù)列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列,并不是Sm,S2m,S3m成等差數(shù)列,在運(yùn)用時(shí)注意區(qū)分.考向2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值例題(2023·