ch15-02一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)課件

第二節(jié)以2l為周期的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)第15章*二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式一、以2l

為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)第二節(jié)以2l為周期的第15章*二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形一、以2l

為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)周期為2l函數(shù)f(x)周期為2

函數(shù)F(t)變量代換將F(t)作傅氏展開(kāi)f(x)的傅氏展開(kāi)式一、以2l為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)周期為2l函數(shù)f設(shè)f(x)是以2l為周期的函數(shù)，則它的傅里葉其中定理.展開(kāi)式為設(shè)f(x)是以2l為周期的函數(shù)，則它的傅里葉其中定理證明:,則令則所以那么F的傅里葉展開(kāi)式為:變成是以2為周期的周期函數(shù),令證明:,則令則所以那么F的傅里葉展開(kāi)式為:變成是以2其中令證畢.其中令證畢.說(shuō)明:1)如果f(x)按段光滑，則有說(shuō)明:1)如果f(x)按段光滑，則有2)其中如果

f(x)

為偶函數(shù),則有其中如果f(x)為奇函數(shù),則有2)其中如果f(x)為偶函數(shù),則有其中如果f(x例1.(－1,1]上的表達(dá)式為將f(x)

展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，并作出級(jí)數(shù)和函數(shù)的圖形.設(shè)函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，它在區(qū)間解：例1.(－1,1]上的表達(dá)式為將f(x)展開(kāi)成傅里ch15-02一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)ppt課件由收斂定理可知故級(jí)數(shù)和函數(shù)的圖形為由收斂定理可知故級(jí)數(shù)和函數(shù)的圖形為例2.經(jīng)半波整流后負(fù)壓消失,試求半波整流函數(shù)的解:這個(gè)半波整流函數(shù),它在傅里葉級(jí)數(shù).上的表達(dá)式為的周期是交流電壓例2.經(jīng)半波整流后負(fù)壓消失,試求半波整流函數(shù)的解:這個(gè)半ch15-02一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)ppt課件n>1

時(shí)n>1時(shí)由于半波整流函數(shù)f(t)直流部分說(shuō)明:交流部分由收收斂定理可得2k次諧波的振幅為

k越大振幅越小,因此在實(shí)際應(yīng)用中展開(kāi)式取前幾項(xiàng)就足以逼近f(x)了.上述級(jí)數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和.由于半波整流函數(shù)f(t)直流部分說(shuō)明:交流部分由收收例3.展開(kāi)成(1)正弦級(jí)數(shù);(2)余弦級(jí)數(shù).解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k處級(jí)數(shù)收斂于何值?將例3.展開(kāi)成(1)正弦級(jí)數(shù);(2)(2)將作偶周期延拓,則有(2)將作偶周期延拓,則有例4.期的傅里葉級(jí)數(shù),并由此求級(jí)數(shù)解:為偶函數(shù),因f(x)周期延拓后在展開(kāi)成以2為周的和.故得例4.期的傅里葉級(jí)數(shù),并由此求級(jí)數(shù)解:為偶函數(shù),因f(得故得故注:方法1令即在上展成傅里葉級(jí)數(shù)周期延拓將在代入展開(kāi)式上的傅里葉級(jí)數(shù)其傅里葉展開(kāi)方法:當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時(shí),注:方法1令即在上展成傅里葉級(jí)數(shù)周期延拓將在代入展開(kāi)式上的傅方法2令在上展成正弦或余弦級(jí)數(shù)奇或偶式周期延拓將代入展開(kāi)式在即上的正弦或余弦級(jí)數(shù)方法2令在上展成正弦或余弦級(jí)數(shù)奇或偶式周期延拓將例5.

展成傅里葉級(jí)數(shù).解:令設(shè)將F(z)延拓成周期為10的周期函數(shù),理?xiàng)l件.由于F(z)是奇函數(shù),故則它滿足收斂定將函數(shù)例5.展成傅里葉級(jí)數(shù).解:令設(shè)將F(z)延拓成周期為利用歐拉公式*二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式設(shè)f(x)是周期為2l的周期函數(shù),則利用歐拉公式*二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式設(shè)f(x)是周期為注意到同理注意到同理傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式:因此得傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式:因此得式的傅里葉級(jí)數(shù).例6.

解:在一個(gè)周期它的復(fù)數(shù)形式的傅里葉系數(shù)為內(nèi)矩形波的函數(shù)表達(dá)式為把寬為,高為h,周期為T的矩形波展成復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù).例6.解:在一個(gè)周期它的復(fù)數(shù)形式的ch15-02一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)ppt課件為正弦級(jí)數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.周期為2l的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)公式(x

間斷點(diǎn))其中當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),(偶)(余弦)2.在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法變換延拓*3.傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式利用歐拉公式導(dǎo)出為正弦級(jí)數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.周期為2思考與練習(xí)1.將函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)為什么最好先畫出其圖形?答:易看出奇偶性及間斷點(diǎn),2.計(jì)算傅里葉系數(shù)時(shí)哪些系數(shù)要單獨(dú)算?答:用系數(shù)公式計(jì)算如分母中出現(xiàn)因子n－k從而便于計(jì)算系數(shù)和寫出收斂域.必須單獨(dú)計(jì)算.思考與練習(xí)1.將函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)為什么最好先畫出其作業(yè)

P771(1),(3);

2;4;6.作業(yè)

P771(1),(3);

2第三節(jié)收斂定理的證明第15章二、收斂定理的證明一、預(yù)備定理第三節(jié)收斂定理的證明第15章二、收斂定理的證明一、預(yù)備定預(yù)備定理1(貝塞耳(Bessel)不等式)證：令考察積分預(yù)備定理1(貝塞耳(Bessel)不等式)證：令考察積分利用三角函數(shù)系的正交性，又有利用三角函數(shù)系的正交性，又有所以因而進(jìn)而所以因而進(jìn)而推論1推論2推論1推論2預(yù)備定理2預(yù)備定理2收斂定理的證明.證:收斂定理的證明.證:ch15-02一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)ppt課件ch15-02一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)ppt課件ch15-02一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)ppt課件ch15-02一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)ppt課件習(xí)題課傅立葉級(jí)數(shù)一、基本概念二、傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)法第15章習(xí)題課傅立葉級(jí)數(shù)一、基本概念二、傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)法第15章一、主要內(nèi)容求和展開(kāi)(在收斂域內(nèi)進(jìn)行)基本問(wèn)題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級(jí)數(shù)展開(kāi).為傅立葉級(jí)數(shù).為傅氏系數(shù))時(shí),時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);時(shí)為冪級(jí)數(shù);時(shí)為三角級(jí)數(shù);一、主要內(nèi)容求和展開(kāi)(在收斂域內(nèi)進(jìn)行)基本問(wèn)題：判別斂散；(1)三角函數(shù)系三角函數(shù)系1.傅里葉級(jí)數(shù)(1)三角函數(shù)系三角函數(shù)系1.傅里葉級(jí)數(shù)其中稱為傅里葉級(jí)數(shù).(2)傅里葉級(jí)數(shù)定義三角級(jí)數(shù)其中稱為傅里葉級(jí)數(shù).(2)傅里葉級(jí)數(shù)定義三角級(jí)數(shù)上的表達(dá)式將其展為傅氏級(jí)數(shù).設(shè)f(x)是周期為2的函數(shù),它在解：例1.為上的表達(dá)式將其展為傅氏級(jí)數(shù).設(shè)f(x)是周期為2的函解:周期的正弦級(jí)數(shù),,展開(kāi)成以為將函數(shù)并在內(nèi)寫出其和函數(shù).將函數(shù)在內(nèi)進(jìn)行奇延拓,以為繼而周期進(jìn)行周期延拓.例2.解:周期的正弦級(jí)數(shù),,展開(kāi)成以為將函數(shù)并在內(nèi)寫ch15-02一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)ppt課件ch15-02一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)ppt課件例3.并由此求級(jí)數(shù)解:在區(qū)間上的傅里葉級(jí)數(shù),的和.求將f(x)延拓為周期為的周期函數(shù),例3.并由此求級(jí)數(shù)解:在區(qū)間上的傅里葉則f(x)的傅里葉系數(shù)為所以f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)為則f(x)的傅里葉系數(shù)為所以f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于即當(dāng)時(shí)，有于是有當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于即當(dāng)例4.

設(shè)是周期為的周期函數(shù)，在上的表達(dá)式為(1)求傅里葉系數(shù).(2)寫出上傅里葉系數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式解:分段表示.(略)(1)例4.設(shè)是周期為的周期函數(shù)，在上的表達(dá)式為(1)求傅里葉(3)求時(shí)的值解：由圖與函數(shù)的周期性可知：(3)求時(shí)的值解：由圖與函數(shù)的周期性可知：例5.設(shè)周期函數(shù)的周期為2π，證明:如果則傅立葉系數(shù)證:例5.設(shè)周期函數(shù)的周期為2π，證明:如果則同理所以同理所以例6.設(shè)是以2為周期的函數(shù),其傅氏系數(shù)為則為常數(shù))的傅氏系數(shù)解:令例6.設(shè)是以2為周期的函數(shù),其傅氏系數(shù)為則為常數(shù)例7.為區(qū)間上可積函數(shù).

設(shè)f證明：若f的傅里葉級(jí)數(shù)在上一致收斂于f，則成立

帕塞瓦爾(Parseval)等式：這里an,bn為f的傅里葉系數(shù).證：在上可積，

因?yàn)閒(x)例7.為區(qū)間上可積函數(shù).設(shè)f證明由于f的傅里葉級(jí)數(shù)在上一致收斂于f，因此由此得即由于f的傅里葉級(jí)數(shù)在上一致收斂于f，因此由此得即例8.為區(qū)間上可積函數(shù),

設(shè)fa0,ak,bk(k=1,2,…)為f的傅里葉系數(shù),試證明：當(dāng)時(shí)，積分

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