浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)2.7.2 勾股定理的逆定理素養(yǎng)提升練（含解析）

第第頁(yè)浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)2.7.2勾股定理的逆定理素養(yǎng)提升練（含解析）第2章特殊三角形

2.7探索勾股定理

第2課時(shí)勾股定理的逆定理

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練

知識(shí)點(diǎn)勾股定理的逆定理

1.下列長(zhǎng)度的三條線段首尾相接,能構(gòu)成直角三角形的是()

A.20,21,29B.5,7,8

C.,,2D.1.5,2,3

2.如圖,△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,若小方格的邊長(zhǎng)均為1,則△ABC的形狀是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

3.(2023浙江寧波鄞州七校聯(lián)考)下列條件:①∠C=∠A-∠B;②∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶3;③a=c,b=c;④a∶b∶c=1∶2∶,其中能確定△ABC是直角三角形的有個(gè).

4.如圖,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,A,B,C是小正方形的頂點(diǎn),則∠ABC的度數(shù)為.

5.【新獨(dú)家原創(chuàng)】小明在學(xué)習(xí)了尺規(guī)作圖后,作出了如圖所示的圖形,若AD=2cm,CD=4cm,BC=5cm.

(1)AB=cm;

(2)△ABC的形狀為三角形.

6.【教材變式·P77例4】已知△ABC的三條邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,其中a=m-n,b=,c=m+n,且m>n>0.△ABC是直角三角形嗎請(qǐng)說(shuō)明理由.

能力提升全練

7.【易錯(cuò)題】已知a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng),且滿足a2c2-b2c2=a4-b4,則△ABC是()

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

8.(2023浙江杭州第十四中學(xué)附屬學(xué)校期中,9,★★☆)在△ABC中,已知AC∶BC∶AB=5∶12∶13,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E.若△ABC的面積為S,則△ACD的面積為()

A.SB.SC.SD.S

9.【數(shù)學(xué)文化】如圖所示的是用三張正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案.現(xiàn)有五張正方形紙片,面積分別是1,4,5,9,10,選取其中三張(可重復(fù)選取)按如圖所示的方式組成圖案,使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形,則選取的三張紙片的面積分別是()

A.1,4,5B.4,5,9C.5,9,10D.1,9,10

10.(2023廣西玉林中考改編,16,★★☆)如圖,某港口P位于東西方向的海岸線上,甲、乙兩輪船同時(shí)離開港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙兩輪船每小時(shí)分別航行15海里和20海里,1小時(shí)后兩船分別位于點(diǎn)A,B處,且相距25海里,如果知道甲輪船沿北偏西40°方向航行,則乙輪船沿方向航行.

11.【國(guó)防歷史】(2023浙江寧波鄞州期中,21,★★☆)2023年10月10日是辛亥革命110周年紀(jì)念日.為進(jìn)一步弘揚(yáng)辛亥革命中體現(xiàn)的中華民族的偉大革命精神,社區(qū)開展了系列紀(jì)念活動(dòng).如圖,有一塊四邊形空地,社區(qū)計(jì)劃將其布置成展區(qū),陳列有關(guān)辛亥革命的歷史圖片.現(xiàn)測(cè)得AB=AD=26m,BC=16m,CD=12m,BD=20m.

(1)試說(shuō)明∠BCD=90°;

(2)求四邊形展區(qū)(陰影部分)的面積.

12.(2023浙江金華東陽(yáng)期中,20,★★☆)已知:在四邊形ABCD中,AB⊥BC,AB=BC,CD2+AD2=2AB2.

(1)求證:AD⊥CD;

(2)若AB=,AD=8.

①求四邊形ABCD的面積;

②點(diǎn)B到AD的距離是.

素養(yǎng)探究全練

13.【推理能力】(2022北京中考)在△ABC中,∠ACB=90°,D為△ABC內(nèi)一點(diǎn),連結(jié)BD,DC,延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E,使得CE=DC.

(1)如圖1,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使得CF=BC,連結(jié)AF,EF,若AF⊥EF,求證:BD⊥AF;

(2)連結(jié)AE交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連結(jié)CH,依題意補(bǔ)全圖2,若AB2=AE2+BD2,用等式表示線段CD與CH的數(shù)量關(guān)系,并證明.

圖1圖2

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練

1.C∵202+212≠292,∴不能構(gòu)成直角三角形,故A不符合題意;∵52+72≠82,∴不能構(gòu)成直角三角形,故B不符合題意;∵()2,∴能構(gòu)成直角三角形,故C符合題意;∵1.52+22≠32,∴不能構(gòu)成直角三角形,故D不符合題意.故選C.

2.B由題圖可知,AB2=22+42=20,AC2=12+22=5,BC2=42+32=25,∴AB2+AC2=BC2,∴△ABC是直角三角形.故選B.

3.答案4

解析∵∠C=∠A-∠B,∴∠A=∠B+∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°,

∴∠A+∠A=180°,∴∠A=90°,∴△ABC為直角三角形,故①符合題意;設(shè)∠A、∠B、∠C的度數(shù)分別為5x、2x、3x,由三角形內(nèi)角和定理得,5x+2x+3x=180°,解得x=18°,則∠A=5x=90°,∴△ABC為直角三角形,故②符合題意;∵a=c,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,故③符合題意;∵a∶b∶c=1∶2∶,

∴設(shè)a=x,則b=2x,c=x,∴a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形,故④符合題意.故能確定△ABC是直角三角形的條件有4個(gè).

4.答案45°

解析如圖,連結(jié)AC,

根據(jù)勾股定理得AC2=BC2=12+22=5,AB2=12+32=10,∴AC2+BC2=AB2,

∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°.

5.答案(1)(2)直角

解析(1)根據(jù)作圖可得,AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°,

∵CD=4cm,BC=5cm,∴BD=BC-CD=1cm,

在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,∴AB=cm.

(2)在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2,∴AC=cm,

∵AB2+AC2=5+20=25,BC2=52=25,∴AB2+AC2=BC2,

∴△ABC為直角三角形.

6.解析△ABC是直角三角形.理由:∵△ABC的三條邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,a2+b2=(m-n)2+4mn=(m+n)2,c2=(m+n)2,m>n>0,∴a2+b2=c2,

∴△ABC是直角三角形.

能力提升全練

7.C∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0,

∴(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a2-b2=0或c2-a2-b2=0,∴a=ba2+b2=c2,

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

8.B如圖,設(shè)AC=5k,則BC=12k,AB=13k,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC為直角三角形,∠C=90°,∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,∴∠CAD=∠BAD,∠C=∠AED=90°,∵AD=AD,

∴△ACD≌△AED,∴S△ACD=S△AED,AE=AC=5k,

∴BE=13k-5k=8k,∵△AED的邊AE上的高和△BED的邊BE上的高相同,∴S△BED∶S△AED=8∶5,∵△ABC的面積為S,∴S△ACD=S.故選B.

9.B設(shè)三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,當(dāng)a2+b2=c2時(shí),圍成的三角形是直角三角形,選項(xiàng)A,1+4=5,∴兩直角邊長(zhǎng)分別為1和2,則面積為×1×2=1;選項(xiàng)B,4+5=9,∴兩直角邊長(zhǎng)分別為2和,則面積為×2×;選項(xiàng)C,5+9≠10,∴不符合題意;選項(xiàng)D,1+9=10,

∴兩直角邊長(zhǎng)分別為1和3,則面積為×1×3=.∵5>>1,∴>1,∴選取的三張紙片的面積分別是4,5,9.故選B.

10.答案北偏東50°

解析由題意可知,AP=15海里,BP=20海里,AB=25海里,∵152+202=252,∴△APB是直角三角形,∠APB=90°,由題意知∠APN=40°,∴∠BPN=90°-∠APN=90°-40°=50°,即乙輪船沿北偏東50°方向航行.

11.解析(1)證明:△BCD中,BC=16m,CD=12m,BD=20m,

∵BC2+CD2=162+122=400,BD2=202=400,

∴BC2+CD2=BD2,∴△BCD是直角三角形,∠BCD=90°.

(2)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E,

∴∠AEB=90°,

∵AB=AD,∴BE=DE=BD=10m,

在Rt△ABE中,AB=26m,AE2=AB2-BE2,∴AE=24m,

∴S△ABD=BD·AE=×20×24=240(m2),

∵S△BCD=BC·CD=×16×12=96(m2),

∴S陰影=S△ABD-S△BCD=240-96=144(m2).

12.解析(1)證明:∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,

∴AC2=AB2+BC2,∵AB=BC,∴AC2=2AB2,

∵CD2+AD2=2AB2,∴CD2+AD2=AC2,

∴△ACD是直角三角形,∠ADC=90°,∴AD⊥CD.

(2)①在Rt△ABC中,BC=AB=,∴AC2=100,

在Rt△ACD中,AD=8,CD2=AC2-AD2,∴CD=6,

∴四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ADC的面積=AB·BC+AD·CD=×××8×6=25+24=49.

②7.詳解:過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD,垂足為E,BF⊥DC,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連結(jié)BD,

∴∠BEA=∠BED=∠BFC=90°,

∵∠ADC=90°,

∴∠FBE=360°-∠ADC-∠BED-∠BFC=90°,

∵∠ABC=90°,

∴∠ABC-∠CBE=∠FBE-∠CBE,∴∠ABE=∠CBF,

∵AB=BC,∴△ABE≌△CBF(AAS),

∴BE=BF,∵四邊形ABCD的面積為49,

∴△ABD的面積+△CBD的面積=49,

∴AD·BE+CD·BF=49,∴×8BE+×6BF=49,∴7BE=49,∴BE=7,

∴點(diǎn)B到AD的距離是7.

素養(yǎng)探究全練

13.解析(1)證明:在△FCE和△BCD中,

∴△FCE≌△BCD(SAS),

∴∠CFE=∠CBD,∴EF∥BD,

∵AF⊥EF,∴BD⊥AF.

(2)補(bǔ)全后的圖形如圖所示,

CD=CH.