高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算

高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)二、梯度高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算一、問題的提出一塊長(zhǎng)方形的金屬板，受熱產(chǎn)生如圖溫度分布場(chǎng).設(shè)一個(gè)小蟲在板中逃生至某問該蟲應(yīng)沿什么方向爬行，才能最快到達(dá)涼快的地點(diǎn)？處，問題的實(shí)質(zhì)：

應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的方向爬行．高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算需要計(jì)算場(chǎng)中各點(diǎn)沿不同方向的溫度變化率，從而確定出溫度下降的最快方向引入兩個(gè)概念：方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)問題梯度問題高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算

討論函數(shù)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題．二、方向?qū)?shù)高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算當(dāng)沿著趨于時(shí)，是否存在？高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算記為高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算的方向?qū)?shù)為同理,沿y軸正向的方向?qū)?shù)分別為在點(diǎn)沿著軸正向若偏導(dǎo)存在,則高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算方向?qū)?shù)是單側(cè)極限，而偏導(dǎo)數(shù)是雙側(cè)極限.原因：高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算公式那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存在，定理如果函數(shù)在點(diǎn)可微分，且有

為軸到方向l的轉(zhuǎn)角．其中計(jì)算公式高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算故有方向?qū)?shù)兩邊同除以得到高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算故x軸到方向l的轉(zhuǎn)角解方向l即為所求方向?qū)?shù)高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算解由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知（1）最大值;（2）最小值；（3）等于零？例2求函數(shù)在點(diǎn)(1,1)沿與x軸方向夾角為的方向射線的方向?qū)?shù).并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算故方向?qū)?shù)達(dá)到最大值;方向?qū)?shù)達(dá)到最小值;方向?qū)?shù)等于0.高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算推廣:三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義對(duì)于三元函數(shù)它在空間一點(diǎn)沿著方向l的方向?qū)?shù)，可定義為

其中）高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算方向?qū)?shù)的計(jì)算公式高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算解令故方向余弦為求函數(shù)在此處沿方向的方向?qū)?shù).是曲面例3設(shè)

在點(diǎn)處的指向外側(cè)的法向量,高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算故高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算三、梯度高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算設(shè)是方向l上的單位向量，

當(dāng)時(shí)，有最大值.其中由方向?qū)?shù)公式知高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算結(jié)論當(dāng)不為零時(shí)，x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值．梯度的模為高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算在幾何上表示一個(gè)曲面曲面被平面所截,得曲線它在xoy面上投影方程：等高線稱為等值線.等值線幾何上，稱為等高線.高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算例如,高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算等值線上任一點(diǎn)處的一個(gè)法向量為表明：梯度方向與等值線的一個(gè)法線方向相同，它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向較高的等梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).值線，高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算問題：上山時(shí)，如何選擇最快的方向？計(jì)算方法課程中的一種計(jì)算策略：“瞎子下山法”高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算

類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算解由梯度計(jì)算公式得故則在處梯度為例4求函數(shù)

在點(diǎn)處的梯度，并問在何處梯度為零？高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算一、方向?qū)?shù)（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）小結(jié)1.定義2.計(jì)算公式高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算二、梯度（注意梯度是一個(gè)向量）定義方向：x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切模：高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算三、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度：其中高等數(shù)學(xué)梯度計(jì)算思考題問函數(shù)在某點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？答：梯度方向答：