高等數(shù)學(xué)-(上)課件

書名：高等數(shù)學(xué)（上）ISBN：978-7-111-30309-1作者：陶金瑞出版社：機(jī)械工業(yè)出版社本書配有電子課件高等數(shù)學(xué)（上）高職高專ppt課件書名：高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）高職高專ppt第二章導(dǎo)數(shù)與微分學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、理解導(dǎo)數(shù)與微分概念的意義；2、能熟練計(jì)算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上）高職高專ppt課件第二章導(dǎo)數(shù)與微分學(xué)習(xí)目標(biāo)：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上）高導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)法則和基本求導(dǎo)公式函數(shù)的微分隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)主要內(nèi)容高等數(shù)學(xué)（上）高職高專ppt課件導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)法則和基本求導(dǎo)公式函數(shù)的微分隱函數(shù)和由參數(shù)方程一、兩個(gè)實(shí)例

1．變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

自由落體運(yùn)動(dòng):

第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念

第二步：

求

第三步：

求第一步：求高等數(shù)學(xué)（上）高職高專ppt課件一、兩個(gè)實(shí)例

1．變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

自由落體運(yùn)動(dòng):

在曲線上任取不同于M0點(diǎn)的一點(diǎn)M，作割線M0M.當(dāng)點(diǎn)M沿著曲線移動(dòng)并趨于M0點(diǎn)時(shí)，割線就以點(diǎn)M0為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，割線M0M的極限位置M0T就叫做曲線在點(diǎn)M0處的切線，點(diǎn)M0叫做切點(diǎn)。

曲線切線的定義高等數(shù)學(xué)（上）高職高專ppt課件在曲線上任取不同于M0點(diǎn)的一點(diǎn)M，作割線M0M.當(dāng)點(diǎn)M沿第一步：求

第二步：求第三步：求切線斜率的求法高等數(shù)學(xué)（上）高職高專ppt課件第一步：求第二步：求第三步：求切線斜率的求法高等數(shù)學(xué)（上

二、導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其近旁有定義，當(dāng)自變量有增量時(shí)，函數(shù)有相應(yīng)的增量當(dāng)時(shí)，若的極限存在，則極限值就稱為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，并稱函數(shù)在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)），記為 ，即也可記為或.可導(dǎo)（或有=或高等數(shù)學(xué)（上）高職高專ppt課件二、導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其近旁有定義，當(dāng)自變量有增量

解（1）求函數(shù)改變量 （2）求（3）當(dāng)時(shí)，求的極限：所以，0例1求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)高等數(shù)學(xué)（上）高職高專ppt課件 解（1）求函數(shù)改變量 （2）求（3）當(dāng)時(shí)，求的極限注意:是函數(shù)（1）在區(qū)間或上的平均變化率；而則是函數(shù)在點(diǎn)的變化率，它反映了函數(shù)隨自變量變化的快慢程度.（2）如果極限不存在，則稱在點(diǎn)不可導(dǎo)；如果不可導(dǎo)的原因是當(dāng)時(shí)所引起的，則稱函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為無窮大.高等數(shù)學(xué)（上）高職高專ppt課件注意:是函數(shù)（1）在區(qū)間或上的平均變化率；而則是函數(shù)在三、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系

定理

注意：一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，

但在該點(diǎn)函數(shù)不一定可導(dǎo).

如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),則它一定在點(diǎn)處連續(xù).高等數(shù)學(xué)（上）高職高專ppt課件三、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系

定理注意：一個(gè)函數(shù)在某四、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的概念

如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).這時(shí)，對于區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)確定的值，都有唯一的導(dǎo)數(shù)值 與之對應(yīng)，即所以也是的函數(shù)，稱作在 導(dǎo)函數(shù)，記作或內(nèi)的,.,說明在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值就是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值，即：四、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的概念如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，例2

=解：所以：導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).

求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算稱為微分法.說明例2=解：所以：導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).說明五、求導(dǎo)數(shù)舉例

例3求常值函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：所以也就是說，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零，即五、求導(dǎo)數(shù)舉例

例3求常值函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：所以也就例4求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(過程略)冪函數(shù)求導(dǎo)舉例例4求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(過程略)冪函數(shù)求導(dǎo)舉例例5求正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解(1)計(jì)算函數(shù)增量(2)算比值（3）取極限由此可得同理例5求正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解(1)計(jì)算函數(shù)增量(2)例6求對數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).解由此得到

特別地例6求對數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).解由此得到特別地例7求指數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).解利用極限，得由此得到例7求指數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).解利用極限，得由此得到六、左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)

左導(dǎo)數(shù)：右導(dǎo)數(shù)：結(jié)論：六、左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)：右導(dǎo)數(shù)：結(jié)論：解：例解：例七、導(dǎo)數(shù)的物理意義與幾何意義

曲線在某點(diǎn)處的切線斜率變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度幾何意義物理意義曲線在點(diǎn)則曲線在點(diǎn) 處的切線方程為：法線方程為的切線斜率七、導(dǎo)數(shù)的物理意義與幾何意義

曲線在某點(diǎn)處的切線斜率變速直線解：所以，該物體在任意時(shí)刻的速度在時(shí)的瞬時(shí)速度為解：所以，該物體在任意時(shí)刻的速度在時(shí)的瞬時(shí)速度為解是曲線上任意點(diǎn)處的切線斜率（1）在點(diǎn)處，因?yàn)?/p>

，所以切線斜率為根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式，得整理得切線方程為法線方程為整理得k=解是曲線上任意點(diǎn)處的切線斜率（1）在點(diǎn)處，因?yàn)?，所以切第二節(jié)求導(dǎo)法則和基本求導(dǎo)公式

設(shè)1.2.3.一、函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則

都是的可導(dǎo)函數(shù)，則推論第二節(jié)求導(dǎo)法則和基本求導(dǎo)公式

設(shè)1.2.3.一、函數(shù)四則例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）（2）（3）（4）(1)解例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）（2）（3）（4）(1)解(3)(4)(2)(3)(4)(2)例2

設(shè)，求。解：所以例2設(shè)例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

因此因此解（1）例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因此因此解（1）

在求導(dǎo)時(shí)先對函數(shù)變形再求導(dǎo)，有時(shí)可簡化運(yùn)算過程.

在求導(dǎo)時(shí)先對函數(shù)變形再求導(dǎo)，有時(shí)可簡化運(yùn)算過程.例5：求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程。于是曲線在點(diǎn)的切線方程是即曲線在點(diǎn)的法線方程是即例5：求曲線在點(diǎn)二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

引例:注意：而是的復(fù)合函數(shù)。不是基本初等函數(shù)，分析?二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則引例:注意：而是的復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:

如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)

點(diǎn)處也可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可

也可寫成或在對應(yīng)導(dǎo)，且注:復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法又稱為鏈鎖法則，它可以推廣到多個(gè)函數(shù)復(fù)合的情形.

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù) 點(diǎn)例1利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

解

（1）函數(shù)由復(fù)合而成（2）（3）注:復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次多于兩層時(shí)，其計(jì)算方法完全一樣，只需逐層求導(dǎo)即可。例1利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（1）

函數(shù)由與復(fù)合而成解：所以（2）設(shè)，則例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （1）函數(shù)由與復(fù)合而

例3

求的導(dǎo)數(shù).解

例4求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)(2)(3) 例3求解

（1）有理化分母然后求導(dǎo)數(shù)，得（2）先用對數(shù)性質(zhì)展開，得

然后求導(dǎo)數(shù)，得解 （1）有理化分母然后求導(dǎo)數(shù)，得（2）先用對數(shù)性質(zhì)展開，（3）先化簡，得然后求導(dǎo)數(shù)，得（3）先化簡，得然后求導(dǎo)數(shù)，得1．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(見教材)

三、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則匯總

2．函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則

（C為常數(shù)）. （C為常數(shù)）.(1)(2)(3)(4)(5)1．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(見教材)

三、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

設(shè)則復(fù)合函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)為：或?qū)懗苫?.3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

設(shè)則復(fù)合函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為：或?qū)懗苫?.例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)(2)(3)(4)(5)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)(2)(3)(4)(5)解(1)(2)（3）解(1)(2)（3）（4）（5）（4）（5）

第三節(jié)函數(shù)的微分一、微分的概念

圖2-4

0x

第三節(jié)函數(shù)的微分一、微分的概念圖2-4若用表示薄板的面積，表示邊長，則.于是面積的改變量為從上式可以看出，由兩項(xiàng)構(gòu)成，和是次要部分.于是，當(dāng)我們把忽略不記時(shí)，就是的近似值，即分析若用表示薄板的面積，表示邊長，則上式中的系數(shù)，就是函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)這就是說，函數(shù)的自變量在點(diǎn)的改變量時(shí)，函數(shù)的改變量約等于其在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與 的乘積.于是上式又可表示為.有微小分析上式中的系數(shù)，就是函數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，即 根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系，有其中，由此得這表明，函數(shù)的改變量是由和兩項(xiàng)所組成.，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，即 根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系，有其中，由當(dāng)時(shí)，由知：是 的同階無窮小，是較 高階的無窮小.當(dāng)時(shí)，由知：是 的同階無窮小，是較 高階的無窮小.由此可見，當(dāng)時(shí)，在函數(shù)的改變量中，起主要作用的是，它與的差是一個(gè)較高階的無窮小.因此，是的主要部分；又因?yàn)槭堑木€性函數(shù)，所以通常稱為 的線性主要部分（簡稱線性主部）由此可見，當(dāng)時(shí)，在函數(shù)的改變量中，起主要作用的是，它與的差是定義

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則稱為函數(shù)在點(diǎn)的微分記號(hào)：或此時(shí)稱函數(shù)在點(diǎn)可微.如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)可微，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可微.函數(shù)在任一點(diǎn)的微分，叫做函數(shù)的微分，一般或定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則稱為函數(shù)在點(diǎn)的微分記號(hào)：或此時(shí)稱函特別地，即因此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商.因 此，導(dǎo)數(shù)又稱微商.特別地，即因此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商.解函數(shù)的微分當(dāng)時(shí)的微分

函數(shù)的增量為結(jié)論:解函數(shù)的微分當(dāng)時(shí)的微分 函數(shù)的增量為結(jié)論:例2求下列函數(shù)的微分

1.2.解：1.2.例2求下列函數(shù)的微分1.2.解：1.2.二、微分的幾何意義

二、微分的幾何意義由圖2-5可知：如圖2-5所示，過曲線上一點(diǎn)作曲線.當(dāng)自變量在處取得改變量時(shí)，我們得到曲線上另一點(diǎn)的切線，切線的斜率由圖2-5可知：如圖2-5所示，過曲線上一點(diǎn)作曲線.當(dāng)自變結(jié)論:函數(shù)在點(diǎn)的微分，等于曲線在點(diǎn)的切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)對應(yīng)于 的改變量. 這就是微分的幾何意義.結(jié)論:函數(shù)在點(diǎn)的微分，等于曲線在點(diǎn)的切線上點(diǎn)的縱1．微分的基本公式

三、微分的基本公式與運(yùn)算法則

1．微分的基本公式三、微分的基本公式與運(yùn)算法則高等數(shù)學(xué)-(上)ppt課件２．微分的四則運(yùn)算法則

1).2).3).4).5).２．微分的四則運(yùn)算法則

1).2).3).4).5).四微分形式不變性

是自變量時(shí)，函數(shù)如果則的微分為:因?yàn)?所以有結(jié)論：不論是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分總保持同一形式.微分形式不變性四微分形式不變性是自變量時(shí)，函數(shù)如果則的微分為:因?yàn)?例1用兩種方法求下列函數(shù)的微分：

(1)(2)(3)例1用兩種方法求下列函數(shù)的微分：(1)(2)(3)解法1根據(jù)微分的定義

(1)(2)(3)解法1根據(jù)微分的定義(1)(2)(3)解法2根據(jù)微分的基本法則和微分形式不變性

(1)(2)(3)解法2根據(jù)微分的基本法則和微分形式不變性(1)(2)(3解：（1）因?yàn)樗?(C為任意常數(shù)).（2）同理（3）同理解：（1）因?yàn)樗?(C為任意常數(shù)).（2）同理例2在下列括號(hào)內(nèi)填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.

(1)(2)(3)例2在下列括號(hào)內(nèi)填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.

(1)(2解（1）因?yàn)樗?(C為任意常數(shù)).（2）同理（3）同理解（1）因?yàn)樗?(C為任意常數(shù)).（2）同理五、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

當(dāng)很小時(shí)，亦即 將上式移項(xiàng)得此式常用來計(jì)算函數(shù)在點(diǎn) 附近的函數(shù)值的近似值.(2)(1)五、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí)，亦即 將上式移項(xiàng)得例1半徑為10的球充氣后半徑增加了0.02,求球

的體積大約增加了多少?

解設(shè)球的體積為，半徑為，則由已知，設(shè)球的體積的增加量為因?yàn)楹苄?，所以可以用微分來近似代替而于是即球的體積大約增加了,..例1半徑為10的球充氣后半徑增加了0.02,求球例2計(jì)算的近似值 解由于所求的是余弦函數(shù)值,故選取函數(shù)于是因?yàn)樗匀?(此時(shí)很小),代入上式得即例2計(jì)算的近似值在公式（2）中,當(dāng)時(shí),得（3）當(dāng)很小時(shí)，可用公式（3）求函數(shù)在附近函數(shù)值的近似值.在公式（2）中,當(dāng)當(dāng) 很小時(shí)，可得工程上常用的近似公式(1)(6)(5)(3)(4)(2)當(dāng) 很小時(shí)，可得工程上常用的近似公式(1)(6)(5)(3)一隱函數(shù)及其求導(dǎo)法

第四節(jié)隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

形如的函數(shù)，叫做顯函數(shù),如：由方程所確定的與叫做隱函數(shù).例如圓的方程以及等等因變量與自變量的關(guān)系是由一個(gè)的方程所確定的.之間的函數(shù)關(guān)系含有一隱函數(shù)及其求導(dǎo)法第四節(jié)隱函數(shù)和由參數(shù)方程形如顯函數(shù)有時(shí)很容易化成隱函數(shù).（1）在給定的方程兩邊分別對求導(dǎo)數(shù)，遇到 （2）從（1）所得式中解出（或）即可.隱函數(shù)求導(dǎo)方法: 時(shí)看成的函數(shù)，的函數(shù)看成的復(fù)合函數(shù)；顯函數(shù)有時(shí)很容易化成隱函數(shù).（1）在給定的方程兩邊分別對例1求由方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解：將方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得所以說明：將此函數(shù)化為顯函數(shù)再求導(dǎo)，可得同樣結(jié)果.例1求由方程例2求由下列方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)(2)解：(1)方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得解出，得 （2）方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得解得例2求由下列方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(2)解：(

例3求圓在點(diǎn)的切線方程.解方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得解出，得把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得切線的斜率由直線方程的點(diǎn)斜式，得整理得切線方程為 例3求圓在點(diǎn)含多次積、商、冪的函數(shù)對數(shù)求導(dǎo)法例4求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)(2)形如的函數(shù)含多次積、商、冪的函數(shù)對數(shù)求導(dǎo)法例4求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 解：（1）此函數(shù)是冪指函數(shù)，兩邊取自然對數(shù)解出，即得所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:化為隱函數(shù)，得:上式兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得 解：（1）此函數(shù)是冪指函數(shù)，兩邊取自然對數(shù)解出（2）兩邊取對數(shù)并根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則，得

上式兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得解出，即得原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:（2）兩邊取對數(shù)并根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則，得上式兩邊對求導(dǎo)數(shù)，二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一般地，參數(shù)方程可以確定與 函數(shù)關(guān)系.這種關(guān)系，有時(shí)可以用顯函數(shù)表示出來.例如消去參數(shù)可得（稱為普通方程），由此可求出之間的，二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地，參數(shù)方程可以確定根據(jù)導(dǎo)數(shù)又稱微商這一結(jié)論，在中同除以，得：即這就是參數(shù)方程所確定的與 方法，其結(jié)果一般仍為關(guān)于參數(shù)的解析式.的分子和分母之間的函數(shù)的求導(dǎo)但對于有些參數(shù)方程，它所確定的關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，很難化為普通方程.根據(jù)導(dǎo)數(shù)又稱微商這一結(jié)論，在中同除以，得：即這就是參數(shù)方程所例1已知參數(shù)方程，求解根據(jù)參數(shù)方程的求導(dǎo)公式因?yàn)樗岳?已知參數(shù)方程，求解根據(jù)參數(shù)方程的求導(dǎo)公式解:因?yàn)樗?，所求切線的斜率為將代入所給參數(shù)方程中，得切點(diǎn)所以，切線的方程為整理得解:因?yàn)樗?，所求切線的斜率為將代入所給參數(shù)方程中，得切解因?yàn)樗杂谑撬笄芯€的斜率為解因?yàn)樗杂谑撬笄芯€的斜率為一、

高階導(dǎo)