開普勒定律的證明

開普勒定律的證明設(shè)太陽與行星質(zhì)量分別M和m，取平面極作標(biāo)系，行星位置用（r,α）來描述。如圖行星位置矢量是垂直單位矢量。行星受太陽引力為F=-(GMm/r)r°首先證明行星一定在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，有牛頓第二定律：F=m(dv/dt)力矩r×F=-(GMm/r)r°×r°=0.即r×(dv/dt)=0。d(r×v)/dt=×v+r×dv/dt=0。積分，得r×v=h(常矢量)上式表明，行星徑矢r始終與常矢量h正交，故行星一定在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。為了得出行星運(yùn)動(dòng)的軌跡，采用圖中平面極坐標(biāo)方向取靜止的太陽為極點(diǎn)o，行星位置為(r,α).在平面極坐標(biāo)中，行星運(yùn)動(dòng)有關(guān)物理量如下：徑行r=ｒ﹒r°；速度ｖ=ｄr/ｄt=(ｄr/ｄt)﹒ｒ°+r﹒(dα/dt)﹒α°ｒ°是徑向單位矢量，α°為徑向垂直單位矢量。ｄr/ｄt是徑向速度分量，r﹒(dα/dt)是橫向速度分量速度大小滿足v2=(ｄr/ｄt)2+(r﹒(dα/dt))2動(dòng)量mv=m(ｄr/ｄt)+m(r﹒(dα/dt))角動(dòng)量L=r×mv=m?r2(dα/dt)?(r°×α°)得L=m?r2?(dα/dt)行星所受的太陽引力指向o點(diǎn)，故對o點(diǎn)力矩M=0，由角動(dòng)量定理，知角動(dòng)量守恒。L為常量太陽行星系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，設(shè)系統(tǒng)總能量為E，則E=?mv2-GMm/r因α/dt=L/mv2ｄr/ｄt=(L/mv2)(dr/dα)代入上式(L2/m2r2r2)(dr/dα)2+L2/m2r=2E/m+2GM/r上邊兩式同乘m2/L2，得dr2/dα2r2r2+1/r2=2mE/L2+2Mm2/L2r為了簡化式子，令ρ=1/r.則dr/dα=-r2(dρ/dα)于是方程變?yōu)椋╠r/dα）2+ρ2-2Gm2Mρ/L2=2mE/L2上式對α求導(dǎo)。并注意E與L為常量。得2（dr/dα）（d2r/dα2）+2ρ(dρ/dα)開普勒第二定律是這么說的：在相等的時(shí)間內(nèi)，行星與恒星的連線掃過的面積相等。O為恒星，直線AC為行星不受引力時(shí)的軌跡。設(shè)行星從A到B、從B到C所用的時(shí)間間隔Δt相等，A處的時(shí)刻為t1，B為t2，C為t3?，F(xiàn)在假設(shè)行星不受O的引力作用，那么這時(shí)掃過的面積SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）?，F(xiàn)在行星受到引力作用了，因?yàn)橐Φ姆较驎r(shí)刻指向恒星，所以在從t1到t3這段。時(shí)間里，行星所受的引力的方向的總效果應(yīng)該沿著BO方向（這需要一點(diǎn)向量的知識(shí)）。因此，t3時(shí)刻行星的位置C’應(yīng)該由兩個(gè)向量相加而得到：向量AC+向量CC’（作CC’平行于BO，因此沿BO方向的向量等價(jià)于CC’）。這樣，SΔBCO=SΔBC’O(同底等高)。因此，SΔBC’O=SΔABO。因?yàn)棣是任取的，所以在相等的時(shí)間內(nèi)，行星與恒星的連線掃過的面積相等。。在圖中，A，B分別為行星運(yùn)動(dòng)的近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)，以Va和Vb分別表示行星在該點(diǎn)的速度，由于速度沿軌道切線方向，可見Va和Vb的方向均與此橢圓的長軸垂直，則行星在此兩點(diǎn)時(shí)對應(yīng)的面積速度分別為SA=1/2rAvA=1/2(a-c)vA……{1}。sB=1/2rBvB=1/2(a+c)vB根據(jù)開普勒第二定律，應(yīng)有SA=SB，因此得vB=[(a-c)/(a=c)]vA……………{2}行星運(yùn)動(dòng)的總機(jī)械能E等于其動(dòng)能與勢能之和，則當(dāng)他經(jīng)過近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)，其機(jī)械能應(yīng)分別為EA=1/2m(vA)^2-(GMm)/rA=1/2m(vA)^2-(GMm)/(a-c)…………{3}Eb=1/2m(Vb)^2-(GMm)/rB=1/2m(vB)^2-(GMm)/(a+c)根據(jù)機(jī)械能守恒，應(yīng)有EA=EB，故得1/2m[（vA）^2-(vB)^2]=GMm[1/(a-c)-1/(a+c)]……{4}由{2}{4}兩式可解得（vA）^2={(a+c)GM}/{a(a-c)}………………{5}（vAB）^2={(a-c)GM}/{a(a+c)}由{5}式和{1}式得面積速度為SA=S