冪級數及其收斂性

冪級數及其收斂性第1頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月一般形式為②冪級數，冪級數更一般的形式為它顯然可以通過變量代換y=x-x0方法化為式②.一、冪級數及其收斂性第2頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月則稱冪級數為不缺項的，否則稱為缺項的冪級數.例如冪級數缺x的奇次冪，叫缺項的冪級數，又如是不缺項的冪級數.第3頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月定理如果該冪級數收斂;該冪級數發(fā)散.記作

R,R=.即第4頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月因為它不一定是正項級數，證若將x看成是一個確定的值，那么就得到一個數項級數，為此，我們可對冪級數的各項取絕對值，得這是一個正項級數.運用比值審斂法.因為第5頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月也就是說顯然，此時所給冪級數各項的絕對值越來越大，一般項不趨近于零.由級數收斂的必要條件可知該冪級數發(fā)散.因此它必然收斂.第6頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月可運用上述定理求收斂半徑例2試求冪級數的收斂區(qū)間.解

所給的冪級數為不缺項的，它是發(fā)散的.此為調和級數，第7頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月第8頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

例3求冪級解所給冪級數缺少x的奇次冪項，對此正項級數利用比值審斂法因此不能直接利用公式求收斂半徑R.是一個缺項冪級數，第9頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月所求冪級數絕對收斂.第10頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月冪級數收斂.

例4

解

運用正項級數的比值審斂法.第11頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)間端點處:當x=0時，第12頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月一、麥克勞林(Maclaurin)公式二、直接展開法三、間接展開法8.2.2、函數的冪級數展開第13頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月泰勒

(Taylor)公式

如果函數

f(x)在x=x0有直到

(n+1)階的導數，則在這個領域內有如下公式:一、麥克勞林(Maclaurin)公式①第14頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

其中稱為拉格朗日型余項.①式稱為泰勒公式

.就得到②第15頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月

②式稱為麥克勞林公式.冪級數我們稱之為麥克勞林級數.那么它是否以函數f(x)為和函數呢?③第16頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月即那么，級數③收斂于函數f(x)的條件為若令麥克勞林級數③的前n+1項和為第17頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月注意到麥克勞林公式②與麥克勞林級數③的關系，可知于是，當時，有反之，若必有第18頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月這表明，麥克勞林級數③以f(x)為和函數的充要條件，這樣，我們就得到了函數f(x)的冪級數展開式：②④第19頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月也表示了函數的冪級數展開式是唯一的.它就是函數f(x)的冪級數表達式.冪級數:稱為泰勒級數.第20頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月利用麥克勞林公式將函數f(x)展開成冪級數的方法，稱為直接展開法.解例1試將函數f(x)=ex展開成x的冪級數.可以得到二、直接展開法第21頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月因此我們可以得到冪級數顯然，這個冪級數的收斂區(qū)間為(,+).因為⑥⑥第22頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月注意到，對任一確定的x值，而級數⑥是絕對收斂的，因此其一般項當n時，≤所以，當n時,第23頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可知因此有⑥,e)(

xxf=確實收斂于這表明級數第24頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月解于是可以得到冪級數例2試將第25頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月且它的收斂區(qū)間為因為所給函數的麥克勞林公式的余項為所以可以推知第26頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月因此得到≤第27頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月解而所以根據冪級數可逐項求導的法則，可得例3試求函數三、間接展開法第28頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月因為冪級數逐項積分后收斂半徑不變，所以，上式右端級數的收斂半徑仍為R=1;故收斂域為

1<x

≤1.當x=1時，該級數收斂.而當x=1時該級數發(fā)散，第29頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月解

因為例6試將函數x的冪級數.展開成第30頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月所以且第31頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月根據冪級數和的運算法則，其收斂半徑應取較小的一個，故R=1，因此所得冪級數的收斂區(qū)間為1<x<1.第32頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月解令x

1=y，則x=y+1，代入得例

7將函數收斂區(qū)間為(0,2).所以因第33頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月例8試將函數解則原題就轉化成將函數

于是有第34頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月最后，我們將幾個常用函數的冪級數展開式列在下面，以便于讀者查用.≤第36頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月