概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章14條件概率課件

湖北大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院尚勛忠第1章隨機事件及其概率湖北大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院尚勛忠第1章隨機事件及其概率第四節(jié)條件概率條件概率乘法公式小結(jié)布置作業(yè)第四節(jié)條件概率條件概率

在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、條件概率1.條件概率的概念如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).一般地P(A|B)≠P(A)

在解決許多概率問題時，往往需要在P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點}，

B={擲出偶數(shù)點}，P(A|B)=？擲骰子已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，

P(A|B)=1/3.B中共有3個元素,它們的出現(xiàn)是等可能的,其中只有1個在集A中.容易看到P(A|B)于是P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點}，P(A)=3/10，又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一件，記

B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B)則P(A)=3/10，又如，10件產(chǎn)品中有7件P(A)=3/10，

B={取到正品}P(A|B)=3/7本例中，計算P(A)時，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.A={取到一等品}，計算P(A|B)時，這個前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個新的條件.這好象給了我們一個“情報”，使我們得以在某個縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.P(A)=3/10，B={取到正品}P(A|B)=3/

若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點,即此點必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有(1).設(shè)A、B是兩個事件，且P(B)>0,則稱

(1)2.條件概率的定義為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,3.條件概率的性質(zhì)(自行驗證)3.條件概率的性質(zhì)(自行驗證)2)從加入條件后改變了的情況去算4.條件概率的計算1)用定義計算:P(B)>0擲骰子例：A={擲出2點}，

B={擲出偶數(shù)點}P(A|B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點個數(shù)2)從加入條件后改變了的情況去算4.條件概率的計例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解設(shè)A={擲出點數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點}應(yīng)用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計算例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)時,可以反求P(AB).將A、B的位置對調(diào)，有故P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)注意P(AB)與P(A|B)的區(qū)別！請看下面的例子注意P(AB)與P(A|B)的區(qū)別！請看下面的例子例2甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個零件中，有189個是標準件，現(xiàn)從這1000個零件中任取一個，問這個零件是乙廠生產(chǎn)的標準件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000個189個是標準件300個乙廠生產(chǎn)300個乙廠生產(chǎn)設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)},A={是標準件}例2甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個零所求為P(AB).設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標準件}若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標準件的概率是多少?”求的是P(A|B).B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件.甲、乙共生產(chǎn)1000個189個是標準件300個乙廠生產(chǎn)所求為P(AB).設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標準件}例3設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？解設(shè)A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).例3設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別

每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的,設(shè)A是隨機試驗的一個事件，則P(A)是在該試驗條件下事件A發(fā)生的可能性大小.P(A)與P(A|B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個不同的概念,在數(shù)值上一般也不同.

而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個條件時A發(fā)生的可能性大小,即P(A|B)仍是概率.條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別每一個隨機概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章14條件概率課件乘法公式應(yīng)用舉例一個罐子中包含b個白球和r個紅球.隨機地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進c個與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.

（波里亞罐子模型）b個白球,r個紅球乘法公式應(yīng)用舉例一個罐子中包含b個白球和r個于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個球，第一、第二個是白球，第三、四個是紅球.”

b個白球,r個紅球隨機取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進c個與所抽出的球具有相同顏色的球.解設(shè)Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，j=1,2,3,4于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個球，第一、第二個是白用乘法公式容易求出當(dāng)c>0時，由于每次取出球后會增加下一次也取到同色球的概率.這是一個傳染病模型.每次發(fā)現(xiàn)一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)用乘法公式容易求出當(dāng)c>0時，由于每一場精彩的足球賽將要舉行,5個球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.

入場券5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場券”,其余的什么也沒寫.將它們放在一起,洗勻,讓5個人依次抽取.后抽比先抽的確實吃虧嗎？

“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機會大.”一場精彩的足球賽將要舉行,5個入場5張同樣到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計算一下,每個人抽到“入場券”的概率到底有多大?“大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到‘入場券’的機會都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機會大?！钡降渍l說的對呢？讓我們用概率論的知識來計算一下,每

我們用Ai表示“第i個人抽到入場券”i＝1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1個人抽到入場券的概率是1/5.也就是說，則表示“第i個人未抽到入場券”我們用Ai表示“第i個人抽到入場券”顯然，P(A1)=1因為若第2個人抽到了入場券，第1個人肯定沒抽到.由于由乘法公式

P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5也就是要想第2個人抽到入場券，必須第1個人未抽到，計算得：因為若第2個人抽到由于由乘法公式P(A這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答.同理，第3個人要抽到“入場券”，必須第1、第2個人都沒有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn),每個人抽到“入場券”的概率都是1/5.抽簽不必爭先恐后.也就是說，這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答.概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章14條件概率課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章14條件概率課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章14條件概率課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章14條件概率課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章14條件概率課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章14條件概率課件三、小結(jié)這一講，我們介紹了條件概率的概念，給出了計算兩個或多個事件同時發(fā)生的概率的乘法公式，它在計算概率時經(jīng)常使用，需要牢固掌握.三、小結(jié)這一講，我們介紹了條件概率的概念，第四節(jié)條件概率全概率公式貝葉斯公式小結(jié)布置作業(yè)第四節(jié)條件概率全概率公式

有三個箱子,分別編號為1,2,3.1號箱裝有1個紅球4個白球,2號箱裝有2紅3白球,3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.解記Ai={球取自i號箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3之一同時發(fā)生，123其中A1、A2、A3兩兩互斥看一個例子:三、全概率公式有三個箱子,分別編號為1,2,3.1號箱將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式.對求和中的每一項運用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數(shù)據(jù)計算得：P(B)=8/15運用加法公式得到即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B兩兩互斥將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在一個事件發(fā)生.一個事件發(fā)生.概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章14條件概率課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章14條件概率課件某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因

，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，則A發(fā)生的概率是每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我們還可以從另一個角度去理解某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因，如果由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達了它們之間的關(guān)系.B1B2B3B4B5B6B7B8A諸Bi是原因B是結(jié)果由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因

例甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機必定被擊落,求飛機被擊落的概率.設(shè)A={飛機被擊落}

Bi={飛機被i人擊中},i=1,2,3由全概率公式則A=B1A+B2A+B3A解依題意，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,

P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)例甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊,可求得為求P(Bi),

設(shè)Hi={飛機被第i人擊中},i=1,2,3將數(shù)據(jù)代入計算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.可求得為求P(Bi),將數(shù)據(jù)代入計算得P(B1)=P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飛機被擊落的概率為0.458.于是P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B該球取自哪號箱的可能性最大?這一類問題是“已知結(jié)果求原因”.在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，探求各原因發(fā)生可能性大小.某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率.1231紅4白或者問:四、貝葉斯公式看一個例子:該球取自哪號箱的可能性最大?這一類問題是“已接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅球3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率.1231紅4白?有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號箱的概率.記Ai={球取自i號箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求P(A1|B)運用全概率公式計算P(B)將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式1231紅4白?某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號箱的該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個原因的概率.該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)貝葉斯公式在實際中有很多應(yīng)用.它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件B）發(fā)生的最可能原因.貝葉斯公式在實際中有很多應(yīng)用.它可以幫助人們確定某結(jié)果（事

例某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?則表示“抽查的人不患癌癥”.已知P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:設(shè)C={抽查的人患有癌癥}，

A={試驗結(jié)果是陽性}，求P(C|A).例某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義.由貝葉斯公式，可得代入數(shù)據(jù)計算得P(C｜A)=0.10662.檢出陽性是否一定患有癌癥?1.這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義.由貝葉斯公式，可得代入