平穩(wěn)過程重修班

平穩(wěn)過程重修班第1頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月11.1平穩(wěn)過程的概念

11.1.1嚴平穩(wěn)隨機過程及其數字特征

11.1.2寬平穩(wěn)隨機過程第2頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月11.1平穩(wěn)過程的概念

在實際中,有相當多的隨機過程,不僅它現在的狀態(tài),而且它過去的狀態(tài),都對未來狀態(tài)的發(fā)生有著很強的影響.如果過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化,則稱之為平穩(wěn)隨機過程.用數學語言描述即為：11.1.1嚴平穩(wěn)過程及其數字特征第3頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月11.1.1嚴平穩(wěn)過程的概念及數字特征第4頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月嚴平穩(wěn)的含義：過程的統(tǒng)計特性與所選取的時間起點無關。換句話說，整個過程的統(tǒng)計特征不隨時間的推移而變化。平穩(wěn)過程的參數集T,一般為:第5頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月下面來考慮嚴平穩(wěn)過程的數字特征即均值函數，均方值函數和方差函數為常數。

第6頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月于是下面考慮平穩(wěn)過程的自相關函數和自協方差函數第7頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月

嚴平穩(wěn)過程的自相關函數及協方差函數只依賴于參數間距

而與起點無關。協方差函數可以表示為第8頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月

平穩(wěn)過程數字特征的特點:(即不隨時間的推移而變化)。(3)協方差函數可以表示為第9頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月僅依賴

，而與t無關；11.1.2寬平穩(wěn)隨機過程第10頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.1設{Xn,n=0,±1,±2,…}是實的互不相關的隨機變量序列，且E(Xn)=0,D(Xn)=

2.討論隨機序列的平穩(wěn)性。解由于E(Xn)=0,D(Xn)=

2，而相關函數其中為整數，隨機序列的均值為常數，相關函數僅與有關，因此它是平穩(wěn)過程。第11頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月證明

由于其密度函數為：（常數）第12頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.3解X(t)的均值函數為第14頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月而自相關函數第15頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月因為RX(

)僅與

有關，所以隨機相位周期過程是平穩(wěn)的。特別,隨機相位正弦波是平穩(wěn)的。第16頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月假設X(t)和Y(t)是平穩(wěn)相關過程,RX(

),RY(

)和RXY(

)分別是它們的自相關函數和互相關函數。

即平穩(wěn)過程的均方值可以由自相關函數，令

0得到，后面我們將指出RX(0)代表了平穩(wěn)過程的“平均功率”。自相關函數的性質11.2平穩(wěn)過程相關函數的性質第17頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月這是因為相關函數具有對稱性。

依據這個性質，在實際問題中只需計算或測量RX(

),RY(

)，RXY(

)和RYX(

)在

0的值。。注意互相關函數既不是奇函數,也不是偶函數,但滿足第18頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月性質3關于自相關函數和自協方差函數有不等式

對于平穩(wěn)過程X(t)，有代入上述不等式得：第19頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月類似的,可推得以下有關互相關函數和互協方差函數的不等式或對協方差函數，不難得到相同的結論：第20頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月性質4

設平穩(wěn)過程X(t)，若當|

|時，過程的狀態(tài)X(t)與X(t

)相互獨立，則有：

這是因為：從物理意義上說，當

增大時X(t)與X(t+

)之間相關性會減弱，在|

|的極限情況下，兩者相互獨立。第21頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月

這一性質很有趣，對于平穩(wěn)過程的相關函數RX(

)

，只要知道在

0處連續(xù)，就可以得出對任意

處都連續(xù)，這對于一般連續(xù)函數是不具備這樣的性質的。第22頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月解

由性質6得：例11.4

已知平穩(wěn)過程X(t)，當

的絕對值充分大時，過程的狀態(tài)X(t)與X(t+

)相互獨立，其相關函數為：求X(t)的均值。第23頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月證明利用契比雪夫不等式有例11.5對于平穩(wěn)過程X(t)，有第24頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月11.3各態(tài)歷經性

11.3.1時間平均的概念11.3.2平穩(wěn)過程各態(tài)歷經的定義11.3.3平穩(wěn)過程各態(tài)歷經性的條件第25頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月11.3.1時間平均的概念1、積分

說明對于隨機過程的所有樣本函數來說,[a,b]上的積分未必全都存在。第26頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月在某些情形下，對于隨機過程的所有樣本函數來說，在[a,b]上的積分未必全都存在，此時可引入所謂均方意義下的積分，即考慮[a,b]內的一組分點：我們就稱

Y為[a,b]上的均方積分。2、均方積分第27頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月自相關函數的二重積分第28頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月3、時間均值和時間相關函數第29頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.6

解第30頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月結論對于隨機相位正弦波,用時間平均和集平均（均值函數）分別算得的均值和自相關函數是相等的。這一特性并不是隨機相位正弦波所獨有的。第32頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月11.3.2各態(tài)歷經性的概念

第33頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.7設平穩(wěn)過程X(t)=Y，其中Y是隨機變量，D(Y)0研究它的各態(tài)歷經性。解

E(X(t))=E(Y)=常數于是不是常數所以均值不具有各態(tài)歷經性。第34頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月證明（常數）第35頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月11.3.3各態(tài)歷經性的條件定理11.3(均值各態(tài)歷經定理)第38頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月推論第39頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月定理11.2(自相關函數各態(tài)歷經定理)說明第40頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月定理11.3以概率1成立的充要條件是定理11.4以概率1成立的充要條件是第41頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月各態(tài)歷經定理的重要價值從理論上給出了如下保證:一個平穩(wěn)過程X(t),只要它滿足定理11.3和定理11.4,便可以根據“以概率1成立”的含義,從一次試驗所得到的樣本函數x(t)來確定出該過程的均值和自相關函數,即和說明1第42頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月說明2如果試驗記錄x(t)只在時間區(qū)間[0,T]給出,則有下以無偏估計式在實際中一般不可能給出x(t)表達式,因而通常通過模擬方法或數字方法來測量或計算估計式的值。第43頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月11.4平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度11.4.1平穩(wěn)過程的功率譜密度概念

11.4.2功率譜密度的性質11.4.3白噪聲過程第44頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月11.4功率譜密度的概念11.4.1確定性信號函數的功率譜密度同時有傅立葉逆變換第45頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月一般是復數量,其共軛函數x(t)的傅立葉變換等式:稱為x(t)的能量譜密度帕塞伐等式又可理解為總能量的譜表示式。第46頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月11.4.2隨機信號過程的功率譜密度第47頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月

11.4.3平穩(wěn)隨機過程X(t)的平均功率與功率譜密度第48頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月它是從頻率這個角度描述X(t)的統(tǒng)計規(guī)律的最主要的數字特征。第49頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月交換積分與均值的運算次序，注意到平穩(wěn)過程的均方值函數是常數，于是稱為平穩(wěn)過程X(t)的平均功率的譜表示式。第50頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月4、平穩(wěn)隨機過程X(t)功率譜密度的性質(2)SX(

)和自相關函數RX(

)是一傅立葉變換對。維納—辛欽公式第51頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月1234567自相關函數與譜密度對應表第52頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月解

00第53頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月解

由前面例可知，此隨機過程是平穩(wěn)過程，且相關函數為：于是得X(t)的平均功率為：第54頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.11解

由公式知自相關函數利用留數定理,可算得第55頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月均方值為第56頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月11.4.3白噪聲定義11.4均

X(t)值為零,而譜密度SX()為正常數,即的平穩(wěn)過程X(t)稱為白噪聲過程,簡稱白噪聲。其名出于白光具有均勻光譜的緣故。下面討論

白噪聲的自相關函數，為此需要定義-函數第57頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月具有下列性質的函數稱為

函數

函數有一個非常重要的運算性質，即對任何連續(xù)函數f(x),有：——篩選性所以

函數的傅立葉變換為：第58頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月

由傅立葉反變換，可得

函數的傅立葉積分表達式為：或這說明

(

)函數與1構成一傅立葉變換對。0110第59頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月說明1與2

(

)構成一傅立葉變換對。即100同理可得：或相應地有：第60頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月解

由于1與2

(

)構成一傅立葉變換對。第61頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月00第62頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月解

第63頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月