平穩(wěn)隨機過程的譜分析

平穩(wěn)隨機過程的譜分析第1頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章平穩(wěn)隨機過程的譜分析重點及其要求：（1）平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間、聯(lián)合平穩(wěn)過程的互相關(guān)函數(shù)與互譜密度之間皆互為傅立葉變換，知其一可求其二，并能求出平均功率、互功率。（2）對功率譜密度、互譜密度的定義及性質(zhì)要熟記，以便靈活運用，解決有關(guān)問題。第2頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1隨機過程的譜分析（一）隨機過程的功率譜密度隨機過程X(t)的樣本函數(shù)x(t)不滿足傅立葉變換絕對可積條件。盡管x(t)的總能量是無限的，但其平均功率卻是有限的。過程的樣本函數(shù)x(t)的截取函數(shù)定義為第3頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1隨機過程的譜分析當T為有限值時，截取函數(shù)滿足絕對可積條件，其傅立葉變換存在，則有顯然xT(t)也應滿足帕賽瓦定理，即對上式作集平均、時間平均處理后，可得到隨機過程的平均功率為第4頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1隨機過程的譜分析由此得到兩個重要結(jié)論：（1）若過程X(t)是平穩(wěn)的，則有（2）設(shè)則有我們稱SX(

)為隨機過程X(t)的功率譜密度函數(shù)。對平穩(wěn)過程X(t)，則有第5頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1隨機過程的譜分析（二）功率譜密度與復頻率面為了系統(tǒng)分析的方便，有時用復頻率來代替實頻率變量，于是，功率譜密度便是復變量S的函數(shù)，記為。最簡單的情況就是，，此時記；當用-jS代替時，功率譜密度應記為或。有時也用復頻率面上的零、極點圖來研究功率譜密度。第6頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1隨機過程的譜分析例3.1設(shè)復隨機過程其中a和

0皆為實常數(shù)，是均勻分布在區(qū)間（0,/2）上的隨機變量。試求X(t)的平均功率。解：因為X(t)的均方值是時間t的函數(shù)，故X(t)不是寬平穩(wěn)的。可以求得X(t)的平均功率第7頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1隨機過程的譜分析例3.2設(shè)解：用=-js代入得求用復頻率s=j表示的SX(s)第8頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月習題3.1設(shè)平穩(wěn)隨機過程X(t)的功率密度為求用復頻率s=j表示的SX(s)，并在復頻率面上畫出SX(s)的零、極點圖。第9頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度性質(zhì)（一）平穩(wěn)過程X(t)的功率譜密度的性質(zhì)(1).(2).功率譜密度SX()是的實函數(shù)。(3).(4).SX()可積(5).(6).在平穩(wěn)過程中，有一大類過程，其功率譜密度是的有理函數(shù)，即式中S0>0,M<N,此外，分母應該無實數(shù)根。第10頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度性質(zhì)例3.3考慮一個廣義平穩(wěn)隨機過程X(t)，具有功率譜密度為解：現(xiàn)在我們用復頻率的方法來求。首先令s=j,得求過程的均方值利用留數(shù)定理，考慮沿著左半平面上的一個半徑為無窮大的半圓積分第11頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度性質(zhì)左半平面有兩個極點，在－1和－3處，于是，可以分別計算兩個極點的留數(shù)為故第12頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月習題3.2已知平穩(wěn)隨機過程X(t)，具有功率譜密度為求過程的均方值第13頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系（一）關(guān)系式經(jīng)分析，隨機過程自相關(guān)函數(shù)的時間均值與過程功率譜密度之間構(gòu)成了傅立葉變換對，即若平穩(wěn)過程滿足第14頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系利用的偶函數(shù)特性，維納－辛欽定理還可以表示為：則有第15頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系（二）例解例3.4設(shè)平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為其中a,

0均為常數(shù)。求該過程的功率譜密度。解：第16頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系例3.4設(shè)平穩(wěn)過程X(t)的功率譜密度為求該過程的自相關(guān)函數(shù)和平均功率Q.解：利用留數(shù)定理，可求得第17頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月習題3.3設(shè)隨機過程Y(t)=aX(t)sin

0t,其中a,0皆為常數(shù)，X(t)為具有功率譜密度SX(

)的平穩(wěn)過程。求過程Y(t)的功率譜密度。3.4已知平穩(wěn)隨機過程X(t),具有功率譜密度為求過程的自相關(guān)函數(shù)和均方值。第18頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4離散時間隨機過程的功率譜密度（一）離散時間隨機過程的功率譜密度設(shè)X(n)為寬平穩(wěn)離散時間隨機過程，其自相關(guān)函數(shù)RX(m)滿足定義1X(n)的功率譜密度SX()為RX(m)的離散傅立葉變換，即它是周期連續(xù)函數(shù)，其周期為2

q(即Nyquist頻率)，即第19頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4離散時間隨機過程的功率譜密度且有在離散時間系統(tǒng)分析中，有時用Z變換更為方便，所以也用廣義平穩(wěn)離散時間隨機過程的功率譜密度定義為RX(m)的Z變換。第20頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4離散時間隨機過程的功率譜密度定義2X(n)的功率譜密度為的Z變換顯然有RX(m)則為的逆Z變換，即式中D為收斂區(qū)中的簡單閉合圍線。第21頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4離散時間隨機過程的功率譜密度（二）平穩(wěn)過程的采樣定理若零均值的限帶平穩(wěn)過程X(t)的功率譜密度為在采樣周期時，可將X(t)按其振幅采樣展開為此式就是平穩(wěn)過程的采樣定理。第22頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4離散時間隨機過程的功率譜密度（三）功率譜密度的采樣定理若平穩(wěn)連續(xù)時間實隨機過程X(t)，其自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別以記；對X(t)采樣后，所得離散時間隨機過程X(n)=X(nT)，X(n)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別用表示，則有上式就是功率譜密度的采樣定理。第23頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4離散時間隨機過程的功率譜密度（四）例解例3.5設(shè)平穩(wěn)離散時間隨機過程X(n)的自相關(guān)函數(shù)為求X(m)的功率譜密度解：上式等號右邊第一個和式在處收斂為第二個和式在處收斂為故我們得到第24頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4離散時間隨機過程的功率譜密度故我們得到則若T=1時，上式變?yōu)榈?5頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5互譜密度（一）互譜密度設(shè)X(t),Y(t)為聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程，若分別為的傅立葉變換，則可定義這兩個過程的互譜密度為于是兩個隨機過程X(t)和Y(t)的互功率為第26頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5互譜密度（二）互譜密度與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系對于兩個實隨機過程X(t),Y(t)有若實過程X(t)、Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，則有第27頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5互譜密度（三）互譜密度的性質(zhì)互功率譜密度和功率譜密度不同，它不再是頻率的正的、實的和偶函數(shù)。下面我們不加證明地列出互譜密度的若干性質(zhì)。（1）（2）互譜密度的實部Re[SXY()]、Re[SYX()]為的偶函數(shù)，其虛部Im[SXY()]、Im[SYX()]為的奇函數(shù)。第28頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5互譜密度（3）若隨機過程X(t)與Y(t)正交，則有（4）若隨機過程X(t)與Y(t)是兩個不相關(guān)的，均值分別為mX和mY平穩(wěn)隨機過程，則（5）第29頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5互譜密度（四）例解例3.6已知隨機過程Z(t)為。其中a和b皆為實數(shù)，X(t)和Y(t)是各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)的隨機過程。試求：（1）過程Z(t)的功率譜SZ(

);（2）過程X(t)和Y(t)不相關(guān)時的SZ(

);（3）互譜密度SXZ()和SYZ().第30頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5互譜密度解：（1）過程Z(t)的均值、互相關(guān)函數(shù)分別為所以Z(t)也是寬平穩(wěn)過程，它的功率譜密度為第31頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5互譜密度（2）平穩(wěn)過程X(t)與Y(t)不相關(guān)時的