能帶理論與半導(dǎo)體課件

中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina能帶理論與半導(dǎo)體（I）中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系能帶理論與半導(dǎo)體（I）1中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina

電子在運(yùn)動(dòng)過程中要受晶格原子勢(shì)場(chǎng)的作用能帶理論的基本出發(fā)點(diǎn):

固體中的電子可以在整個(gè)固體中運(yùn)動(dòng)中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系電子在運(yùn)動(dòng)過程中要受晶格原子勢(shì)場(chǎng)的2中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChinaBorn－Oppenheimer絕熱近似：所有原子核都周期性

地靜止排列在其格點(diǎn)位置上，因而忽略了電子與聲子

的碰撞

能帶理論是單電子近似的理論。用這種方法求出的電子能量狀態(tài)將不再是分立的能級(jí)，而是由能量的允帶和禁帶相間組成的能帶，故稱為能帶理論。能帶理論的兩個(gè)基本假設(shè)：

Hatree－Fock平均場(chǎng)近似：忽略電子與電子間的相互

作用，用平均場(chǎng)代替電子與電子間的相互作用中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系Born－Oppenheimer3中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina一、周期場(chǎng)模型周期場(chǎng)模型：在理想完整晶體中，所有原子實(shí)都周期

性地靜止排列在其平衡位置上；每一個(gè)

電子都處在除其自身外其他電子的平均

勢(shì)場(chǎng)和原子實(shí)所組成的周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)二、Bloch定理（1928年）在周期場(chǎng)中，描述電子運(yùn)動(dòng)的Schr?dinger方程為中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系一、周期場(chǎng)模型周期場(chǎng)模型：在理想完整4中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChinaRnrr+Rn周期性勢(shì)場(chǎng)格矢——Bloch函數(shù)方程的解為：是以格矢為周期的周期函數(shù)中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系Rnrr+Rn周期性勢(shì)場(chǎng)格矢——B5中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina（

＝1,2,3）

：晶格的三個(gè)基矢定義一個(gè)平移算符T

，使得對(duì)于任意函數(shù)

有因?yàn)閒(r)是任意函數(shù)，所以，T

T

－T

T

=0中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系（＝1,2,3）：晶格的三6中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina因?yàn)閒(r)是任意函數(shù)，所以，T

與H對(duì)易T

和H有共同本征態(tài)中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系因?yàn)閒(r)是任意函數(shù)，所以，T與7中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina（設(shè)為非簡(jiǎn)并）設(shè)(r)為T

和H的共同本征態(tài)

：平移算符T

的本征值引入周期性邊界條件：晶體的總原胞數(shù)：N＝N1N2N3設(shè)N

是晶體沿基矢

（＝1，2，3）方向的原胞數(shù)，中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系（設(shè)為非簡(jiǎn)并）設(shè)(r)為T和H的8中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina周期性邊界條件：引入矢量h

＝整數(shù)，＝1,2,3中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系周期性邊界條件：引入矢量h＝整數(shù)，9中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina定義一個(gè)新函數(shù)：中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系定義一個(gè)新函數(shù)：10中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina是以格矢

為周期的周期函數(shù)幾點(diǎn)討論1.關(guān)于布里淵區(qū)

波矢量k是對(duì)應(yīng)于平移算符本征值的量子數(shù)，其物理意義表示不同原胞間電子波函數(shù)的位相變化

不同的波矢量k對(duì)應(yīng)于不同的平移算符本征值，電子波函數(shù)在原胞間的位相差不同，即描述晶體中電子不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系是以格矢為周期的周期函數(shù)11中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina

如果兩個(gè)波矢量

和

相差一個(gè)倒格矢

，這兩個(gè)波矢所對(duì)應(yīng)的平移算符本征值相同

＝1,2,3對(duì)于

：對(duì)于：

波矢量

和

所描述的電子在晶體中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同通常將

取在由各個(gè)倒格矢的垂直平分面所圍成的包含原點(diǎn)在內(nèi)的最小封閉體積，即簡(jiǎn)約區(qū)或第一布里淵區(qū)中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系如果兩個(gè)波矢量12中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina

簡(jiǎn)約波矢：

限制在簡(jiǎn)約區(qū)中取值

擴(kuò)展波矢：

在整個(gè)

空間中取值每一個(gè)量子態(tài)

在

空間中所占的體積:在

空間中，波矢

的分布密度：中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系簡(jiǎn)約波矢：限制在簡(jiǎn)約區(qū)中取13中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina在簡(jiǎn)約區(qū)中，波矢

的取值總數(shù)為擴(kuò)展布里淵區(qū)變換到第一布里淵區(qū)簡(jiǎn)約布里淵區(qū)-2p/a2p/a中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系在簡(jiǎn)約區(qū)中，波矢的取值總數(shù)為14X射線衍射勞厄條件散射前后波矢的改變?yōu)榈垢袷笗r(shí)，散射后才能觀察到相長干涉中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChinaX射線衍射勞厄條件中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系15|V1||V2|

k

狀態(tài)在布里淵邊界的布拉格反射自由運(yùn)動(dòng)k狀態(tài)駐波導(dǎo)致的能級(jí)劈裂周期性勢(shì)場(chǎng)中自由電子的布拉格反射形成禁帶中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina|V1||V2|k狀態(tài)在布里淵邊界的布拉格反射自由運(yùn)動(dòng)k16中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina體心立方的基矢為實(shí)空間Wigner-Seitz對(duì)稱晶胞中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系體心立方的基矢為實(shí)空間Wigner-17中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina體心立方的第一布里淵區(qū)，正十二面體倒格子空間中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系體心立方的第一布里淵區(qū)，正十二面體倒18中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina面心立方的基矢為實(shí)空間Wigner-Seitz對(duì)稱晶胞中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系面心立方的基矢為實(shí)空間Wigner-19中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina面心立方的第一布里淵區(qū)，截角八面體倒格子空間中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系面心立方的第一布里淵區(qū)，截角八面體倒20中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina2.Bloch函數(shù)的性質(zhì)Bloch函數(shù):

周期函數(shù)的作用則是對(duì)這個(gè)波的振幅進(jìn)行

調(diào)制，使它從一個(gè)原胞到下一個(gè)原胞作周期性振

蕩，但這并不影響態(tài)函數(shù)具有行進(jìn)波的特性

行進(jìn)波因子表明電子可以在整個(gè)晶體中運(yùn)動(dòng)

的，稱為共有化電子，它的運(yùn)動(dòng)具有類似行進(jìn)平面

波的形式中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系2.Bloch函數(shù)的性質(zhì)Bloch21中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina晶體中電子：自由電子：孤立原子：

如果晶體中電子的運(yùn)動(dòng)完全自由，

在晶體中運(yùn)動(dòng)電子的波函數(shù)介于自由電子與孤立原子之間，是兩者的組合

若電子完全被束縛在某個(gè)原子周圍，

由于晶體中的電子既不是完全自由的，也不是完全被束縛在某個(gè)原子周圍，因此，其波函數(shù)就具有的形式。周期函數(shù)反映了電子與晶格相互作用的強(qiáng)弱中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系晶體中電子：自由電子：孤立原子：22中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系23中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina一、固體中電的傳導(dǎo)1.1能帶和鍵模型SiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSi+e-Eg+e-中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系一、固體中電的傳導(dǎo)1.1能帶和鍵模24中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina半導(dǎo)體導(dǎo)帶和價(jià)帶的E-k關(guān)系圖:(a)T=0K(b)T>0K(a)(b)中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系半導(dǎo)體導(dǎo)帶和價(jià)帶的E-k關(guān)系圖:(25中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina1.2漂移電流電流是由電荷的定向運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的對(duì)體密度為，平均漂移速度為的正電荷，漂移電流密度為：如有外力作用在粒子上，粒子獲得的能量為：外力作用下E-k關(guān)系圖中電子的不對(duì)稱分布導(dǎo)帶中電子運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的漂移電流密度為：中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系1.2漂移電流電流是由電荷的定向運(yùn)26中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina1.2電子的有效質(zhì)量對(duì)半導(dǎo)體來說，起作用的常常是接近導(dǎo)帶底或價(jià)帶頂部的電子，極值附近的E-k關(guān)系其主要作用：對(duì)于給定半導(dǎo)體，應(yīng)為常數(shù)，令：為有效質(zhì)量中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系1.2電子的有效質(zhì)量對(duì)半導(dǎo)體來說，27中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina導(dǎo)帶底附近，，電子有效質(zhì)量為正值。價(jià)帶頂附近，，電子有效質(zhì)量為負(fù)值。電子在晶格中的運(yùn)動(dòng)與自由空間不同，外部作用力及晶格中的帶正電荷的離子（如，質(zhì)子）和帶負(fù)電荷的電子都會(huì)對(duì)電子在晶格中的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響，有：由于難以一一考慮離子所受的內(nèi)力，僅考慮外力作用，有：

電子的加速度其中加速度直接與外力有關(guān)，參數(shù)稱為有效質(zhì)量，概括了粒子質(zhì)量與內(nèi)力作用的效果。類似于玻璃球在水和油中的運(yùn)動(dòng)可以直觀的表現(xiàn)為有效質(zhì)量的不同。中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系導(dǎo)帶底附近，28中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina考慮到導(dǎo)帶底的情況：因此，E(k)對(duì)k的一階導(dǎo)數(shù)與電子的速度有關(guān)。E(k)對(duì)k的二階導(dǎo)數(shù)與電子的有效質(zhì)量成反比。導(dǎo)帶的電子在電場(chǎng)作用下有：中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系考慮到導(dǎo)帶底的情況：因此，E(k)對(duì)29中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina1.3空穴的概念SiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSi+SiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSi++中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系1.3空穴的概念SiSiSiSiS30中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina漂移電流密度對(duì)應(yīng)于價(jià)帶中的電子，有：對(duì)于價(jià)帶為滿帶的情況，考慮能帶在k空間的對(duì)稱性，有：價(jià)帶中電子的運(yùn)動(dòng)速度為：價(jià)帶漂移電流密度為：其中與空狀態(tài)有關(guān)：中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系漂移電流密度對(duì)應(yīng)于價(jià)帶中的電子，有：31中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina價(jià)帶頂?shù)碾娮釉谕饧与妶?chǎng)下有：說明價(jià)帶頂多數(shù)電子的運(yùn)動(dòng)完全可以用很少的空狀態(tài)表示出來，空狀態(tài)粒子具有正電荷和正的有效質(zhì)量，定義為空穴。價(jià)帶的電子填充和空狀態(tài)正電荷占據(jù)原始空狀態(tài)的新概念中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系價(jià)帶頂?shù)碾娮釉谕饧与妶?chǎng)下有：說明價(jià)帶32中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina1.4硅和砷化鎵的k空間能量圖面心立方晶體(100)晶面的[100]和[110]方向

電子在不同方向上的運(yùn)動(dòng)會(huì)遇到不同的周期性勢(shì)場(chǎng)，從而產(chǎn)生不同的k空間邊界，晶體中的E-k關(guān)系是k空間方向的函數(shù)。中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系1.4硅和砷化鎵的k空間能量圖面心33中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina[100]和[110]晶向能帶結(jié)構(gòu)對(duì)于金剛石或閃鋅礦類型的晶格，價(jià)帶頂和導(dǎo)帶底出現(xiàn)在k=0沿著兩個(gè)晶向之一的方向上。中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系[100]和[110]晶向能帶結(jié)構(gòu)對(duì)34中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina對(duì)邊長為a的晶體中運(yùn)動(dòng)的自由電子：1.5狀態(tài)密度函數(shù)中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系對(duì)邊長為a的晶體中運(yùn)動(dòng)的自由電子：135中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina單位體積、單位能量的量子態(tài)密度為：對(duì)于半導(dǎo)體導(dǎo)帶：價(jià)帶：中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系單位體積、單位能量的量子態(tài)密度為：對(duì)36中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina1.6統(tǒng)計(jì)分布實(shí)際應(yīng)用中，涉及的主要為粒子的整體統(tǒng)計(jì)學(xué)狀態(tài)，而不是其中某一個(gè)粒子的狀態(tài)。確定粒子在有效能態(tài)中的分布有三種統(tǒng)計(jì)規(guī)律：麥克斯韋-玻爾茲曼分布玻色-愛因斯坦分布費(fèi)米-狄拉克分布將個(gè)粒子排列到第個(gè)能級(jí)中的方式總數(shù)為：中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系1.6統(tǒng)計(jì)分布實(shí)際應(yīng)用中，涉及的主37中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina由于粒子不可分辨，自身的個(gè)排列方式不應(yīng)計(jì)算在內(nèi)，因此，個(gè)粒子在第個(gè)能級(jí)中分布的概率為：如，n個(gè)能級(jí)所有粒子排列方式的總數(shù)為：要求保持粒子總數(shù)和總能量不變的前提下，改變能級(jí)中的來改變粒子的分布，獲得的最大值，使概率分布最大：中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系由于粒子不可分辨，自身的38中國人民大學(xué)理學(xué)院化學(xué)系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina概率密度函數(shù)為：密度數(shù)為單位體積單位能量的粒子數(shù)，為單位體積單位能量的量子狀態(tài)，為費(fèi)米-狄拉克分布（概率）函數(shù)，表示能量為E的量子態(tài)被電子占據(jù)的可能性，或被