2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市香新中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測試題含解析

2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市香新中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知f（x）=，則f（1）為（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】由函數(shù)性質(zhì)得f（1）=f（3）=f（5）=f（7），由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=f（3）=f（5）=f（7）=7﹣5=2．故選：A．2.設(shè)為實(shí)系數(shù)三次多項(xiàng)式函數(shù).已知五個(gè)方程式的相異實(shí)根個(gè)數(shù)如下表所述﹕11313

關(guān)于的極小值﹐試問下列（）選項(xiàng)是正確的﹖A．

B．

C．

D．不存在

參考答案：C3.已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當(dāng)（其中是的導(dǎo)函數(shù)），設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是A.

B.

C.

D.參考答案：C令函數(shù)，則函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)遞增，則,,，因?yàn)?，所以，選C.4.函數(shù)滿足：對一切,．且，當(dāng)時(shí),．則的值為（）A. B. C. D.參考答案：C【分析】由平方有,從而有,代入可得函數(shù)的周期性,再利用周期性將中2019代換到合適的定義域進(jìn)行函數(shù)值求解即可．【詳解】∵滿足：對一切,．且,∴,從而有；兩式相減,得；∵∴；∴是以2為周期的函數(shù),∴；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性,函數(shù)關(guān)系的遞推的應(yīng)用,屬于中檔題．5.一個(gè)半徑為2的球體經(jīng)過切割后，剩余部分幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C．4π D．8π參考答案：D【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】幾何體為一個(gè)球切割掉球體，根據(jù)幾何體的體積為球的體積，把數(shù)據(jù)代入球的體積公式計(jì)算可得答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：幾何體為一個(gè)球切割掉球體，故幾何體的體積V=?=8π，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了由三視圖求幾何體的表面積和體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量是解答此類問題的關(guān)鍵．6.若是方程的解，則屬于區(qū)間（

）A

(,1)

B

(,)

C

(,)

D

(0,)參考答案：C略7.若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：答案：B解析：取θ=π得=-1+i，第二象限，選B8.拋物線y=x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（0，2） B．（0，） C．（2，0） D．（，0）參考答案：A考點(diǎn)： 拋物線的簡單性質(zhì)．專題： 計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： 把拋物線y=x2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，確定開口方向和p值，即可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)．解答： 解：拋物線y=x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y，p=4，開口向上，焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），故選：A．點(diǎn)評： 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用；把拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，是解題的關(guān)鍵．9.某制冷設(shè)備廠設(shè)計(jì)生產(chǎn)一種長方形薄板，如圖所示，長方形ABCD（ABAD）的周長為4米，沿AC折疊使B到B′位置，AB′交DC于P．研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)ADP的面積最大時(shí)最節(jié)能，則最節(jié)能時(shí)ADP的面積為

A．2—2

B．3—2

C．2—

D．2參考答案：B略10.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】先對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡運(yùn)算，由共軛復(fù)數(shù)的定義可得答案．【解答】解：==，∴復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的基本概念，屬基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D為斜邊AB的中點(diǎn)，則=

．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，得到AB與CD的長度，求出兩個(gè)向量的夾角是120°，利用向量的數(shù)量積公式寫出表示式，得到結(jié)果．【解答】解：：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2．∵D為斜邊AB的中點(diǎn)，∴CD=AB=1，∠CDA=180°﹣30°﹣30°=120°．∴=2×1×cos120°=﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，是一個(gè)基礎(chǔ)題．12.曲線（為參數(shù)且）與直線交點(diǎn)的極坐標(biāo)為

．參考答案：略13.已知函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則

．參考答案：略14.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是

.參考答案：615.在等比數(shù)列中，若，則____________．參考答案：略16.已知點(diǎn)P（a，b）在函數(shù)y=上，且a＞1，b＞1，則alnb的最大值為．參考答案：e【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；基本不等式．【分析】點(diǎn)P（a，b）在函數(shù)y=上，且a＞1，b＞1，可得，兩邊取對數(shù)可得lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．令t=alnb，可得lnt=lna?lnb，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：點(diǎn)P（a，b）在函數(shù)y=上，且a＞1，b＞1，∴，可得lnb=2﹣lna，即lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．令t=alnb，∴l(xiāng)nt=lna?lnb≤=1，當(dāng)且僅當(dāng)lna=lnb=1，即a=b=e時(shí)取等號．∴t≤e．故答案為：e．17.已知向量，若向量與向量共線，則實(shí)數(shù)k=

．參考答案：-1【考點(diǎn)】9K：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的共線定理即可求出【解答】解：∵向量，∴向量=（k﹣1，k），∵量與向量共線，∴（k﹣1）×1=k×2，解得k=﹣1，故答案為：﹣1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）

某超市制定“五一”期間促銷方案，當(dāng)天一次性購物消費(fèi)額滿1000元的顧客可參加“摸球抽獎贏代金券”活動，規(guī)則如下：

①每位參與抽獎的顧客從一個(gè)裝有2個(gè)紅球和4個(gè)白球的箱子中逐次隨機(jī)摸球，一次只摸出一個(gè)球；

②若摸出白球，將其放回箱中，并再次摸球；若摸出紅球則不放回，工作人員往箱中補(bǔ)放一白球后，再次摸球；

③如果連續(xù)兩次摸出白球或兩個(gè)紅球全被摸出，則停止摸球．

停止摸球后根據(jù)摸出的紅球個(gè)數(shù)領(lǐng)取代金券，代金券數(shù)額Y與摸出的紅球個(gè)數(shù)x滿足如下關(guān)系：Y=144+72x(單位：元)．

(I)求一位參與抽獎顧客恰好摸球三次即停止摸球的概率；

(Ⅱ)求隨機(jī)變量Y的分布列與期望．參考答案：(I);(Ⅱ)分布列見解析,

19.設(shè)關(guān)于的函數(shù)，其中為上的常數(shù)，若函數(shù)在處取得極大值．(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值；(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(Ⅲ)設(shè)函數(shù)，若對任意地，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)

………2分因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極大值所以,

………4分解………5分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，令得或（舍去）在上函數(shù)單調(diào)遞增，在上函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減………7分所以,當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，當(dāng)時(shí)，即所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，………9分(Ⅲ)設(shè)………10分

當(dāng)時(shí),，在遞增，不成立，（舍）……11分當(dāng)時(shí)當(dāng)，即時(shí)，在遞增，，不成立當(dāng)，即時(shí)，在遞增，所以，解得

，所以，此時(shí)

當(dāng)時(shí)，在遞增，成立；當(dāng)時(shí)，不成立，綜上，

………13分略20.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，.（1）求異面直線B1C1與A1C所成角的大?。唬?）求直線B1C1與平面A1BC的距離.參考答案：(1).(2).【分析】（1）或其補(bǔ)角就是異直線與所成角，我們可證為直角三角形且，故可得異面直線所成角的大小.（2）先計(jì)算，再利用等積法求到平面的距離，它就是直線到平面的距離.【詳解】(1)因?yàn)椋?或其補(bǔ)角)是異直線與所成角.因?yàn)?，，，所以平面，所?中，，所以，所以異面直線與所成角的大小為.(2)因?yàn)槠矫妫缘狡矫娴木嚯x等于到平面的距離，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)?，，可得，直線與平面的距離為.【點(diǎn)睛】異面直線所成角的計(jì)算，可通過平移把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，在可解的三角形中求其大小.直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，求點(diǎn)面距時(shí)，注意利用題設(shè)中已有的線面垂直，如果沒有，則利用面面垂直構(gòu)建線面垂直，也可利用等積法求點(diǎn)面距.

21.（15分）如圖，A1，A為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).

（Ⅰ）寫出橢圓的方程及準(zhǔn)線方程；

（Ⅱ）過線段OA上異于O，A的任一點(diǎn)K作OA的垂線，交橢圓于P，P1兩點(diǎn)，直線

A1P與AP1交于點(diǎn)M.

求證：點(diǎn)M在雙曲線上.參考答案：解析：（Ⅰ）解：由圖可知,該橢圓的方程為準(zhǔn)線方程為（Ⅱ）證明：設(shè)K點(diǎn)坐標(biāo),點(diǎn)P、P1的坐標(biāo)分別記為，

其中則……①直線A1P，P1A的方程分別為：……②……③②式除以③式得化簡上式得代入②式得于是，直線A1P與AP1的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為因?yàn)樗?，直線A1P與AP1的交點(diǎn)M在雙曲線.22.（12分）已知橢圓C：，點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A(-1，0).B(1，0)的距離之比為，點(diǎn)B到直線PA的距離為1。（1）

求直線PB的方程；（II）

求證：直線PB與橢圓C相切；（III）

F1、F2分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，直線PB與橢圓C相切于點(diǎn)M，直線MF2交y軸于點(diǎn)N，求∠MF1N參考答案：(Ⅰ)過B作PA的垂線，垂足為C，∣AB∣＝２，∣BC∣＝１知，∠BAC=……………１分

在△PAB中，由正弦定理得，……………２分∵∴,即直線PB的傾斜角