彈性力學基礎 應力應變

彈性力學基礎應力應變第1頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月空間問題的基本未知量與基本方程物體內任一點的應力狀態(tài)分析空間問題的平衡微分方程空間問題的幾何方程和物理方程空間軸對稱問題的基本方程主要內容第2頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.1空間問題的基本未知量與方程什么空間問題？一維問題：一個基本坐標變量，如桿件。是材料力學的重點內容。二維問題：二個基本坐標變量，如平面問題。是本課程的重點內容。三維問題：三個基本坐標變量，即空間問題。是本課程需了解的內容。第3頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月空間問題的基本未知量與方程

任何一個彈性體是空間物體（坐標變量為x、y、z），外力為空間力系。實際的彈性力學問題都是空間問題。對于空間問題，在彈性體區(qū)域內，仍然要考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件，分別建立三套方程；并在邊界上建立應力邊界條件或位移邊界條件。空間問題與平面問題具有相似性：基本未知數、基本方程、邊界條件和求解方法均是類似的。第4頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月空間問題的基本未知量與基本方程物體內任一點的應力狀態(tài)分析空間問題的平衡微分方程空間問題的幾何方程和物理方程空間軸對稱問題的基本方程主要內容第5頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.2物體內任一點的應力狀態(tài)分析1：求經過該點任何斜面上的應力p？2：求經過該點的任何斜面上的正應力sn和切應力tn

？3：若經過該點的主應力s和應力主方向a

？4：求經過該點的正應力sn和切應力tn

的最大和最小值？一點應力狀態(tài)分析：已知任一點處坐標面上的6個應力分量，求解如下四個問題：第6頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月過一點任意斜面的全應力問題1：已知任一點處坐標面上的6個應力分量，求經過該點的任何斜面上的應力p？取如圖所示微分單元體PABC，當平面ABC無限接近于P點時，該平面上的應力即為所求應力p。根據該微分單元的力系平衡條件，在x、y和z軸方向上合力為0，從而有：第7頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月過一點任意斜面的全應力特殊情況下，若平面ABC是彈性體上受面力作用的邊界面，則應力p就成為面力，于是由(7－2)式可得出:上式就是空間問題的應力邊界條件，它表明應力分量的邊界值與面力分量之間的關系。第8頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月過一點任意斜面的正應力與切應力問題2：求經過該點的任何斜面上的正應力和切應力？平面ABC上的正應力sn即為上面所求的全應力p向法線方向n的投影：平面ABC上的切應力tn則由下式求得：第9頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月過一點任意斜面的主應力與主方向問題3：若經過該點的某一斜面上的切應力為0，求此斜面上的主應力s和應力主方向a

？設如圖所示的斜面上切應力為0，則該面上的全應力等于正應力，也等于主應力，于是有又由于有第10頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月過一點任意斜面的主應力與主方向從而有關于方向余弦l,m,n的線性方程組：其有非零解的充要條件為系數行列式等于0，即第11頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月過一點任意斜面的主應力與主方向其中：主應力特征方程展開，得：第12頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月過一點任意斜面的主應力與主方向主應力特征方程有三個實數根，s1，s2，s3分別表示這三個根，代表某點三個主應力，從而確定彈性體內部任意一點主應力。主應力和應力主軸方向取決于載荷、形狀和邊界條件等，與坐標軸的選取無關。I1、I2、I3

分別稱為應力張量的第一、第二和第三不變量。特征方程的根是確定的，即系數I1、I2、I3的值是不隨坐標軸的改變而變化的。第13頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月結合l2+m2+n2=1

則可求主應力方向。過一點任意斜面的主應力與方向對于主應力方向，將s1，s2，s3分別代入可以證明：三個主應力方向，是互相垂直的。第14頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月過一點任意斜面的應力極值彈性體內任意一點的最大正應力為s1，最小正應力為s3最大切應力可以通過主應力計算，等于(s1-s3)/2。最大切應力作用平面也可以通過主應力方向得到，其作用平面通過s2

應力主方向，并且平分s1和s3應力主方向的夾角（即45°角）。問題4、已知任一點處三個主應力（s1≥s2≥s3

），及其應力主方向，可求得經過該點正應力、切應力的最大和最小值第15頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：證明主應力是正應力的極值（極大或極?。?。解：為了計算方便，選三個主方向為坐標軸向，則有

sx=s1，sy=s2，sz=s3，txy=tyz=txz=0

設任意斜微分面的方向余弦為（l,

m,

n)，其上的全應力為公式（7－2），正應力為公式（7－3），代入有

sn=

s1

l2+s2m2+s3n2=s1–(s1-s2)m2-(s1-s3)n2

設三個主應力大小順序為

s1≥s2≥s3

，則正應力取極大值條件：

m=n=0,|l|=1,即極大值為s1。

同理極小值為s3。例題第16頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：證明主應力是正應力的極值（極大或極?。＝猓簽榱擞嬎惴奖?，選三個主方向為坐標軸向，則有

sx=s1，sy=s2，sz=s3，txy=tyz=txz=0

設任意斜微分面的方向余弦為（l,

m,

n)，其正應力為公式（7－3），代入有

sn=

s1

l2+s2m2+s3n2=s1–(s1-s2)m2-(s1-s3)n2

設三個主應力大小順序為

s1≥s2≥s3

，則正應力取極大值條件：

m=n=0,|l|=1,即極大值為s1。

同理極小值為s3。例題第17頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月空間問題的基本未知量與基本方程物體內任一點的應力狀態(tài)分析空間問題的平衡微分方程空間問題的幾何方程和物理方程空間軸對稱問題的基本方程主要內容第18頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.3空間問題的平衡微分方程

空間問題的平衡微分方程是考慮空間問題的靜力學條件，根據彈性體內微分單元體的靜力平衡條件來推導出應力分量與體力分量之間的關系。

分析問題方法：空間力系和力矩的平衡條件

分析手段：微分單元體（微分）

意義：彈性體區(qū)域內任一點的微分體的靜力平衡條件第19頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月空間問題的平衡微分方程由于六面體是微小的，各面上的應力可認為是均勻分布，且作用于對應面的中心。同理，六面體所受的體力也可以認為是均勻分布，且作用于它的體積的中心。如圖所示，考慮一個微小的正平行六面體，其x、y、z方向的尺寸分別為dx、dy、dz。第20頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月空間問題的平衡微分方程

考慮問題的基礎知識：靜力學知識微分單元體：正平行六面體，每個邊界面都是坐標平面，各坐標面上有三個應力分量。

應力符號約定（1）正坐標面：外法線方向沿坐標軸正向的坐標面

應力沿坐標軸正向時取正值，沿坐標軸負向時取負值；反之亦然。（2）負坐標面：外法線方向沿坐標軸負向的坐標面

應力沿坐標軸正向時取負值，沿坐標軸負向時取正值；反之亦然。由泰勒級數展開，求各面應力第21頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月空間問題的平衡微分方程分析問題方法：空間力系和力矩的平衡條件（6個）意義：彈性體區(qū)域內任一點的微分體的平衡條件平衡微分方程切應力互等定理第22頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月平衡微分方程：注意事項列平衡條件時，應力和體力應分別乘以其作用面積和體積，才能得到合力；應用了兩個基本假設：連續(xù)性假設和小變形假設，也是其適用的條件。平衡微分方程中各個量的量綱都相同，其中第一式的各項為x方向的量，第二項為y方向的量，第三項為z方向的量；第23頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月平衡微分方程：注意事項空間問題的平衡微分方程有3個方程，但包含有6個未知函數，只根據靜力學條件無法定解，即是超靜定的。要想定解，還必須考慮幾何學和物理學方面的條件。平衡微分方程表示了彈性體內任意點的微分單元體的平衡條件，必然保證任一有限大部分和整個區(qū)域是滿足平衡條件的，因而所考慮的靜力學條件是嚴格和精確的；第24頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月空間問題的基本未知量與基本方程物體內任一點的應力狀態(tài)分析空間問題的平衡微分方程空間問題的幾何方程和物理方程空間軸對稱問題的基本方程主要內容第25頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.4空間問題的幾何方程及物理方程幾何方程：位移與應變的關系，分為線應變和切應變空間問題的位移邊界條件：在給定約束位移的邊界面上，位移分量在邊界面上的值與邊界上的約束位移值相等。體應變：單位體積的體積改變第26頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月空間問題的物理方程物理方程：應力與應變的關系，又稱本構方程和廣義胡克定律。E

為楊氏模量G為剪切彈性模量m

為橫向變形系數—泊松比對于理想彈性體，按應力表示為用于按應力求解的方法。第27頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月空間問題的物理方程按應變表示的物理方程為用于按位移求解的方法。第28頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月總結：基本未知量與方程位移分量uxuyuz應變分量exeyezgxygxzgyz應力分量sxsysztxytxztyz體力f幾何方程物理方程平衡微分方程已知位移已知面力變形協(xié)調方程位移邊界條件應力邊界條件混合邊界條件第29頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例題例題：將立方體的橡皮放在一同樣大小的剛性體鐵盒容器內，其上用鐵蓋封閉，鐵蓋上受均勻分布垂直壓力q

作用，假設橡皮與容器間無摩擦力，試求橡皮中的應力分量與應變分量。第30頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例題1、建立求解的直角坐標系2、橡皮在力的作用下會發(fā)生形變，但由于容器為剛性體，因此其在x

和y

兩個方向變形受到約束，位移u=v=0，相應的正應變ex=ey=0。5、由于橡皮與容器間無摩擦力，因此切應力均為0

，切應變也為0。4、將上述條件代入物理方程，可解得sx和

sy，進而求ez3、橡皮的上邊界受均勻分布垂直壓力q

作用，因此有

sz=-q（見§8.2內容）第31頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月空間問題的基本未知量與基本方程物體內任一點的應力狀態(tài)分析空間問題的平衡微分方程空間問題的幾何方程和物理方程空間軸對稱問題的基本方程主要內容第32頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月§5.5空間軸對稱問題的基本方程空間軸對稱：彈性體的形狀、約束和外力都是對稱于某一軸，通過對稱軸的任何平面均是對稱面，則所有物理量（應力、應變和位移）都對稱于該軸。宜采用圓柱坐標系（r,j,z）。由于對稱，在對稱面兩邊對應點的物理量滿足如下兩個條件

（1）數值軸對稱：所有物理量與環(huán)向坐標j

無關，同一環(huán)向線上的值相等，且只是徑向坐標r

和軸向坐標z

的函數。

（2）方向軸對稱，即方向對稱于z軸，方向不對稱于z

軸的物理量不能存在，從而有：第33頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月軸對稱問題的平衡微分方程由徑向軸r

和軸向z兩個方向的空間力系的平衡條件，可推導出“平衡微分方程”：整理可得（7-15