Z變換和差分方程課件

第三節(jié)差分方程

差分方程是包含關(guān)于變量k的序列y（k）及其各階差分的方程式。

是具有遞推關(guān)系的代數(shù)方程，若已知初始條件和激勵(lì)，利用迭代法可求差分方程的數(shù)值解。第三節(jié)差分方程差分方程是包含關(guān)于變量k的1

對(duì)于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，在某一采樣時(shí)刻的輸出值C(k)不僅與這一時(shí)刻的輸入值r(k)有關(guān)，而且與過去時(shí)刻的輸入值r(k-1)、r(k-2)…有關(guān)，還與過去的輸出值c(k-1)、c(k-2)…有關(guān)。可以把這種關(guān)系描述如下：n—系統(tǒng)的階次k—系統(tǒng)的第k個(gè)采樣周期線性定常系統(tǒng)差分方程的一般形式差分方程的定義:對(duì)于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，在某一采樣時(shí)刻的2差分方程的物理意義1.差分方程給出了沿時(shí)間順序輸出量的若干個(gè)采樣瞬時(shí)值與輸入量在采樣瞬時(shí)的值的關(guān)系。2.通常，若系統(tǒng)的連續(xù)部分是一個(gè)n階的線性環(huán)節(jié)，則構(gòu)成離散系統(tǒng)時(shí)，其相應(yīng)的差分方程也是n階的線性差分方程。3.一個(gè)n階差分方程中，一般包括有n個(gè)過去采樣瞬時(shí)的輸出值。差分方程的物理意義1.差分方程給出了沿時(shí)間順序輸出量的若干個(gè)3典型的采樣系統(tǒng)典型的采樣系統(tǒng)4差分方程的求解方法

迭代求解差分方程的求解方法

迭代求解5Z變換和差分方程ppt課件6迭代法求解示例例題：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為：已知初始條件:求:迭代法求解示例例題：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為：已知初始條7解：將方程中除y（k）以外的各項(xiàng)都移到等號(hào)右邊，得：對(duì)于類似的依次迭代可得：解：8迭代法的特點(diǎn)思路清楚，便于編寫計(jì)算程序，能得到方程的數(shù)值解。2.但不容易得出輸出在采樣時(shí)刻值的通解。迭代法的特點(diǎn)思路清楚，便于編寫計(jì)算程序，能得到方程9

直接求解差分方程是比較困難的，因此考慮到：能否借用類似于拉斯變換的數(shù)學(xué)方法來簡(jiǎn)化方程求解？直接求解差分方程是比較困難的，因此考慮到：能否10第四節(jié)Z變換第四節(jié)Z變換11Z變換和差分方程ppt課件12引入變量：或者寫成：S:拉普拉斯變換的算子；Ts:采樣周期；Z：一個(gè)復(fù)變量，定義在Z平面上，稱為Z變換算子，記為：采樣信號(hào)的Z變換：Z［f*(t)]=F(z)F(z)是采樣脈沖序列的Z變換，它只考慮了采樣時(shí)刻的信號(hào)值。引入變量：或者寫成：S:拉普拉斯變換的算子；Ts:采樣周13Z變換的實(shí)質(zhì)將差分方程轉(zhuǎn)為代數(shù)方程，簡(jiǎn)化求解過程。復(fù)變量s與z之間的關(guān)系，反映了連續(xù)函數(shù)在s域和離散函數(shù)在z域的對(duì)應(yīng)關(guān)系。Z變換的實(shí)質(zhì)將差分方程轉(zhuǎn)為代數(shù)方程，簡(jiǎn)化求解過程。14

級(jí)數(shù)求和法部分分式法留數(shù)計(jì)算法4.2Z變換的方法4.2Z變換的方法151.級(jí)數(shù)求和法

將離散函數(shù)根據(jù)定義展開,然后逐項(xiàng)進(jìn)行拉斯變換，F(xiàn)*(t)=

可得：F(z)=f(0)×1+f(T)Z-1+f(2T)Z-2+f(nT)Z-n1.級(jí)數(shù)求和法

將離散函數(shù)根據(jù)定義展開,然后逐項(xiàng)進(jìn)行拉斯變16例8-1

見教材339頁例題8－4－1.例8-2求

的F(Z)見教材339頁例題8－4－2例8-1見教材339頁例題8－4－1.例8-217例8-3求解的Z變換。2.部分分式法

當(dāng)連續(xù)函數(shù)可以表示為指數(shù)函數(shù)之和時(shí)，可以利用這種方法。見教材339頁例題8－4－3例8-3求解18例8-4求例8-4求19

設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換F(S)及全部極點(diǎn)已知,則可用留數(shù)計(jì)算法求Z變換.當(dāng)F(S)具有一階極點(diǎn)S=P1時(shí),其留數(shù)為:當(dāng)F(S)具有q階重復(fù)極點(diǎn)時(shí),其留數(shù)為:4.2.3留數(shù)計(jì)算法設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換F(S)及全部20例8-4-5

求的Z變換解:例8-4-5求的Z變換解:21例8—6

求的Z變換解:兩階重極點(diǎn)!!例8—7例8—6求的Z變換解:兩階重極點(diǎn)!!例8—722

下表列出了一些常見函數(shù)及其相應(yīng)的Laplace變換和Z變換，利用此表可以根據(jù)給定的函數(shù)或其Laplace變換直接查出其對(duì)應(yīng)的Z變換，不必進(jìn)行繁瑣的計(jì)算，這也是實(shí)際中廣泛應(yīng)用的方法。下表列出了一些常見函數(shù)及其相應(yīng)的Laplace變23常用函數(shù)的Z變換（見教材341頁表8－4－1）常用函數(shù)的Z變換（見教材341頁表8－4－1）241、線性定理2、滯后定理3、初值定理4、終值定理5、超前定理6、復(fù)數(shù)偏移定理4.3Z變換的基本定理（p342）1、線性定理4.3Z變換的基本定理（p342）251、線性定理設(shè)：則：函數(shù)線性組合的Z變換，等于各函數(shù)Z變換的線性組合。2、滯后定理設(shè)在t<0時(shí)連續(xù)函數(shù)f(t)的值為零，其Z變換為F（Z）則:原函數(shù)在時(shí)域中延遲幾個(gè)采樣周期，相當(dāng)于在象函數(shù)上乘以z-k,算子z-k的含義可表示時(shí)域中時(shí)滯環(huán)節(jié)，把脈沖延遲k個(gè)周期。

1、線性定理設(shè)：則：函數(shù)線性組合的Z變換，等于各函數(shù)Z變換的263、初值定理設(shè)函數(shù)f(t)的Z變換為F（z），并且

存在，則4、終值定理設(shè)函數(shù)f(t)的Z變換為F（z），并且（1-z-1）F(z)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上和圓外均無極點(diǎn)，則有經(jīng)常用于分析計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差！！3、初值定理設(shè)函數(shù)f(t)的Z變換為F（z），并且存在，則275、超前定理設(shè)函數(shù)f(t)的Z變換為則：若則：6、復(fù)數(shù)偏移定理設(shè)函數(shù)f(t)的Z變換為F（Z），則5、超前定理設(shè)函數(shù)f(t)的Z變換為則：若則：6、復(fù)數(shù)偏移28長(zhǎng)除法（冪級(jí)數(shù)展開法）部分分式法留數(shù)法（反演積分法）4.4Z反變換Z反變換是:已知Z變換表達(dá)式F(Z)

f(nT)

的逆過程.長(zhǎng)除法（冪級(jí)數(shù)展開法）4.4Z反變換Z反變換是:29要點(diǎn)：將F（Z）用長(zhǎng)除法變化為降冪排列的展開形式。

4.4.1長(zhǎng)除法（冪級(jí)數(shù)法）Z反變換為:也即：要點(diǎn)：將F（Z）用長(zhǎng)除法變化為降冪排列的展開形式。4.4.30例8—8

求的Z反變換解：例8—8求的Z反變換解：31Z變換和差分方程ppt課件32步驟：①先將變換式寫成，展開成部分分式，

③查Z變換表②兩端乘以Z4.4.2部分分式法（因式分解法，查表法）步驟：①先將變換式寫成，展開成部分分式，③33例8—9

求的Z反變換解：①②③例8—9求的Z反變換解：①②③34函數(shù)F(z)zn-1在極點(diǎn)Zi處的留數(shù)曲線C可以是包含F(xiàn)(z)zn-1全部極點(diǎn)的任意封閉曲線若Zi為一重極點(diǎn):若Zi為q重極點(diǎn):3.留數(shù)法（反演積分法）函數(shù)F(z)zn-1在極點(diǎn)Zi處的留數(shù)曲線C可以是包含F(xiàn)(z35例8—10

求的Z反變換解：有兩個(gè)一重極點(diǎn)例8—10求的Z反變換解：有兩個(gè)一重極點(diǎn)36例8—11

求的Z反變換解：有一個(gè)兩重極點(diǎn)例8—11求的Z反變換解：有一個(gè)兩重極點(diǎn)37用Z變換解二階差分方程用Z變換解二階差分方程38用Z變換法求解下列二階差分方程：對(duì)上式兩邊取Z變換，得代入初始條件，得查表，得用Z變換法求解下列二階差分方程：對(duì)上式兩邊取Z變換，得39用Z變換法求解下列二階差分方程：根據(jù)Z變換的定義有：￡［u(n)］=1對(duì)上述差分方程進(jìn)行Z變換，代入初始條件，得：（Z2-3Z+2)C(z)=1查表無法獲得上面兩個(gè)分式對(duì)應(yīng)的值，但是因?yàn)椋河肸變換法求解下列二階差分方程：根據(jù)Z變換的定義有：￡40根據(jù)Z變換的性質(zhì)有：￡［c(n+1)］=Zc(z)-zc(0),C(n+1)=￡-1［zC(z)］-￡-1［zC(0)］在現(xiàn)在的情況下:c(0)=0,于是有：c(n+1)=最后得：根據(jù)Z變換的性質(zhì)有：最后得：41

在連