陜西省漢中市第二中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

陜西省漢中市第二中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.拋物線y2=4x上有兩點(diǎn)A，B到焦點(diǎn)的距離之和為7，則A，B到y(tǒng)軸的距離之和為（）A．8 B．7 C．6 D．5參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出A、B到y(tǒng)軸的距離之和．【解答】解：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程x=﹣1設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7∴x1+x2=5，∴A、B到y(tǒng)軸的距離之和為5，故選：D．2.已知函數(shù)，若，則a的值是（

）A． B． C． D．參考答案：C3.將直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，可以是（）A、B、C、D、參考答案：D4.已知命題，，則

（

）A.

B.C.

D.參考答案：D5.已知實(shí)數(shù)x、y可以在，的條件下隨機(jī)取數(shù)，那么取出的數(shù)對(duì)滿(mǎn)足的概率是、

（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A6.表示的圖形是（

）A.一條射線 B.一條直線 C.一條線段 D.圓參考答案：A【分析】在極坐標(biāo)系中，極角為定值，且過(guò)極點(diǎn)的圖形為直線，注意到，故為射線．【詳解】表示過(guò)極點(diǎn)的直線，因，故其表示的圖形是一條射線（如圖）故選A．【點(diǎn)睛】一般地，表示過(guò)極點(diǎn)的直線，表示圓心為極點(diǎn)半徑為的圓．7.以下三個(gè)命題：①分別在兩個(gè)平面內(nèi)的直線一定是異面直線；②過(guò)平面的一條斜線有且只有一個(gè)平面與垂直；③垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行．其中真命題的個(gè)數(shù)是A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B8.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是()A．y2＝－8x

B．y2＝8x

C．y2＝－4x

D．y2＝4x參考答案：B9.下列定積分計(jì)算正確的有（1）

（2）（3）

（4）A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)參考答案：B10.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：①對(duì)于任意的，都有＝；②對(duì)于任意的，且，都有；③函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．則下列結(jié)論正確的是．A． B．C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在圓x2+y2﹣2x﹣6y=0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E（0，1）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為．參考答案：10【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心M的坐標(biāo)和半徑，最長(zhǎng)的弦即圓的直徑，故AC的長(zhǎng)為2，最短的弦BD和ME垂直，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，由弦長(zhǎng)公式求出BD的值，再由ABCD的面積為求出結(jié)果．【解答】解：圓x2+y2﹣2x﹣6y=0即（x﹣1）2+（y﹣3）2=10表示以M（1，3）為圓心，以為半徑的圓．由圓的弦的性質(zhì)可得，最長(zhǎng)的弦即圓的直徑，AC的長(zhǎng)為2．∵點(diǎn)E（0，1），∴ME==．弦長(zhǎng)BD最短時(shí)，弦BD和ME垂直，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，此時(shí)，BD=2=2=2．故四邊形ABCD的面積為=10，故答案為10．12.在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布．若在(0，1)內(nèi)取值的概率為0.4，則在(0，2)內(nèi)取值的概率為

．參考答案：0.8略13.若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其表面積等于

參考答案：略14.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的i值等于 參考答案：4略15.甲、乙兩人獨(dú)立的解決一個(gè)問(wèn)題，甲能解決這個(gè)問(wèn)題的概率為0.6，乙能解決這個(gè)問(wèn)題的概率為0.7，那么甲乙兩人中至少有一人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是

.參考答案：0.8816.小明每天起床后要做如下事情：洗漱5分鐘，收拾床褥4分鐘，聽(tīng)廣播15分鐘，吃早飯8分鐘.要完成這些事情，小明要花費(fèi)的最少時(shí)間為

．參考答案：17由題意可知，在完成洗漱、收拾床褥、吃飯的同時(shí)聽(tīng)廣播，故小明花費(fèi)最少時(shí)間為分鐘，故答案為17分鐘.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（參數(shù)），圓的參數(shù)方程為（參數(shù)），則圓的圓心坐標(biāo)為

，圓心到直線的距離為

參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=（1）若a=1，求f（x）的最小值；（2）若f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）a=1時(shí)，分別探討y=2x﹣1（x＜1）與y=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）（x≥1）的單調(diào)性與最值，即可求得f（x）的最小值；（2）分①g（x）=2x﹣a在x＜1時(shí)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，②函數(shù)g（x）=2x﹣a與x軸無(wú)交點(diǎn)，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)兩類(lèi)討論，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）a=1時(shí)，f（x）=，當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在（﹣∞，1）上為增函數(shù)，函數(shù)值f（x）∈（﹣1，1）；當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，]為減函數(shù)，在[，+∞）為增函數(shù)，當(dāng)x=時(shí)，f（x）取得最小值為﹣1；故a=1，f（x）的最小值﹣1，（2）①若函數(shù)g（x）=2x﹣a在x＜1時(shí)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則a＞0，并且當(dāng)x=1時(shí)，g（1）=2﹣a＞0，即0＜a＜2，函數(shù)h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以2a≥1且a＜1?≤a＜1；②若函數(shù)g（x）=2x﹣a與x軸無(wú)交點(diǎn)，則函數(shù)h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）=2x﹣a與x軸無(wú)交點(diǎn)，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）在x≥1時(shí)與x軸無(wú)交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)h（1）=2﹣a≥0時(shí)，a≥2，h（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，x=a和x=2a，由于a≥2，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均滿(mǎn)足x≥1，綜上所述，a的取值范圍為：≤a＜1和a≥2．19.設(shè)直線相交于點(diǎn)A、B，

（1）求弦AB的垂直平分線方程；

（2）求弦AB的長(zhǎng)。參考答案：解：（1）圓方程可整理為：，圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑r=2，

易知弦AB的垂直平分線過(guò)圓心，且與直線AB垂直，

而

所以，由點(diǎn)斜式方程可得：

整理得：…6分

（2）圓心（1，0）到直線

故…12分20.如圖，在三棱柱中，側(cè)面，已知（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）試在棱（不包含端點(diǎn)上確定一點(diǎn)的位置,使得；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,若，求二面角的平面角的正切值.參考答案：證（Ⅰ）因?yàn)閭?cè)面，故在中，

由余弦定理有

故有

而

且平面

（Ⅱ）由從而

且故不妨設(shè)

，則，則又

則在中有

從而（舍去）故為的中點(diǎn)時(shí)，法二：以為原點(diǎn)為軸，設(shè)，則

由得

即

化簡(jiǎn)整理得

或當(dāng)時(shí)與重合不滿(mǎn)足題意當(dāng)時(shí)為的中點(diǎn)故為的中點(diǎn)使（Ⅲ）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)連則，連則，連則連則，且為矩形，又

故為所求二面角的平面角在中，法二：由已知，所以二面角的平面角的大小為向量與的夾角因?yàn)?/p>

故略21.（本題滿(mǎn)分12分）某地區(qū)甲校高二年級(jí)有1100人，乙校高二年級(jí)有900人，為了統(tǒng)計(jì)兩個(gè)學(xué)校高二年級(jí)在學(xué)業(yè)水平考試中的數(shù)學(xué)學(xué)科成績(jī)，采用分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，如下表：（已知本次測(cè)試合格線是50分，兩校合格率均為100%）分組頻數(shù)10253530甲校高二年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)：

分組頻數(shù)1530255乙校高二年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)：

（1）計(jì)算的值，并分別估計(jì)以上兩所學(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分（精確到1分）.（2）若數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀.根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差異”.

甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計(jì)

0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：參考答案：（1）依題意甲校應(yīng)抽取110人，乙校應(yīng)抽取90人

…4分

甲校的平均分約為75，乙校的平均分約為71

……8分

（2）

甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀402060非優(yōu)秀7070140總計(jì)11090200，又因?yàn)椤?1分故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差異”…12分22.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求B；（2）若，求c及△ABC的面積S．參考答案：（1）（2）【分析】（1）方法一：利用正弦定理將邊化角，利用三角