河北省廊坊市三河埝頭中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

河北省廊坊市三河埝頭中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列關(guān)于g（x）敘述正確的是（）A．g（x）的最小正周期為2π B．g（x）在內(nèi)單調(diào)遞增C．g（x）的圖象關(guān)于對稱 D．g（x）的圖象關(guān)于對稱參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】將函數(shù)f（x）化簡后，由條件根據(jù)誘導(dǎo)公式、y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，g（x）的圖象，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可得結(jié)論．【解答】解：函數(shù)．化簡可得：f（x）=sin2x﹣sinxcosx=cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x+）圖象向左平移個單位，可得：﹣sin（2x++）=sin（2x+）=g（x）最小正周期T=，∴A不對．由≤2x+，可得：，g（x）在內(nèi)單調(diào)遞增，∴B不對．由2x+=，可得x=，（k∈Z），當(dāng)k=0時(shí)，可得g（x）的圖象的對稱軸為，∴C對．由2x+=kπ，可得x=﹣，對稱中心的橫坐標(biāo)為（，0），∴D不對．故選C．【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，y=Asin（ωx+?）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為A.3

B.2020

C.3030

D.1010參考答案：C3.已知a，b∈R，且ex+1≥ax+b對x∈R恒成立，則ab的最大值是（）A．e3 B．e3 C．e3 D．e3參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【分析】分a＜0、a=0、a＞0三種情況討論，而a＜0、a=0兩種情況容易驗(yàn)證是否恒成立，在當(dāng)a＞0時(shí)，構(gòu)造函數(shù)f（x）=aex+1﹣a2x來研究不等式ex+1≥ax+b恒成立的問題，求導(dǎo)易得．【解答】解：若a＜0，由于一次函數(shù)y=ax+b單調(diào)遞減，不能滿足且ex+1≥ax+b對x∈R恒成立，則a≥0．若a=0，則ab=0．若a＞0，由ex+1≥ax+b得b≤ex+1﹣ax，則ab≤aex+1﹣a2x．設(shè)函數(shù)f（x）=aex+1﹣a2x，∴f′（x）=aex+1﹣a2=a（ex+1﹣a），令f′（x）=0得ex+1﹣a=0，解得x=lna﹣1，∵x＜lna﹣1時(shí)，x+1＜lna，則ex+1＜a，則ex+1﹣a＜0，∴f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）遞減；同理，x＞lna﹣1時(shí)，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）遞增；∴當(dāng)x=lna﹣1時(shí)，函數(shù)取最小值，f（x）的最小值為f（lna﹣1）=2a2﹣a2lna．設(shè)g（a）=2a2﹣a2lna（a＞0），g′（a）=a（3﹣2lna）（a＞0），由g′（a）=0得a=，不難得到時(shí)，g′（a）＞0；時(shí)，g′（a）＜0；∴函數(shù)g（a）先增后減，∴g（a）的最大值為，即ab的最大值是，此時(shí)．故選：A．4.若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx－2在x＝1處有極值，則ab的最大值是A．2

B．3

C．6

D．9參考答案：D5.在等差數(shù)列中，已知，則=（

）A．10

B．18

C．20

D．28參考答案：C6.，則（

）A． B． C． D．參考答案：C7.設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)，，滿足，則的取值范圍是（

）．

A． B． C． D．參考答案：D解：函數(shù)的圖象，如圖，

不妨設(shè)，則，關(guān)于直線對稱，故，

且滿足；

則的取值范圍是：，

即．

故選．8.已知數(shù)列中，且（其中表示實(shí)數(shù)的整數(shù)部分），則的值為(

)A.2

B.3

C.4

D.5

參考答案：C略9.將一張邊長為6cm的紙片按如圖1所示的陰影部分截去四個全等的等腰三角形，將剩余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐（底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心）模型，如圖2放置，若正四棱錐的正視圖是正三角形（如圖3），則正四棱錐的體積是（）A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3參考答案：A【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】根據(jù)圖形正四棱錐的正視圖是正三角形，正視圖的底面邊長為a，高為a，正四棱錐的斜高為a，運(yùn)用圖1得出；×6=，a=2，計(jì)算計(jì)算出a，代入公式即可．【解答】解：∵正四棱錐的正視圖是正三角形，正視圖的底面邊長為a，高為a，∴正四棱錐的斜高為a，∵圖1得出：∵將一張邊長為6cm的紙片按如圖1所示的陰影部分截去四個全等的等腰三角形∴×6=，a=2，∴正四棱錐的體積是a2×a=，故選：A【點(diǎn)評】本題綜合考查了空間幾何體的性質(zhì)，展開圖與立體圖的結(jié)合，需要很好的空間思維能力，屬于中檔題．10.在實(shí)數(shù)集中定義一種運(yùn)算“”，對任意，為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：（1）對任意，；（2）對任意，.則函數(shù)的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若實(shí)數(shù)滿足不等式組，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是_______________.參考答案：2略12.對函數(shù)，若存在區(qū)間M=[a,b]使得=M，則稱為“穩(wěn)定函數(shù)”，給出下列函數(shù)①=x2;

②

③其中為“穩(wěn)定函數(shù)”的序號為

參考答案：①②13.已知三棱錐A-SBC的體積為，各頂點(diǎn)均在以SC為直徑球面上，，則這個球的表面積為_____________。參考答案：16π【分析】由，所以為直角三角形，設(shè)三棱錐的高為，解得，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，得出,再在在直角中，利用勾股定理，求得球的半徑，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)球的直徑是該球面上的兩點(diǎn)，如圖所示，因?yàn)?，所以為直角三角形，設(shè)三棱錐的高為，則，解得，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，所以,在直角中，,即球的半徑為，所以球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了球內(nèi)接三棱錐的組合體的應(yīng)用，其中解答中熟練球的截面的性質(zhì)，求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.若奇函數(shù)的定義域?yàn)?，其部分圖像如圖所示，則不等式的解集是

．參考答案：15.若三角形三邊長都是整數(shù)且至少有一個內(nèi)角為，則稱該三角形為“完美三角形”．有關(guān)“完美三角形”有以下命題：（1）存在直角三角形是“完美三角形”（2）不存在面積是整數(shù)的“完美三角形”（3）周長為12的“完美三角形”中面積最大為；（4）若兩個“完美三角形”有兩邊對應(yīng)相等，且它們面積相等，則這兩個“完美三角形”全等．以上真命題有______．（寫出所有真命題的序號）．參考答案：（3）（4）．

（3）設(shè)，則，可得，

化為，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，

可得周長為12的“完美三角”中面積最大為，是真命題；

（4）設(shè)，①若夾角的兩條邊分別相等，滿足條件，則此兩個三角形全等；

②若夾角其中一條邊相等，由于面積相等，夾角另一條邊必然相等，可得：此兩個三角形全等．因此是真命題．以上真命題有（3）（4）．

故答案為：（3）（4）．考點(diǎn)：命題真假判斷，合情推理【名師點(diǎn)睛】本題考查了解三角形、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)、新定義、簡易邏輯的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．16.若拋物線C：x=2py2（p＞0）過點(diǎn)（2，5），則準(zhǔn)線的方程為．參考答案：x=﹣【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】利用拋物線經(jīng)過的點(diǎn)，求出P，然后求解拋物線準(zhǔn)線方程．【解答】解：拋物線C：x=2py2（p＞0）過點(diǎn)（2，5），可得2=2p×25，可得p=，拋物線方程為：y2=x，它的準(zhǔn)線方程為：x=﹣．故答案為：x=﹣．17.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為k的直線與該拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），若，則k=

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB=5，AC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，，EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△的位置.（I）證明：D′H⊥平面ABCD；（II）求二面角B－D′A－C的正弦值.

參考答案：（I）由已知得AC⊥BD，AD=CD，又由AE=CF得，故AC∥EF.因此EF⊥HD，從而EF⊥D′H.由AB=5，AC=6得DO=BO==4.由EF∥AC得.所以O(shè)H=1，D′H=DH=3.于是D′H2+OH2=32+12=10=D′O2，故D′H⊥OH.又D′H⊥EF，而OH∩EF=H，所以D′H⊥平面ABCD.（II）如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz.則H(0,0,0)，A(-3,-1,0)，B(0,-5,0)，C(3,-1,0)，D′(0,0,3)，=(3,-4,0)，=(6,0,0)，=(3,1,3).設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面ABD′的法向量，則

即所以可以取m=(4,3,-5).設(shè)n=(x2,y2,z2)是平面ACD′的法向量，則

即所以可以取n=(0,-3,1).于是，.因此二面角B－D′A－C的正弦值是.19.（12分）一個多面體的直觀圖如圖所示（其中分別為的中點(diǎn)）（1）求證：平面（2）求多面體的體積參考答案：解析:由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱，且，，

取的中點(diǎn)，連，由分別為中點(diǎn)可得，平面平面，平面。

取中點(diǎn)，在直三棱柱中，平面平面，面面，面，多面體是以為高，以矩形為底面的棱錐，在中，棱錐的體積。20.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為F1、F2，以，，F(xiàn)2和F1為頂點(diǎn)的梯形的高為，面積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)A、B為橢圓C上的任意兩點(diǎn)，若直線AB與圓相切，求△AOB面積的取值范圍．參考答案：（1）；（2）【分析】（1）由梯形的高求出，由梯形的面積，建立關(guān)于方程，結(jié)合關(guān)系，即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為：，利用直線與圓相切，得到關(guān)系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，得出關(guān)系，由相交弦長公式，求出關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)特征，求出其范圍，再由，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）由題意，得，且，∴，又，解得，．∴橢圓的方程為．（2）如圖，設(shè)，，當(dāng)圓的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為：，切點(diǎn)為，連結(jié)，則．因?yàn)榕c圓相切，所以，所以．聯(lián)立，整理得．所以，．又．①若時(shí)，．因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“”成立．所以即．②當(dāng)時(shí)，，所以．又，所以．當(dāng)圓的切線斜率不存在時(shí)，則的方程為或．此時(shí)，的坐標(biāo)分別為，或，．此時(shí)．綜上，△AOB面積的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓以及直線與橢圓的位置關(guān)系，要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系設(shè)而不求方法解決相交弦問題，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.21.在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出曲線C與直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)Q為曲線C上一動點(diǎn)，求Q點(diǎn)到直線l距離的最小值．參考答案：（1）

………………4分（2）設(shè)，則點(diǎn)：，

……………8分當(dāng)且僅當(dāng)

………10分（另解：設(shè)與橢圓方程聯(lián)立，利用直線與橢圓相切求出，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為兩平行直線間的距離．）22.已知函數(shù)f（x）=﹣x3+ax﹣，g（x）=ex﹣e（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）（I）若曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線與曲線y=g（x）在（0，g（0））處的切線互相垂直，求實(shí)數(shù)a的值．（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=，討論函數(shù)h（x）零點(diǎn)的個數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）分別求出兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得它們在x=0處的導(dǎo)數(shù)值，由導(dǎo)數(shù)值乘積等于﹣1求得a值；（Ⅱ）函數(shù)g（x）=ex﹣e在實(shí)數(shù)集上為單調(diào)增函數(shù)，且僅在x=1處有一個零點(diǎn)，且x＜1時(shí)，g（x）＜0，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)a≤0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)f（x）在x≤0時(shí)必有一個零點(diǎn)，此時(shí)y=h（x）有兩個零點(diǎn)；然后分類討論判斷當(dāng)a＞0時(shí)f（x）的極值點(diǎn)的情況得答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=﹣3x2+a，g′（x）=ex，則f′（0）=a，g′（0）=1，則a=﹣1；（Ⅱ）函數(shù)g（x）=ex﹣e在實(shí)數(shù)集上為單調(diào)增函數(shù)，且僅在x=1處有一個零點(diǎn)，且x＜1時(shí)，g（x）＜0，又f′（x）=﹣3x2+a，①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞減，且過點(diǎn)（0，﹣），f（﹣1）=，即f（x）在x≤0時(shí)必有一個零點(diǎn)，此時(shí)y=h（x）有兩個零點(diǎn)；②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得兩根，，則是函數(shù)f（x）的一個極小值點(diǎn)，是f（x）的一個極大值點(diǎn)．而f（﹣）=﹣，現(xiàn)在討論極大值