十四講數(shù)列綜合問題

第十四講數(shù)列綜合問題一、引言：

數(shù)列綜合問題包括數(shù)列章內(nèi)知識(shí)的綜合、數(shù)列與其他知識(shí)的綜合兩部分．?dāng)?shù)列章內(nèi)知識(shí)的綜合主要涉及一般數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列綜合問題；數(shù)列與其他知識(shí)的綜合主要指數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識(shí)的交匯問題．考試大綱對(duì)這一部分的考試要求是，能運(yùn)用數(shù)列、等差數(shù)列和等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)求解數(shù)列章內(nèi)知識(shí)的綜合問題，能綜合運(yùn)用數(shù)列、函數(shù)、方程和不等式的知識(shí)靈活地解決數(shù)列與其他章節(jié)知識(shí)的交匯問題．

數(shù)列綜合問題，歷來是高考的重點(diǎn)，兩類數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式的交匯問題歷來是高考的熱點(diǎn)，并且選擇題、填空題、解答題三種題型都有可能涉及．這類試題一般較為靈活，尤其是解答題，常常承擔(dān)把關(guān)的任務(wù)，因此往往具有一定的難度．二、典型問題選講例1（2006北京）設(shè)則

等于（）．（A） （B）（C） （D）分析1：要求，關(guān)鍵是確定項(xiàng)數(shù)，這可以通過分析指數(shù)而得到．解法一：易知，指數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列．設(shè)是這個(gè)指數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列中的第項(xiàng)，則，故．于是是首項(xiàng)為2，公比為8的等比數(shù)列的前

項(xiàng)和，所以

選

D．．分析2：利用特殊與一般的思想.解法二：令

，

則對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，只有D成立．．

歸納小結(jié)：此題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列等比關(guān)系的判斷以及等比數(shù)列求和．此題求解中容易出錯(cuò)的地方是未注意項(xiàng)數(shù)的判斷，錯(cuò)誤地按照

項(xiàng)求和．解法一是常規(guī)解法,求解的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確的判斷這個(gè)和式的項(xiàng)數(shù),只要項(xiàng)數(shù)確定了,便可以按照等比數(shù)列的求和公式來求

．相比之下，解法二顯得明快簡(jiǎn)捷，充分體現(xiàn)了特殊與一般思想的價(jià)值．例2（2008四川）已知等比數(shù)列中

，則其前3項(xiàng)的和

的取值范圍是（）．A． B．C． D．解：設(shè)公比為

，因?yàn)?/p>

,

則

故由于，因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)

且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；或當(dāng)

時(shí)，

，當(dāng)且僅當(dāng)

，即

時(shí)取等號(hào)．所以

或

．選D．

歸納小結(jié)：此題考查了等比數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)的表示法以及平均值不等式的應(yīng)用．求解時(shí)往往因?yàn)椴荒芮‘?dāng)?shù)乇硎镜缺葦?shù)列前3項(xiàng)，導(dǎo)致運(yùn)算繁瑣而出錯(cuò)．此外，利用平均值不等式時(shí)，也常常因?yàn)橹魂P(guān)注

時(shí)的情況而使解答不全面，進(jìn)而得出錯(cuò)誤的選項(xiàng)．事實(shí)上，平均值不等式的應(yīng)用是有條件的：涉及的數(shù)必須都是正數(shù)．因此，在未知

正負(fù)的情況下，取絕對(duì)值后才能使用平均值不等式．例3（2009北京）已知數(shù)列

滿足：則

___________；

=

___________．或

的形式，即可獲得所求結(jié)果．分析：從條件式與所求式的結(jié)構(gòu)特征看，只需將所求式的下標(biāo)配湊成

解：因?yàn)?/p>

，

所以又

，

故

..

歸納小結(jié)：此題是求數(shù)列中指定項(xiàng)的問題．求解時(shí)由于想不到將所求式中

的下標(biāo)改寫成條件式中

的下標(biāo)的形式，因而常常使求解陷入困境.事實(shí)上，當(dāng)欲求的式子的形式與條件中相關(guān)式子的形式完全一致時(shí)，結(jié)果也必然是一致的．這既是對(duì)數(shù)學(xué)形式化的追求，也是特殊與一般思想的反映．例4已知數(shù)列

滿足

，

，則

的通項(xiàng)公式．因此，我們考慮用

表示

，再用

表示

，然后用

表示

，如此繼續(xù)，利用遞推逐次迭代，直到用

表示

，這樣，最終就得到了用

表示

的表達(dá)式了．分析1：本題是遞推數(shù)列問題，原則上可采用逐一代入的辦法，依次求出

直至求出這顯然是繁瑣的.解法一：當(dāng)

時(shí)，

注意到

，故分析2：根據(jù)遞推關(guān)系，利用作商累乘法求．解法二：

故

由已知，得

，

，所以

，

，

，…，相乘得

．注意到

，故

歸納小結(jié)：數(shù)列遞推公式揭示了數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律，反映了數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)之間的內(nèi)在聯(lián)系．在本題的求解中，我們利用遞推關(guān)系，或逐次迭代，或作商累乘，大大減少了運(yùn)算量，為快速解決問題創(chuàng)造了條件，體現(xiàn)了思維的靈活性和深刻性．例5（2007福建）等差數(shù)列

的前項(xiàng)和為（1）求數(shù)列

的通項(xiàng)

與前

項(xiàng)和

；（2）設(shè)

，求證：數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.

分析：對(duì)于（1），欲求數(shù)列

的通項(xiàng)

與前

項(xiàng)和

，只需求出公差

即可．對(duì)于（2），可用反證法．（1）解：由已知得

解得

．

故（2）證明：由（1）得假設(shè)數(shù)列

中存在三項(xiàng)

（

是互不相等的正整數(shù)）成等比數(shù)列，則

，即

展開整理，得

因?yàn)?/p>

，所以

即整理，得

所以

．這與

矛盾．所以數(shù)列

中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列．

歸納小結(jié)：此題主要考查了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式與前

項(xiàng)和公式，考查等比數(shù)列以及等比中項(xiàng)的概念，考查方程思想、運(yùn)算求解能力以及利用反證法進(jìn)行推理論證能力．

反證法是一種間接證明的基本方法，其證明過程包括“反設(shè)、歸謬、存真”三個(gè)步驟．一般地，當(dāng)正面推證比較困難時(shí)，利用反證法常能較快奏效．例6（2006湖北）設(shè)數(shù)列

的前

項(xiàng)和為

，點(diǎn)

均在函數(shù)

的圖象上．（1）求數(shù)列

的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)

，是數(shù)列

的前

項(xiàng)和，求使得

對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)．分析：對(duì)于（1），由點(diǎn)

在函數(shù)

的圖象上，可求出

的表達(dá)式，再根據(jù)

與

的關(guān)系即可求出

．對(duì)于（2），欲求滿足條件的最小正整數(shù)

，需求

.為此，應(yīng)首先求出數(shù)列

的通項(xiàng)公式，然后用數(shù)列求和的方法求

，再通過不等式

即可獲得

的值．解：（1）依題意得

即．當(dāng)

時(shí)，當(dāng)

時(shí)，所以（2）由（1）得故

=因此，使得

成立的

必須滿足

，即

,故滿足要求的最小整數(shù)

為10．

歸納小結(jié)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)與前

項(xiàng)和

的關(guān)系、數(shù)列求和技能以及不等關(guān)系的放縮技能，考查邏輯思維能力和運(yùn)算推理能力．已知

求

是數(shù)列的基本問題，“裂項(xiàng)法”是數(shù)列求和的基本技能，應(yīng)當(dāng)熟練掌握．本題求解中容易出錯(cuò)的有三處：一是求

時(shí)，容易漏掉

時(shí)

是否滿足

的檢驗(yàn)．事實(shí)上，只有當(dāng)

時(shí)

也可以用

表達(dá)時(shí)，通項(xiàng)公式才可以統(tǒng)一成

．否則應(yīng)分段表示成

二是不善于（或不會(huì)）將

化成部分分式因而也就不能很好地利用“作差疊加法”求數(shù)列的和，進(jìn)而就無法求出滿足條件的最小正整數(shù)．三是求滿足

即

的最小正整數(shù)時(shí)，容易漏掉“=”而誤得

，進(jìn)而誤得

．事實(shí)上，所求的是：

的最大值小于成立的最小正整數(shù)

.而當(dāng)

時(shí),運(yùn)用有限與無限的思想,易得

,因此

中“=”成立是可能的，

為所求．相應(yīng)地，防誤的有效措施也有三條：一是牢固掌握數(shù)列通項(xiàng)

與前

項(xiàng)和

的關(guān)系式

并特別關(guān)注

時(shí)的檢驗(yàn)；二是掌握形如

的

的分式化成部分分式的方法，進(jìn)而熟練“作差疊加法”求和的技能；三是正確掌握不等關(guān)系的放縮技能，必要時(shí)可運(yùn)用有限與無限的思想．例7（2009全國(guó)Ⅱ）設(shè)數(shù)列

的前項(xiàng)和為，已知（1）設(shè)

，證明數(shù)列

是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列

的通項(xiàng)公式．.分析：對(duì)于（1），注意到

與

有關(guān)，因此求出

是證明數(shù)列

是等比數(shù)列的前提，這可以通過

與

的關(guān)系來解決．對(duì)于（2），同樣注意到

與

的關(guān)系,通過

反求

因此求出

是求解

的關(guān)鍵．（1）證明：由

，及

得由

，

①知當(dāng)

時(shí)，有

②①－②得

，所以

，即．所以

是首項(xiàng)

，公比為２的等比數(shù)列．（2）解：由（1）可得

所以

．又

，故數(shù)列

是首項(xiàng)為

，公差為

的等差數(shù)列．所以

，

歸納小結(jié)：本題著重考查遞推關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列的判定以及利用構(gòu)造法求解數(shù)列通項(xiàng)的問題．第（1）問較為簡(jiǎn)單，只需利用已知條件尋找

與

的關(guān)系即可．這里用到的數(shù)列通項(xiàng)與前

項(xiàng)和的關(guān)系是數(shù)列中的重要關(guān)系，應(yīng)當(dāng)熟練掌握．第（2）問有一定難度,往往因?yàn)榭床怀鍪阶?/p>

的結(jié)構(gòu)特征而無法構(gòu)造與

有關(guān)的新數(shù)列,因而求不出

的結(jié)果.事實(shí)上，這個(gè)遞推式特征鮮明,是已知

,求

的問題，處理的常用方法是將條件式變形,構(gòu)造一個(gè)與

有關(guān)的等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后再求解．一般地，若

，則兩邊除以

，即得一個(gè)公差是

的等差數(shù)列

;若

則兩邊除以

后，兩邊再同減去

,即得一個(gè)公比是

的等比數(shù)列

例8函數(shù)

對(duì)任意

，

都有（1）求

和

的值；

數(shù)列

是等差數(shù)列嗎？請(qǐng)給出證明；（3）設(shè)

是數(shù)列

的前

項(xiàng)和，求滿足不等式

的的值．（2）數(shù)列

滿足

分析：對(duì)于（1）只需適當(dāng)賦值即可．對(duì)于（2），要判斷數(shù)列

是否成等差數(shù)列，首先要求出

，注意

的表達(dá)式的結(jié)構(gòu)以及已知條件，易知可以采用逆序相加法來求．對(duì)于（3），欲求滿足不等式

的的值，當(dāng)然想到先求出前