地震頻譜分解線性反問題的最小二乘解

地震頻譜分解線性反問題的最小二乘解

1基于稀疏約束的線性反問題的譜圖在地震勘探中，譜分解是獲得地震路徑連續(xù)時間頻率分析的最重要技術。該技術可以表示地下巖石和水庫時間的頻率，并且頻率是必要的。因此，光譜是地震路徑時間采樣的結果。在科學研究中，譜分解有很多應用，如以下解釋山谷的解釋。近年來,作為地震頻譜分解方法的約束最小二乘譜分析在應用中被證明是有效的(參見文獻本文在求解地震頻譜分解線性反問題的最小二乘解時考慮了稀疏約束.線性反問題的正向模型被設置為逆DFT系統(tǒng).當求解線性反問題的最小二乘模型使用數(shù)據(jù)空間中的L本文的結構如下:第2節(jié)討論基于反演的DFT建模和稀疏正則化建模的一般問題,同時討論模型和數(shù)據(jù)的約束問題;第3節(jié)提出可分離加權l(xiāng)2及時頻率分析稀疏反演模型2.1般的正則化模型地震頻譜分解是對地震道數(shù)據(jù)的運算和分析.由于每個一維地震道要被轉換成二維時頻面板,因而這種通過非唯一變換擴展原始數(shù)據(jù)維度的過程需要用反演的方法來求解.研究者們也己使用不同的經(jīng)驗標準來定義基于反演的頻譜分析方法.我們將地震道數(shù)據(jù)表示為d(加窗地震數(shù)據(jù)),Fourier逆變換算子表示為F(正向建模算子)和Fourier系數(shù)表示為m(模型參數(shù)向量),則這個問題的數(shù)學公式可以表示成(參見文獻其中算子F是指具有實數(shù)或復數(shù)正弦基函數(shù)的核矩陣(kernelmatrix).矩陣F的列由時域中窗口端點截斷的復數(shù)正弦信號組成,即其中△f表示頻率增量,△t表示時間增量,k為頻率域采樣指數(shù),n為時間采樣指數(shù).數(shù)據(jù)d可以作為復雜地震道的一個截斷,即其中dr是真實地震道的窗口段,di是地震道的Hilbert變換的窗口段.容易看出問題(2.1)的解可以通過求解以下所謂的“正規(guī)化方程”獲得:如果正弦曲線不相關,那么F將是一個正交矩陣,這時問題(2.1)的解可以立即由m=F為了解決這個病態(tài)反演問題,我們通常采用一些正則化技術.常用的Tikhonov正則化方法在有限維情形下要求解下述的最小化問題(參見文獻其中第一項是數(shù)據(jù)擬合,第二項Ω(·)是約束項,稱為穩(wěn)定子(stabilizer),一般由用戶給定,α>0是正則化參數(shù).2.2模型約束和模型約束穩(wěn)定泛函Ω(·)的不同選擇將導致不同的正則化策略.該泛函Ω(·)通常假定一些關于待求參數(shù)或模型的先驗信息.例如,選擇上述問題就是典型的l值得指出的是,問題(2.7)可以寫成可分離的凸優(yōu)化形式,因此可以應用所謂的交替方向乘子方法來求解.然而在求解最小化問題(2.7)之前,建模上我們需要進一步考慮數(shù)據(jù)和模型的約束,以增強計算過程的穩(wěn)定性并獲得待反演問題解的唯一性.這是因為當?shù)卣饠?shù)據(jù)被窗口化時,矩陣F的元素通常是相關的,因而待反演問題是不適定的.2.3算子s數(shù)據(jù)加權算子在建立正則化模型時,我們引入兩個規(guī)范化算子(scaleoperator)S其中abs(·)表示絕對值,diag(·)表示向量的對角線形式.在迭代算法中,算子S數(shù)據(jù)加權算子S其中l(wèi)是窗口長度,n△t是相對于窗口中心的時間,abs(d將上述兩個加權算子分別作用于方程(2.1),則l其中顯然,一旦求得m3求解正則化參數(shù)的一般算法交替方向法是近年來備受關注的一類算子分裂方法(參見文獻其中z∈R其中y∈R利用乘子法,我們得到增廣Lagrange函數(shù)其中λ是Lagrange乘子向量,v>0是預先設定的參數(shù).在這種情形下,可以應用最近發(fā)展起來的以Gauss-Seidel框架更新參數(shù)的方式連續(xù)更新Lagrange乘子其中v>0為懲罰參數(shù).注意到增廣Lagrange函數(shù)是關于兩個原始變量求最小化.為了簡化計算,使用分裂形式,原始問題(3.1)的解可以通過交替方向迭代來解決:只要f可以分裂為f回到我們的地震問題,考慮加權l(xiāng)其中α>0是正則化參數(shù).利用算子分裂的形式,則原問題可以寫成其中相應的增廣Lagrange函數(shù)可以寫成定義由于第二項在原點不可微,所以可應用次微分或光滑逼近法來計算f其中S其中c∈C和(·)針對特殊的l其中S我們給出下面地震頻譜分解的交替方向乘子迭代算法.在步驟(2)中,迭代停止標準是基于y最后,值得指出的是,在求解極小化問題(3.8)時,正則化參數(shù)α的選擇問題:一種方法是將α設置為固定的正值(先驗選擇方式);另一種方式是在每次迭代中改變α的值(后驗選擇方式).這是至關重要的,因為α的取值的不同選取可以控制待求問題解的稀疏性和穩(wěn)定性.本文應用文獻其中α對于閾值算子S4試驗結果4.1全噪聲同相軸的反演算法我們首先生成僅由偶數(shù)和奇數(shù)反射偶極子時間序列組成的分層塊狀阻抗合成模型.時間厚度從0ms到1000ms不等.小波函數(shù)、反射系數(shù)模型和合成數(shù)據(jù)如圖1所示.在圖1(a)中,小波函數(shù)取作Ricker小波:我們采用著名的短時Fourier變換(shorttimeFouriertransform,STFT)、CWT和交替方向乘子算法對圖1(c)中的人工合成偶極子對數(shù)據(jù)進行頻譜分解.在反演計算時,我們?yōu)镾TFT和交替方向乘子算法設置了一個40ms的Hann錐形加窗窗口.圖2顯示了上述三種方法的反演結果.從仿真結果可以看出,STFT算法結果中的偽影模糊了頻域中的反射系數(shù)結構,導致很難精確識別同相軸;CWT受到使用低頻小波的影響,無法識別低頻分量,因此無法量化局部反射波頻譜信息.作為對比,本文開發(fā)的交替方向乘子算法可以顯著提高分辨率,并能夠確定厚層和薄層的頂層與底層偶對同相軸.實際問題中由于觀測數(shù)據(jù)不可避免地會帶有噪聲,因此,我們也考慮了噪聲情形下的地震數(shù)據(jù)的頻譜分解.本文中的帶噪聲數(shù)據(jù)是通過將噪聲水平為0.01和0.1的隨機噪聲分別加到理論數(shù)據(jù)上得到的.這里僅顯示由交替方向乘子算法得到的結果,因為即使對于真實數(shù)據(jù)由STFT算法和CWT算法得到頻譜分解也是低分辨率的.對于噪聲水平分別為0.01和0.1的噪聲數(shù)據(jù)以及本文算法的頻譜分解結果,分別如圖3和4所示.從反演結果可以看出,本文的算法幾乎不受噪聲影響,并且反射系數(shù)頻譜在合成偶極子對數(shù)據(jù)的頂部和底部可以清楚地識別出來.接下來考慮由奇數(shù)反射偶極子構建的分層塊狀阻抗合成模型.時間厚度從0ms到1000ms不等.我們使用相同的小波來生成合成數(shù)據(jù).反射率模型和合成數(shù)據(jù)如圖5所示.同樣地,我們將地震譜分解的STFT、CWT和交替方向乘子算法應用于圖5(b)顯示的人工合成奇偶極子對反射數(shù)據(jù)上.在反演計算時,我們?yōu)镾TFT和交替方向乘子算法設置了一個40ms的Hann錐形加窗窗口.圖6顯示了上述三種方法的反演結果.同合成偶數(shù)對數(shù)據(jù)的反演結果類似,STFT算法結果中的偽影模糊了頻域中的反射系數(shù)結構,導致很難精確識別同相軸;CWT由于受到使用低頻小波的影響,無法識別低頻分量,因此無法量化局部反射波頻譜信息.作為對比,本文提出的交替方向乘子算法可以明顯地提高分辨率,并能夠確定厚層和薄層的頂層與底層偶對同相軸.再次,考慮到實際地震數(shù)據(jù)是受噪聲干擾的,我們將噪聲水平為0.01和0.1的隨機噪聲分別加到理論數(shù)據(jù)上,得到噪聲數(shù)據(jù).這里僅顯示由交替方向乘子算法得到的結果,因為即使對于真實數(shù)據(jù)由STFT算法和CWT算法得到頻譜分解也是低分辨率的.對于噪聲水平分別為0.01和0.1的噪聲數(shù)據(jù)以及本文算法的頻譜分解結果,分別如圖7和8及9所示.從反演結果可以看出,我們的方法幾乎不受噪聲影響,并且反射系數(shù)頻譜在合成數(shù)據(jù)的頂部和底部可以清楚地識別出來.4.2算法在目標層中的應用我們考慮將我們的方法應用于實際地震數(shù)據(jù)的頻譜分解.地震數(shù)據(jù)分為11道,道間距為20m,時間采樣間隔為2ms.該地震數(shù)據(jù)和相應的小波函數(shù)如圖10顯示.我們將地震頻譜分解的STFT、CWT和交替方向乘子算法分別作用于圖10(a)所示的數(shù)據(jù).研究的