基于cpnf法的齒輪非線性傳動周期軌道穩(wěn)定性研究

基于cpnf法的齒輪非線性傳動周期軌道穩(wěn)定性研究

齒輪壓力是一種廣泛使用的壓力傳壓方法之一。齒輪傳動系統(tǒng)的間隙和時變嚙合剛度導(dǎo)致其非線性動力學(xué)特性非常明顯。Kahramn等文中將以單級齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的間隙非線性動力學(xué)模型為研究對象,采用有限差分形式的Jacobi矩陣,解決系統(tǒng)的非光滑Jacobi矩陣解析式難以獲得的問題;通過CPNF法求解系統(tǒng)的周期解并判穩(wěn),研究單級齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨量綱一頻率的分岔特性。1單級齒輪轉(zhuǎn)動非線性動力學(xué)模型單級齒輪轉(zhuǎn)子傳動系統(tǒng)非線性模型如圖1所示。圖中m式中:f(yc用{x式中:f(x2cpnf循環(huán)解決方案和穩(wěn)定CPNF法是基于PNF法和外參數(shù)延續(xù)分岔算法的一種可以同時進行周期運動求解和判斷、參數(shù)分岔的數(shù)值算法。2.1基于連續(xù)追蹤的周期追蹤將式(2)改寫為周期激勵的n+1維狀態(tài)方程:式中:n=2(N+1),f(x(t),t)=f(x(t),t+TT系統(tǒng)的m倍周期(T=mT在n+1維狀態(tài)空間中定義n維poincaré截面:然后在poincaré截面上定義poincaré映射:那么連續(xù)動力系統(tǒng)的周期運動解就等價于求解離散系統(tǒng)不動點的解向量X式(7)的求解可按打靶法思想進行:事先給出X將P(X)在給定的初始點X式中:P(XP將式(9)代入式(8)中,可得:式中:I———n×n的單位矩陣。P(X式中:f微分方程(10)以(X令X給定式(3)的參數(shù),通過式(9)求得周期解并判穩(wěn)后,根據(jù)延續(xù)分岔算法引入分岔參數(shù)Ω,采用延續(xù)追蹤的方式進行周期追蹤。引入外參數(shù)Ω后,方程(7)離散動力系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為式(11)的解曲線問題:設(shè)已求得Ω=ΩP以(X取步長ΔΩ,從初始外參數(shù)Ω2.2系統(tǒng)的jacabi矩陣CPNF法中采用牛頓迭代法計算動力學(xué)狀態(tài)方程的Jacobi矩陣時,要求系統(tǒng)光滑可微。機械傳動系統(tǒng)中的間隙、預(yù)緊約束及干摩擦等會造成系統(tǒng)的非光滑α———機器的誤差精度。2.3循環(huán)解決方案的穩(wěn)定性根據(jù)Floquet理論3點周期同組參數(shù)的驗證單級齒輪轉(zhuǎn)子非線性系統(tǒng)(式(2))中仿真參數(shù)如下:ζ考查量綱一頻率Ω=1.4782時周期運動及其穩(wěn)定性。任取迭代初始點X(0)=(1,0,1,0,1,0),通過PNF法迭代,獲得4個共存周期不動點:P不動點計算過程中同步獲得的周期1(由于篇幅其余周期未列出)在離散狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣P其Flouqet乘子的特征值模向量為:(0.5172+0.6351i0.5172-0.6351i0.0399+0.9992i0.0399-0.9992i-1.2115-0.6503)。Floquet乘子模的最大值｜λ｜在同組參數(shù)下采用4~5階runge-kutta直接數(shù)值積分進行驗證,去除瞬態(tài)響應(yīng)后,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的時間歷程圖和poincaré映射圖如圖3所示。上述驗證結(jié)果充分說明,同組參數(shù)下數(shù)值積分法僅能獲得穩(wěn)定周期8的軌道運動狀態(tài),這與CPNF法分析的結(jié)果相吻合。不穩(wěn)定周期1、周期2與周期4運動只能采用CPNF法獲得。這些不穩(wěn)定的周期軌道為單級齒輪轉(zhuǎn)子傳動系統(tǒng)的混沌控制提供了豐富的目標(biāo)軌道。4系統(tǒng)穩(wěn)定性的分岔令3自由度單級齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的量綱一頻率Ω在1.440~1.540范圍內(nèi)連續(xù)變化,并采用CPNF方法考查其周期穩(wěn)定性隨參數(shù)Ω變化,其分岔失穩(wěn)延續(xù)追蹤結(jié)果如圖4所示。圖4a中,Ω=1.54~1.48范圍內(nèi)以步長ΔΩ=-0.008進行周期1運動的判穩(wěn),在Ω=1.524點｜λ｜通過CPNF法對不同周期的分岔失穩(wěn)情況進行延續(xù)追蹤,其各穩(wěn)定和不穩(wěn)定周期共存的情況匯總?cè)绫?所示?？偨Y(jié)以上,可大致描繪出在量綱一頻率區(qū)間1.5400~1.4570內(nèi)及1.4570以后頻率區(qū)間上系統(tǒng)運動穩(wěn)定性的分岔情況,如圖5a所示(穩(wěn)定運動周期用實線表示,不穩(wěn)定運動周期用虛線表示)。采用runge-kutta數(shù)值積分方法對系統(tǒng)方程(2)在頻率區(qū)間1.540~1.440內(nèi)數(shù)值進行積分驗證,并疊加CPNF法延續(xù)追蹤的不穩(wěn)定周期解獲得其分岔特性圖,如圖5b所示,圖中“·”表示穩(wěn)定映射周期點,“×”表示不穩(wěn)定映射周期點。為了驗證經(jīng)過倍周期分岔后混沌運動的發(fā)生,繪制了Ω=1.440時的系統(tǒng)poincaré映射圖,如圖6所示。5穩(wěn)定性檢驗結(jié)果(1)文中改用有限差分法近似代替了非光滑3自由度單級齒輪傳動系統(tǒng)的Jacobi矩陣,使光滑系統(tǒng)的CPNF法適用于文中的非光滑齒輪系統(tǒng)的周期軌道的求解和判穩(wěn)及延續(xù)追蹤分岔現(xiàn)象,改進的CPNF方法對算例的計算結(jié)果和數(shù)值仿真結(jié)果比較證明了該方法的有效性。(2)3自由度單級齒輪轉(zhuǎn)子非線性傳動系統(tǒng)在特定參數(shù)組合下,存在多個穩(wěn)定周期解和不穩(wěn)定周期解共存的現(xiàn)象。不穩(wěn)定周期解的存在豐富了系統(tǒng)控制