水文頻率分析中最大熵法的數(shù)學(xué)特性

水文頻率分析中最大熵法的數(shù)學(xué)特性

singhvp。1概率密度函數(shù)Shannon定義的信息熵為:式中:H(x)為熵;x為隨機(jī)變量;f(x)為概率密度函數(shù);R為積分區(qū)間。JaynesET對于概率密度函數(shù)f(x)代入式(1)分解有:式中:G現(xiàn)用Lagrange乘子法求解。引入Lagrange不定乘子λ令L對f(x)的變分為零，即:最大熵分布概率密度函數(shù)的解析式:將式(6)代入式(2)得:由式(7)得:式中:g(λ比較最大熵分布與概率密度函數(shù)，可建立Lagrange乘子與概率密度函數(shù)參數(shù)之間的關(guān)系。還必須建立概率密度函數(shù)參數(shù)與約束條件之間的關(guān)系。將式(7)對λ再將式(8)對λ式中:q式(12)共有N個(gè)關(guān)系式，可聯(lián)立求解λ若G式中:Var[式中:z式(15)共有N個(gè)關(guān)系式。當(dāng)r≤N時(shí)，則在式(15)中選擇r個(gè)關(guān)系式，聯(lián)同式(12)的N個(gè)關(guān)系式求解r+N個(gè)未知數(shù)。當(dāng)r>N時(shí)，此種情況很少，還需導(dǎo)出另一補(bǔ)充關(guān)系式。將式(7)對λ式中:Cov[式中:u在式(18)中選擇r-N個(gè)關(guān)系式，與式(12)、(15)的2N個(gè)關(guān)系式一起，聯(lián)立求解r+N個(gè)未知數(shù)。從上述推導(dǎo)過程可以看出，通過Lagrange乘子分別構(gòu)建了與參數(shù)和約束條件之間的關(guān)系，消去Lagrange乘子后，建立了參數(shù)與統(tǒng)計(jì)特征之間的關(guān)系。需要注意的是，最大熵法不適用所有的概率密度函數(shù)，但是對常用的水文頻率分布均適用。2傳統(tǒng)矩類矩在最大熵法的推導(dǎo)中，重要結(jié)果為式(12)、(15)、(18)，實(shí)質(zhì)上歸結(jié)為建立了在信息熵約束條件下概率密度函數(shù)參數(shù)與統(tǒng)計(jì)特征的關(guān)系，這種關(guān)系是概率密度函數(shù)自身性質(zhì)決定的，與在信息熵約束條件下直接用概率統(tǒng)計(jì)方法建立的關(guān)系是等價(jià)的。根據(jù)式(1)的性質(zhì)，概率密度函數(shù)f(x)取對數(shù)后，使G梅林變換定義為:式中:Φ式(19)中當(dāng)s=n+1時(shí)，可以得出傳統(tǒng)矩(第一類矩)為:式中:n為自然數(shù);m根據(jù)梅林變換的性質(zhì)可得對數(shù)矩(第二類矩)為式中:可導(dǎo)出對數(shù)累積量，有:式中:k珓應(yīng)用梅林變換推導(dǎo)概率密度函數(shù)參數(shù)估計(jì)最大熵法的步驟如下:(1)由已知的概率密度函數(shù)分布，根據(jù)最大信息熵原理反求約束條件，即式(3);(2)確定概率密度函數(shù)分布參數(shù)的個(gè)數(shù)，依照參數(shù)個(gè)數(shù)選擇參數(shù)估計(jì)統(tǒng)計(jì)特征方程式，保證統(tǒng)計(jì)特征方程式個(gè)數(shù)與參數(shù)個(gè)數(shù)相等，取舍規(guī)則:首先選擇信息熵約束條件下的均值特征方程式，即式(12)，均值特征方程式不夠參數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)再選擇方差特征方程式，即式(15)，再不夠時(shí)還需要選擇協(xié)方差特征方程式，即式(18);(3)分析判斷其約束條件的邊界是否符合梅林變換的要求，對不符合的，做數(shù)學(xué)處理達(dá)到要求;(4)用梅林變換推導(dǎo)已選取的統(tǒng)計(jì)特征方程式，建立參數(shù)與統(tǒng)計(jì)特征的關(guān)系，組成參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)特征方程組，即最大熵法。3．p-型分布的12為了實(shí)證用梅林變換推導(dǎo)最大熵法的有效性和合理性，本文選取了5大類13種水文頻率分布線型下面以表1中所列的P-Ⅲ型分布參數(shù)估計(jì)最大熵法推導(dǎo)為例說明。第一步:將P-Ⅲ型分布代入式(1)，有:得約束條件為:第二步:P-Ⅲ型分布有3個(gè)參數(shù)，分別為a、b、c，按照規(guī)則分別選取約束條件的均值特征方程式E[x-c]、E[ln(x-c)]和補(bǔ)充關(guān)系式中的方差特征方程式Var[x-c]等3個(gè)方程式。第三步:式(26)、(27)可以看出，邊界條件不符合式(19)的要求，做變換，令第四步:將f(y)代入式(19)，用梅林變換推導(dǎo)得:式(32)中s分別取2、3，推導(dǎo)有:將式(32)代入式(21)，取n=1，有:結(jié)果表明，基于梅林變換的最大熵法推導(dǎo)既簡單又易懂。4建立與參數(shù)和約束關(guān)系(1)最大熵法是以最大信息熵原理為基礎(chǔ)，在已知概率密度函數(shù)前提下，反求約束條件，通過Lagrange乘子分別構(gòu)建與參數(shù)和約束條件之間的關(guān)系，消去Lagrange乘子后，建立參數(shù)與統(tǒng)計(jì)特征之間的關(guān)系。(2)梅林變換可以作為推導(dǎo)最大熵法的一種新方法，闡述了推導(dǎo)步