對(duì)偶函數(shù)關(guān)于ck乘子一階偏導(dǎo)數(shù)確定乘子尋優(yōu)方向的研究

對(duì)偶函數(shù)關(guān)于ck乘子一階偏導(dǎo)數(shù)確定乘子尋優(yōu)方向的研究

1結(jié)構(gòu)優(yōu)化的理性準(zhǔn)則法在優(yōu)化多段結(jié)構(gòu)時(shí)，有許多潛在的限制，我們無法提前知道它們的兼容性。采用牛頓法迭代求解KKT乘子的對(duì)偶規(guī)劃法,其計(jì)算效率較高,但需事先確定具有相容性的起作用約束的范圍對(duì)于各設(shè)計(jì)變量的迭代求解,結(jié)構(gòu)優(yōu)化的理性準(zhǔn)則法是根據(jù)不等式約束優(yōu)化問題的KKT條件構(gòu)造其迭代求解式本文針對(duì)桁架結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化的特性,依據(jù)原約束優(yōu)化問題的KKT條件及其對(duì)偶函數(shù)的極值必要條件,討論各桿橫截面積和KKT乘子的優(yōu)化迭代求解及其步長因子的自動(dòng)確定問題;最后本文用2種不同約束條件的10桿桁架結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化算例驗(yàn)證了本方法的可行性與優(yōu)化效率。2在最優(yōu)條件下構(gòu)造lagrange函數(shù)以各桿橫截面積為設(shè)計(jì)變量的桁架結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型可表示為式中:A=[A對(duì)于式(1)的桁架結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化問題,可將其廣義Lagrange函數(shù)表示為式中:λ式(1)桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的KKT條件為在最優(yōu)點(diǎn)A式中λ式(1)的不等式約束優(yōu)化問題的對(duì)偶規(guī)劃問題可表示為式(5)中對(duì)偶目標(biāo)函數(shù)φ(λ)的極值必要條件為依據(jù)式(4)和式(6)可知:在最優(yōu)點(diǎn)A3乘子迭代的最優(yōu)步長因子法依據(jù)非線性優(yōu)化理論式中:ζ為乘子迭代的步長因子;d依據(jù)最優(yōu)點(diǎn)處有效約束的松弛變量應(yīng)為零,由式(6)等號(hào)左端的第二項(xiàng)可確定乘子的尋優(yōu)方向?yàn)閷⑹?7)代入式(6),并利用文獻(xiàn)[8]中設(shè)計(jì)變量關(guān)于乘子的一階偏導(dǎo)數(shù),可得乘子迭代的最優(yōu)步長因子為式中:G同時(shí),應(yīng)將式(9)中對(duì)應(yīng)乘子為零的項(xiàng)做置零處理。4各變量迭代的自動(dòng)步長因子法依據(jù)非線性優(yōu)化理論式中:α為設(shè)計(jì)變量迭代的步長因子;d當(dāng)載荷不隨設(shè)計(jì)變量變化而改變時(shí),可將式(3)的第2式改寫為式中:K式中:E若各桿的橫截面積均以等比例ξ變化,即A依據(jù)式(14)的規(guī)律,在式(12)的等號(hào)兩端同時(shí)乘以A若式(15)中開方號(hào)內(nèi)的項(xiàng)為負(fù)值,則式(12)等號(hào)左端大于零,即對(duì)應(yīng)式(3)的第3分式,說明相應(yīng)的桿橫截面積A對(duì)式(2)的廣義Lagrange函數(shù)關(guān)于設(shè)計(jì)變量迭代的步長因子求導(dǎo),并利用式(11)可得對(duì)式(17)中的各向量通過其模進(jìn)行單位化,以自動(dòng)確定設(shè)計(jì)變量迭代的步長因子,則有其中應(yīng)將式(18)中對(duì)應(yīng)的已達(dá)設(shè)計(jì)變量上界與下界的項(xiàng)做置零處理。5計(jì)算圖1為10桿桁架結(jié)構(gòu),節(jié)點(diǎn)5和6處于完全固定狀態(tài)。水平桿和垂直桿的長度均為9.144m,彈性模量E5.1節(jié)點(diǎn)尺寸優(yōu)化本例設(shè)許用節(jié)點(diǎn)位移[u圖2(a)為與起作用約束相關(guān)的乘子隨迭代次數(shù)變化的情況。在前185次迭代中,節(jié)點(diǎn)2的y方向位移約束起作用,此時(shí)相應(yīng)乘子大于零;之后,節(jié)點(diǎn)2的y方向位移約束不起作用,此時(shí)相應(yīng)乘子為零。在前17次迭代中,桿(5)的內(nèi)應(yīng)力約束還未起作用,此時(shí)相應(yīng)乘子為零;之后,桿(5)的內(nèi)應(yīng)力約束開始起作用,此時(shí)相應(yīng)乘子大于零。節(jié)點(diǎn)1的y方向位移約束一直起作用,相應(yīng)乘子始終大于零。圖2(b)為乘子迭代的步長因子隨迭代次數(shù)的變化情況。與圖2(a)對(duì)比可知,當(dāng)起作用的節(jié)點(diǎn)2沿y方向位移約束自動(dòng)切換為不起作用的約束時(shí),該步長因子會(huì)出現(xiàn)較大的脈動(dòng)峰值。圖2(c)為重量目標(biāo)函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化情況。由此可見:重量先從較大值直降至較小值,再迅速上升至較穩(wěn)定的水平;之后,重量目標(biāo)函數(shù)略有波動(dòng)至所有約束條件均能得到滿足,最終平穩(wěn)達(dá)到收斂條件。圖2(d)為桿橫截面積迭代的步長因子隨迭代次數(shù)的變化情況。由該圖可知,該步長因子在0和1之間不斷波動(dòng),不會(huì)隨迭代次數(shù)的增加而趨向穩(wěn)定值,直至優(yōu)化迭代收斂。該例的尺寸優(yōu)化結(jié)果列于表1和表2中。其中:節(jié)點(diǎn)1沿y方向的位移(u文獻(xiàn)[2]采用序列二次規(guī)劃法的最優(yōu)結(jié)構(gòu)重量經(jīng)單位換算后為2295.561kg,且需事先確定起作用約束的范圍,經(jīng)過237次優(yōu)化迭代,所用機(jī)時(shí)為4.34s。本算例結(jié)構(gòu)優(yōu)化三部法的最優(yōu)結(jié)構(gòu)重量為2295.566kg,與文獻(xiàn)[2]的優(yōu)化結(jié)果相比略重0.005kg,需238次優(yōu)化迭代,與文獻(xiàn)[2]的優(yōu)化迭代次數(shù)相比僅多1次,但無需事先確定起作用約束的范圍,不需一維搜索,所用機(jī)時(shí)僅為0.219s。5.2迭代相關(guān)算法中步長因子變化的模擬本算例設(shè)許用節(jié)點(diǎn)位移[u圖3(a)為乘子迭代的步長因子隨迭代次數(shù)的變化情況。與圖2(b)對(duì)比可知,本例不存在起作用約束與不起作用約束相互切換情形,雖然與乘子迭代相關(guān)的步長因子會(huì)出現(xiàn)波動(dòng),但不會(huì)出現(xiàn)較大的脈動(dòng)峰值。圖3(b)為桿橫截面積迭代的步長因子隨迭代次數(shù)的變化情況。由該圖可知:在前半段,該步長因子會(huì)出現(xiàn)較大的波動(dòng);在后半段,步長因子趨向穩(wěn)定,其值逐漸接近于1。該例的尺寸優(yōu)化結(jié)果列于表3和表4中。其中:節(jié)點(diǎn)2沿y方向的位移(u文獻(xiàn)[10]提供的最優(yōu)結(jié)構(gòu)重量經(jīng)單位換算后為970.2809kg。本例結(jié)構(gòu)優(yōu)化三部法的最優(yōu)結(jié)構(gòu)重量為970.2805kg,與文獻(xiàn)[10]的優(yōu)化結(jié)果相比略輕0.0004kg,所用機(jī)時(shí)為0.141s。6優(yōu)化迭代步長因子的確定問題本文依據(jù)尺寸優(yōu)化問題的KKT條件及其對(duì)偶函數(shù)的極值必要條件,討論了各桿橫截面積和KKT乘子優(yōu)化迭代步長因子的自動(dòng)確定問題;通過2種不同約束條