教學(xué)部通信原理隨機(jī)過程

教學(xué)部通信原理隨機(jī)過程第1頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)過程的基本概念確定性過程其變化過程可以用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來描述隨機(jī)過程其變化過程不可能用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來描述。通信過程是信號(hào)和噪聲通過通信系統(tǒng)的過程。而通信系統(tǒng)中遇到的信號(hào)和噪聲總帶有隨機(jī)性，從統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，隨機(jī)信號(hào)和噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)過程第2頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的定義：設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)。每一次試驗(yàn)都有一條時(shí)間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體就構(gòu)成一隨機(jī)過程，記作。簡言之，無窮多個(gè)樣本函數(shù)的總體叫做隨機(jī)過程第3頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)過程的基本概念一個(gè)樣本一個(gè)隨機(jī)變量第4頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程ξ(t)具有兩個(gè)基本特征：ξ(t)是時(shí)間t的函數(shù)；在某一觀察時(shí)刻t1，樣本的取值ξ(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過程看成依賴時(shí)間參數(shù)的一族隨機(jī)變量?？梢?，隨機(jī)過程具有隨機(jī)變量和時(shí)間函數(shù)的特點(diǎn)。第5頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月一維分布函數(shù)：一維概率密度函數(shù)：二維分布函數(shù)：二維概率密度函數(shù)：隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性用分布函數(shù)、概率密度函數(shù)或數(shù)字特征來描述。統(tǒng)計(jì)特性第6頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)字特征分布函數(shù)或概率密度函數(shù)能夠較全面地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性在實(shí)際工作中，有時(shí)不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡單直觀。第7頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)期望（均值）方差數(shù)字特征方差等于均方值與數(shù)學(xué)期望平方之差。它表示隨機(jī)過程在時(shí)刻t對(duì)于均值a(t)的偏離程度。均值和方差是對(duì)隨機(jī)變量求積分或求和均值和方差是時(shí)間的函數(shù)第8頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)字特征相關(guān)函數(shù)衡量隨機(jī)過程在任意兩個(gè)時(shí)刻獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度時(shí)，常用協(xié)方差函數(shù)B(t1,t2)和相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)來表示。協(xié)方差函數(shù)同一隨機(jī)過程,不同時(shí)間間關(guān)系——自協(xié)方差函數(shù)不同隨機(jī)過程,不同時(shí)間間關(guān)系——互協(xié)方差函數(shù)第9頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)函數(shù)同一隨機(jī)過程,不同時(shí)間間關(guān)系——自相關(guān)函數(shù)不同隨機(jī)過程,不同時(shí)間間關(guān)系——互相關(guān)函數(shù)數(shù)字特征第10頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月過程是慢變化，過程是快變化，它們大致有相同的均值、方差，但是在不同時(shí)刻的取值，對(duì)于來說，相關(guān)性強(qiáng)；對(duì)于來說，相關(guān)性強(qiáng)弱數(shù)字特征相關(guān)函數(shù)第11頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)字特征【例】

已知X和Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，它們均值和方差分別為2和6，試求的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)。獨(dú)立概念相關(guān)概念X和Y不相關(guān)X和Y線性相關(guān)第12頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)字特征【例】已知X和Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，它們均值和方差分別為2和6，試求的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)。第13頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月平穩(wěn)隨機(jī)過程是指它的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。則稱是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程或狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。平穩(wěn)隨機(jī)過程如果任意非零值一維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)第14頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月均值自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程第15頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)有一個(gè)二階矩隨機(jī)過程，它的均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅是τ的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程均值為常數(shù)自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)如何判別隨機(jī)過程是平穩(wěn)的？第16頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)，它的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別為如果平穩(wěn)隨機(jī)過程依概率1使下式成立：

則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性第17頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月各態(tài)歷經(jīng)性已知均勻分布x(t)是否為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，是否服從各態(tài)歷經(jīng)性？寬平穩(wěn)隨機(jī)過程第18頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性第19頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

“各態(tài)歷經(jīng)”的含義：隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，我們無需（實(shí)際中也不可能）獲得大量用來計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個(gè)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征，從而使“統(tǒng)計(jì)平均”化為“時(shí)間平均”，使實(shí)際測(cè)量和計(jì)算的問題大為簡化。具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過程，但平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。各態(tài)歷經(jīng)性判斷各態(tài)歷經(jīng)性首先判斷是否滿足寬平穩(wěn)條件第20頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則它的自相關(guān)函數(shù)具有下列主要性質(zhì)：（1）（2）（3）［的偶函數(shù)］（4）［的上界］（5）平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)［方差，的交流功率］［的平均功率］［的直流功率］第21頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。對(duì)于任意的確定功率信號(hào)f(t)，它的功率譜密度為我們可以把f(t)看成是平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)中的任一實(shí)現(xiàn)，因而每一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度也可用上式來表示。由于ξ(t)是無窮多個(gè)實(shí)現(xiàn)的集合，哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即

平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度第22頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月功率信號(hào)f(t)及其截短函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度第23頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月的平均功率S則可表示成平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度功率譜的統(tǒng)計(jì)平均第24頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度第25頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月確知的非周期功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其譜密度是一對(duì)傅氏變換關(guān)系。

對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程，也有類似的關(guān)系，即平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度第26頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月R(0)表示隨機(jī)過程的平均功率非負(fù)性偶函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度第27頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]某隨機(jī)相位余弦波，其中A和均為常數(shù)，θ是在(0,)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。求的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度.平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度第28頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月解：先考察ξ(t)是否廣義平穩(wěn)

的數(shù)學(xué)期望為的自相關(guān)函數(shù)為根據(jù)以及是廣義平穩(wěn)。則功率譜密度為平均功率為平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度第29頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月高斯隨機(jī)過程

若隨機(jī)過程ξ(t)的任意n維（n=1,2,…）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。

第30頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月高斯隨機(jī)過程

如果各隨機(jī)變量兩兩之間互不相關(guān)，則上式中，對(duì)所有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立第31頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月由式可以看出,高斯過程的n維分布完全由n個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對(duì)于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值、方差與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，由性質(zhì)1知，它的n維分布與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。所以，廣義平穩(wěn)的高斯過程也是狹義平穩(wěn)的。高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后仍是高斯過程。高斯隨機(jī)過程重要性質(zhì)

第32頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

f(x)具有如下特性(1)

f(x)對(duì)稱于x=a這條直線。 (2)正態(tài)分布的概率密度一維高斯隨機(jī)過程

第33頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)互補(bǔ)誤差函數(shù)誤差函數(shù)第34頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月這種噪聲被稱為白噪聲，它是一個(gè)理想的寬帶隨機(jī)過程。式中n0為一常數(shù)，單位是瓦/赫。顯然，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即信號(hào)在信道中傳輸時(shí)，常會(huì)遇到這樣一類噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，即這說明，白噪聲只有在τ=0時(shí)才相關(guān)，而它在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。高斯白噪聲第35頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)高斯白噪聲第36頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月如果白噪聲又是高斯分布的，我們就稱之為高斯白噪聲。高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的取值之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在實(shí)際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。高斯白噪聲功率譜角度概率分布角度第37頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)只考慮平穩(wěn)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的情況。隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號(hào)通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)vo(t)等于輸入信號(hào)vi(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積，即若則有第38頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月若線性系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則或如果把vi(t)看作是輸入隨機(jī)過程的一個(gè)樣本，則vo(t)可看作是輸出隨機(jī)過程的一個(gè)樣本。顯然，輸入過程ξi(t)的每個(gè)樣本與輸出過程ξo(t)的相應(yīng)樣本之間都滿足上式的關(guān)系。這樣，就整個(gè)過程而言，便有隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)第39頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月假定輸入ξi(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程，則可以分析系統(tǒng)的輸出過程ξo(t)的統(tǒng)計(jì)特性。隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)1.輸出過程ξo(t)的數(shù)學(xué)期望由此可見,輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且與t無關(guān)。第40頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月可見,ξo(t)的自相關(guān)函數(shù)只依賴時(shí)間間隔τ而與時(shí)間起點(diǎn)t1無關(guān)。由以上輸出過程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)證明，若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。2.輸出過程ξo(t)的自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)第41頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.輸出過程ξo(t)的功率譜密度可見，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi(ω)與系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)|H(ω)|2的乘積。隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)第42頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]

帶限白噪聲。試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為可見，輸出噪聲的功率譜密度在|ω|≤ωH內(nèi)是均勻的，在此范圍外則為零，通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲。帶限白噪聲第43頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)帶限白噪聲第44頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月帶限白噪聲其自相關(guān)函數(shù)為由此可見，帶限白噪聲只有在τ=k/2fH(k=1,2,3,…)上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。即，如果對(duì)帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話，則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量。帶限白噪聲的平均功率：第45頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月從原理上看，在已知輸入過程分布的情況總可以確定輸出過程的分布。其中一個(gè)十分有用的情形是：如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。因?yàn)閺姆e分原理來看，上式可表示為一個(gè)和式的極限，即4.輸出過程ξo(t)的概率分布帶限白噪聲第46頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月由于ξi(t)已假設(shè)是高斯型的，所以，在任一時(shí)刻的每項(xiàng)都是一個(gè)高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時(shí)刻得到的每一隨機(jī)變量，都是無限多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。由概率論得知，這個(gè)“和”的隨機(jī)變量也是高斯隨機(jī)變量。這就證明，高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后其輸出過程仍為高斯過程。更一般地說，高斯過程經(jīng)線性變換后的過程仍為高斯過程。但要注意，由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。帶限白噪聲第47頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即是窄帶隨機(jī)過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度Δf<<fc，且fc遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng)。實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號(hào)或噪聲必是窄帶的，如果這時(shí)的信號(hào)或噪聲又是隨機(jī)的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過程?？杀硎緸椋旱?8頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶過程的頻譜和波形示意窄帶隨機(jī)過程第49頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月aξ(t)及φξ(t)分別是ξ(t)的隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位，ξc(t)及ξs(t)分別稱為ξ(t)的同相分量和正交分量，它們也是隨機(jī)過程，顯然它們的變化相對(duì)于載波cosωct的變化要緩慢得多。ξ(t)的統(tǒng)計(jì)特性可由aξ(t)，φξ(t)或ξc(t),ξs(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。反之，如果已知ξ(t)的統(tǒng)計(jì)特性則可確定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的統(tǒng)計(jì)特性。窄帶隨機(jī)過程第50頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月1同相和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性

設(shè)窄帶過程ξ(t)是平穩(wěn)高斯窄帶過程，且均值為零，方差為?？梢宰C明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均值的平穩(wěn)高斯過程，而且與ξ(t)具有相同的方差。

此外，在同一時(shí)刻上得到的ξc和ξs是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。窄帶隨機(jī)過程第51頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月2包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性一個(gè)均值為零，方差為的窄帶平穩(wěn)高斯過程ξ(t)，其包絡(luò)aξ(t)的一維分布是瑞利分布，相位φξ(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，aξ(t)與φξ(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即有下式成立：窄帶隨機(jī)過程瑞利分布第52頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月正弦波加窄帶高斯噪聲信號(hào)經(jīng)過信道傳輸后總會(huì)受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影