2023版高考數學一輪總復習第十二章概率第三講離散型隨機變量及其分布列均值與方差課件理

第十二章

概率第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差要點提煉

離散型隨機變量的分布列考點11.離散型隨機變量的分布列(1)隨著試驗結果變化而變化的

叫作隨機變量.所有取值可以

的隨機變量叫作離散型隨機變量.(2)一般地,若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格形式表示如下,則上表稱為離散型隨機變量X的概率分布列,簡稱為X的分布列.為了簡單起見,也可以用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.變量一一列出Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn

離散型隨機變量的分布列考點12.離散型隨機變量的分布列的性質(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pi+…+pn=

;(3)P(xi≤X≤xj)=pi+pi+1+…+pj(i<j且i,j∈N*).說明

(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數的值或取值范圍;(2)利用分布列中各事件的概率和為1來檢查所寫出的分布列是否有誤.1

常見的離散型隨機變量的概率分布模型考點21.兩點分布若隨機變量X的分布列為

,其中0<p<1,則稱X服從兩點分布.說明

(1)兩點分布的試驗結果只有兩種可能,且其概率之和為1;(2)兩點分布又稱0-1分布,其應用十分廣泛.X01P1-pp

常見的離散型隨機變量的概率分布模型考點22.超幾何分布一般地,在含有M件次品的N件產品中,任取n件,其中恰有X件次品,則P(X=k)=

,k=0,1,2,…,m,即其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果隨機變量X的分布列具有上表的形式,則稱隨機變量X服從超幾何分布,記作X~H(N,M,n).

離散型隨機變量的均值與方差考點3

Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn

離散型隨機變量的均值與方差考點3注意(1)期望是算術平均值概念的推廣,是概率意義下的平均;(2)E(X)是一個實數,由X的分布列唯一確定,即作為隨機變量,X是可變的,可取不同值,而E(X)是不變的,它描述X取值的平均狀態(tài);(3)隨機變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.D(X)越大,表明平均偏離程度越大,X的取值越分散.反之,D(X)越小,X的取值越集中在E(X)附近.

離散型隨機變量的均值與方差考點3

aE(X)+ba2D(X)E(X1)+E(X2)pp(1-p)理解自測1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”).(1)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的. (

)(2)期望是算術平均數概念的推廣,與概率無關. (

)(3)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況,因此它們是一回事. (

)(4)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度,方差或標準差越小,則偏離均值的平均程度越小. (

)(5)離散型隨機變量的分布列中,隨機變量取各個值的概率之和可以小于1. (

)×××√√(6)從4名男演員和3名女演員中選出4名,其中女演員的人數X服從超幾何分布. (

)(7)由下表給出的隨機變量X的分布列服從兩點分布. (

)2.[2020浙江高考]盒中有4個球,其中1個紅球,1個綠球,2個黃球.從盒中隨機取球,每次取1個,不放回,直到取出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數為ξ,則P(ξ=0)=

,E(ξ)=

.×√X25P0.30.7

1考向掃描

求離散型隨機變量的分布列、期望與方差考向11.典例

[2021北京高考]為加快新冠病毒檢測效率,某檢測機構采取“k合1檢測法”,即將k個人的拭子樣本合并檢測,若為陰性,則可以確定所有樣本都是陰性的,若為陽性,則還需要對本組的每個人再做檢測.現有100人,已知其中兩人感染病毒.(Ⅰ)①若采用“10合1檢測法”,且兩名感染患者在同一組,求總檢測次數;②已知10人分成一組,兩名感染患者在同一組的概率為1/11,求檢測次數X的分布列和數學期望E(X).(Ⅱ)若采用“5合1檢測法”,檢測次數Y的期望為E(Y),試比較E(X)和E(Y)的大小(直接寫出結果).

求離散型隨機變量的分布列、期望與方差考向1

求離散型隨機變量的分布列、期望與方差考向1

X2030P

求離散型隨機變量的分布列、期望與方差考向1

Y2530P

求離散型隨機變量的分布列、期望與方差考向1方法技巧1.求離散型隨機變量X的分布列的步驟(1)理解X的意義,寫出X的所有可能取值;(2)求X取各個值的概率;(3)寫出分布列.注意①求離散型隨機變量的分布列時,注意計數原理、排列組合等知識的應用或利用概率和為1從反面入手.②對于抽樣問題,要特別注意是放回還是不放回.

求離散型隨機變量的分布列、期望與方差考向12.有關離散型隨機變量的均值與方差問題的常見類型及解題策略(1)求離散型隨機變量的均值與方差.可由題中條件求出離散型隨機變量的分布列,然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求參數值.可由題中條件利用均值、方差公式得出含有參數的方程(組),解方程(組)即可求出參數.

求離散型隨機變量的分布列、期望與方差考向12.變式[2022南昌市模擬]甲、乙、丙、丁、戊五位同學參加一次節(jié)日活動,他們都有機會抽取獎券.墻上掛著兩串獎券袋(如圖),A,B,C,D,E五個袋子分別裝有價值100,80,120,200,90(單位:元)的獎券,抽取方法是這樣的:每位同學只能從其中一串的最下端取一個袋子,得到其中獎券,直到獎券袋取完為止.甲先取,然后乙、丙、丁、戊依次取,每個人等可能選擇一串取.(1)求丙取得的獎券袋中的獎券為80元的概率;(2)記丁取得的獎券袋中的獎券為X元,求X的分布列及數學期望.

求離散型隨機變量的分布列、期望與方差考向1

求離散型隨機變量的分布列、期望與方差考向1

求離散型隨機變量的分布列、期望與方差考向1

X8090100200P

超幾何分布的求解考向23.典例[2018天津高考][理]已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24,16,16.現采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調查.(1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數,求隨機變量X的分布列與數學期望;(ii)設A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.

超幾何分布的求解考向2

超幾何分布的求解考向2

超幾何分布的求解考向2方法技巧

1.隨機變量是否服從超幾何分布的判斷判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布的關鍵是要看隨機變量是否滿足超幾何分布的特征:①不放回抽樣;②一個總體(共有N個)內含有兩種不同的事物A(有M個),B(有(N-M)個),任取n個,其中恰有X個A.符合以上特征,即可判斷隨機變量服從超幾何分布.超幾何分布實質是古典概型.2.求超幾何分布的分布列的步驟第一步,驗證隨機變量服從超幾何分布,即X~H(N,M,n),并確定參數N,M,n的值;

超幾何分布的求解考向2

超幾何分布的求解考向2

1

利用期望與方差進行決策考向35.典例[2016全國卷Ⅰ][理]某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數,得如圖所示的柱狀圖:

利用期望與方差進行決策考向3以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發(fā)生的概率,記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數,n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數.(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據,在n=19與n=20之中選其一,應選用哪個?

利用期望與方差進行決策考向3解析(1)由題中柱狀圖并以頻率代替概率可得,1臺機器在三年內需更換的易損零件數為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,從而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.

利用期望與方差進行決策考向3所以X的分布列為(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元).當n=19時,E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040.當n=20時,E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.可知當n=19時所需費用的期望值小于當n=20時所需費用的期望值,故應選n=19.X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04

利用期望與方差進行決策考向36.變式[2022安徽示范高中名校聯考]某單位有員工50000人,一保險公司針對該單位推出一款意外險產品,每年每位職工只需要交少量保費,發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險公司把該單位的所有崗位分為A,B,C三類工種,從事三類工種的人數分布比例如圖所示的餅圖,且這三類工種每年的賠付概率如下表所示:

職工工種類別分布餅圖工種類別ABC賠付概率

利用期望與方差進行決策