信號(hào)與系統(tǒng)（MATLAB版） 課件 第2章 連續(xù)信號(hào)的頻域分析

第

頁■信號(hào)與系統(tǒng)第2章連續(xù)信號(hào)的頻域分析電子教案第1章節(jié)討論了信號(hào)與系統(tǒng)的基本知識(shí)和信號(hào)的時(shí)域分析，本章將研究信號(hào)的頻域（包括s域）分析及其應(yīng)用。傅里葉分析為時(shí)域信號(hào)提供了一個(gè)頻域描述，頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系。對連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級數(shù)展開，就是連續(xù)周期信號(hào)的頻域分析。連續(xù)周期信號(hào)的頻譜是指連續(xù)周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系。周期信號(hào)的頻譜是離散的復(fù)頻譜，表示的是每個(gè)諧波分量（單一頻率）的復(fù)振幅。對連續(xù)非周期信號(hào)的傅里葉變換（拉普拉斯變換），就是連續(xù)非周期信號(hào)的復(fù)頻域分析（s域分析）。而非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)的頻譜，表示的是每單位帶寬內(nèi)所有諧波分量合成的復(fù)振幅，不再具有離散性和諧波性。2.1傅里葉級數(shù)與頻譜函數(shù)連續(xù)周期信號(hào)的頻譜是指連續(xù)周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系。2.1.1頻譜的概念對周期信號(hào)的時(shí)域分析表明，一個(gè)周期信號(hào)只要滿足狄里赫利條件，就可以利用正弦型信號(hào)或復(fù)指數(shù)信號(hào)進(jìn)行描述。周期信號(hào)x(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號(hào)之和：（2.1.1）周期信號(hào)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號(hào)之和，不同的時(shí)域信號(hào)，只是傅里葉級數(shù)的系數(shù)cn不同，因此通過研究傅里葉級數(shù)的系數(shù)來研究信號(hào)的特性。cn是頻率的函數(shù)，它反映了組成信號(hào)各次諧波的幅度和相位隨頻率變化的規(guī)律，稱為“頻譜函數(shù)”，用X(nW)表示。根據(jù)上式有：▲■第

頁其模

稱為幅度頻譜，幅角

稱為相位頻譜。在MATLAB中分別用abs(X)和angle(X)表示幅頻特性和相頻特性?？芍苯赢嫵鲂盘?hào)各次諧波對應(yīng)的線狀分布圖形，即振幅頻譜和相位頻譜圖形。從廣義上說，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。由此可見，任意波形的周期信號(hào)完全可以用反映信號(hào)頻率特性的復(fù)系數(shù)來描述。它與傅立葉級數(shù)（CTFS）表示式之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，即上式雙向箭頭表示對應(yīng)關(guān)系，即已知x(t)，可以求得相應(yīng)的X(nW)，反之亦然。用頻率函數(shù)來描述或表征任意周期信號(hào)的方法，稱為周期信號(hào)的頻率分析。由于信號(hào)的頻譜完全代表了信號(hào)，研究它的頻譜就等于研究信號(hào)本身。因此，這種表示信號(hào)的方法稱為頻域表示法?！龅?/p>

頁2.1.2周期信號(hào)波形的對稱性與諧波特性可見，an

是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)。將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為其中：在時(shí)域分析中我們知道，設(shè)周期信號(hào)x(t)，其周期為T，角頻率W=2p/T，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級數(shù)，稱為x(t)的傅里葉級數(shù)。（2.1.5）系數(shù)an，bn稱為傅里葉系數(shù)：▲■第

頁第

頁■▲式中，A0

=a0，可見1.An是n的偶函數(shù)，jn是n的奇函數(shù)。an

=

Ancosjn，

bn

=

–Ansin

jn，n=1，2，3，4…上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量（諧波），這是周期信號(hào)的諧波特性。其中，l

A0/2為直流分量；l

n=1，A1cos(Wt+j1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號(hào)相同；l

n=2，A2cos(2Wt+j2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；l一般而言，Ancos(nWt+jn)稱為n次諧波。2.x(t)的對稱性質(zhì)決定了展開的結(jié)果（1）若x(t)為偶函數(shù)，則x(t)對稱縱坐標(biāo)。bn

=0，展開為余弦級數(shù)。計(jì)算an時(shí)只需在半個(gè)周期內(nèi)積分再乘以2，即（2）若x(t)為奇函數(shù)，則x(t)對稱于原點(diǎn)。an

=0，展開為正弦級數(shù)。計(jì)算bn時(shí)只需在半個(gè)周期內(nèi)積分再乘以2，即實(shí)際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即f(t)=fod(t)+fev(t)利用上述奇偶函數(shù)的積分特點(diǎn)，可以簡化傅里葉系數(shù)的計(jì)算。2.1.3傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式式（2.1.5）表示的是三角形式的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算起來常感不便，因而經(jīng)常采用（2.1.1）式表示的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。根據(jù)尤拉公式可知，三角函數(shù)與復(fù)指數(shù)函數(shù)有著密切的關(guān)系，可利用從三角形式推導(dǎo)出傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式。根據(jù)尤拉公式可知，三角函數(shù)與復(fù)指數(shù)函數(shù)有著密切的關(guān)系，可利用從三角形式推導(dǎo)出傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式。將尤拉公式cosx=(ejx

+e–jx)/2，sinx=(ejx

-e–jx)/2j代入（2.1.5）式得可見，三角函數(shù)形式與復(fù)指數(shù)函數(shù)形式描述的是同一個(gè)信號(hào)，只是數(shù)學(xué)表示形式不同而已?！龅?/p>

頁其中兩種形式的傅里葉系數(shù)關(guān)系如下：可以看出傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式中的傅里葉系數(shù)不再是實(shí)數(shù)，而是復(fù)數(shù)。由此可知，周期函數(shù)x（t）包含的直流分量為：基波分量的振幅為：基波分量的初相位為：其它諧波分量的振幅為：其它諧波分量的初相位為：▲■第

頁這樣，周期信號(hào)x(t)的振幅頻譜函數(shù)可表示為實(shí)際上，如果考慮信號(hào)的雙邊頻譜，用傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式更方便。在雙邊頻域（∞，－∞）內(nèi)，周期信號(hào)的頻譜函數(shù)就是傅里葉系數(shù)，即其數(shù)學(xué)含義就是說，一般周期信號(hào)可以分解為無窮多個(gè)離散頻率分量的疊加，各分量的頻率是基頻的整數(shù)倍，振幅是傅里葉系數(shù)cn

的復(fù)模，初相位是傅里葉系數(shù)

cn

的幅角。注意：l當(dāng)n=0時(shí)傅里葉系數(shù)c0

為大于或等于0的實(shí)數(shù)，其代表的成分就是周期信號(hào)的直流分量；l當(dāng)n=±1時(shí)所代表的雙邊頻率成分就是周期信號(hào)的基波分量；l而其余各對雙邊頻率成分就是周期信號(hào)的各個(gè)高次諧波分量?？梢姴捎弥笖?shù)形式的傅里葉級數(shù)，分析周期信號(hào)的頻譜更為直截了當(dāng)。▲■第

頁例2-1-1已知如圖2-1-1所示幅值為2的連續(xù)周期矩形脈沖信號(hào)，求其指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式和三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。圖2-1-1連續(xù)周期矩形脈沖信號(hào)解：(1)求指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式由式（2.1.11）得由此可得指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式為▲■第

頁(2)求三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式為偶函數(shù)，所以bn=0，即三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式▲■第

頁2.2典型連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級數(shù)2.2.1連續(xù)周期矩形方波信號(hào)如圖2-2-1所示的周期矩形方波信號(hào)，設(shè)脈沖寬度為，脈沖幅度為A，重復(fù)周期為T，主周期為T0。將展成指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)：（2.2.1）其中：可見周期矩形脈沖信號(hào)x(t)的頻譜圖是采樣函數(shù)Sa?！龅?/p>

頁例2-2-1周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜連續(xù)周期矩形脈沖信號(hào)如圖2-2-2所示，用MATLAB求出該信號(hào)的頻譜圖。

解：由圖可知，該信號(hào)脈寬為1，周期為8，幅度設(shè)A=4。在主周期內(nèi)的解析式可表示如下：使用符號(hào)運(yùn)算，根據(jù)傅里葉級數(shù)的定義，其程序代碼如下：syms

t

k;T=8;A=

4;

tao=1;x=A;w=2*pi/T;fe=x*exp(-j*k*w*t

);X=int(fe,t,0,tao)./T;X=simple(X);k=[-20:-1,eps,1:20];X=subs(X,k,"k");subplot(3,1,1);stem(k,X,".");title("頻譜圖");line([-20,20],[0,0]);xlabel("(k)");ylabel("X(k)");subplot(3,1,2);stem(k,abs(X),".");title("幅度譜");xlabel("(k)");ylabel("|

X(k)|");subplot(3,1,3);stem(k,angle(X),".");title("相位譜");xlabel("(k)");ylabel("angle(X(k))");程序運(yùn)行后生成連續(xù)時(shí)間信號(hào)周期性矩形脈沖信號(hào)的頻譜圖，如圖所示?！龅?/p>

頁2.2.2連續(xù)周期三角波信號(hào)如圖2-2-5所示的三角波信號(hào)，展開為傅里葉級數(shù)的系數(shù)。該三角波在時(shí)域中表達(dá)式為圖2-2-5三角波信號(hào)由于▲■第

頁是偶函數(shù)，由（2.1.6）式可得例2-2-2繪制出周期三角波信號(hào)的頻譜圖。周期三角波信號(hào)如圖2-2-6所示，傅里葉級數(shù)展開得：解：繪制三角波信號(hào)頻譜的MATLAB程序如下：?N=8;n1=-N:-1;%計(jì)算n=-N到-1的Fourier系數(shù)c1=

-4*j*sin(n1*pi/2)/pi^2./n1.^2;c0=0;%計(jì)算n=0時(shí)的Fourier系數(shù)n2=1:N;%計(jì)算n=1到N的Fourier系數(shù)c2=

-4*j*sin(n2*pi/2)/pi^2./n2.^2;cn=[c1

c0

c2];

n=

-N:N;subplot(2,1,1);

stem(n,abs(cn));title("Cn的幅度");axis([-N,N,-0.2,0.5]);subplot(2,1,2);

stem(n,angle(cn));title("Cn的相位");xlabel("\omega/\omega0");程序運(yùn)行結(jié)果如圖所示。▲■第

頁2.3連續(xù)周期信號(hào)的頻譜2.3.1連續(xù)周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)1.連續(xù)周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)上述周期矩形信號(hào)頻譜的特點(diǎn)，實(shí)際上也是所有周期信號(hào)頻譜的普遍性質(zhì)，這就是：離散性。指頻譜由頻率離散而不連續(xù)的譜線組成，這種頻譜稱為離散頻譜或線譜。譜線的間隔為：

。諧波性。指各次諧波分量的頻率都是基波頻率W的整數(shù)倍：nW，

而且相鄰諧波的頻率間隔是均勻的，即譜線只在頻率軸上W的整數(shù)倍位置出現(xiàn)。收斂性。指譜線幅度隨

而衰減到零，因此這種頻譜具有收斂性或衰減性。若信號(hào)時(shí)域波形變化越平緩，高次諧波成分就越少，幅度頻譜衰減越快；若信號(hào)時(shí)域波形變化跳變越多，高次諧波成分就越多，幅度頻譜衰減越慢。2.周期的影響信號(hào)周期T越大，

就越小，則譜線越密。T越小，W0越大，譜線則越疏?！龅?/p>

頁例2-3-1脈寬和周期對周期矩形脈沖信號(hào)頻譜的影響仍然以例2-2-1的圖2-2-2連續(xù)周期矩形脈沖信號(hào)為例，計(jì)算脈寬和周期對周期矩形脈沖信號(hào)頻譜的影響，程序如下：T=8;A=

4;

tao=1;k=[-80:80]/T;X=A*tao/T*sinc(k*pi*tao/T);X1=A*tao/(T/2)*sinc(k*pi*tao/(T/2));X2=A*(tao/2)/T*sinc(k*pi*(tao/2)/T);subplot(3,1,1);stem(k,X,".");title("(a)

tao=1

T=8");

axis([-11,11,-0.3,1.2]);line([-12,12],[0,0],"Color","b","Marker",">","MarkerSize",10,"MarkerFaceColor","b");line([0,0],[-0.4,1.1],"Color","b","Marker","^","MarkerSize",10,"MarkerFaceColor","b");subplot(3,1,2);stem(k,X1,".");title("(b)

tao=1

T=8/2");

axis([-11,11,-0.3,1.2]);line([-12,12],[0,0],"Color","b","Marker",">","MarkerSize",10,"MarkerFaceColor","b");line([0,0],[-0.4,1.1],"Color","b","Marker","^","MarkerSize",10,"MarkerFaceColor","b");subplot(3,1,3);stem(k,X2,".");title("(c)

tao=1/2

T=8");

axis([-11,11,-0.3,1.2]);line([-12,12],[0,0],"Color","b","Marker",">","MarkerSize",10,"MarkerFaceColor","b");line([0,0],[-0.4,1.1],"Color","b","Marker","^","MarkerSize",10,"MarkerFaceColor","b");▲■第

頁脈寬和周期都會(huì)對周期矩形脈沖信號(hào)頻譜有影響，當(dāng)脈寬tao和周期T改變后的頻譜圖，如圖2-3-1所示?？梢娒}寬tao和周期T的改變對頻譜線密度和幅度都有影響。如圖2-3-1（b）所示，tao一定，T減小，間隔增大，頻譜變稀疏，幅度增大。反之，T增大，間隔減小，頻譜變密，幅度減小。如圖2-3-1（c）所示，T一定，tao變小，此時(shí)譜線間隔不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目增多。如果周期T無限增長（趨向于無窮大時(shí)，這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜就過渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜，各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。圖2-3-1脈寬和周期對周期矩形脈沖信號(hào)頻譜的影響▲■第

頁2.3.2單邊譜、雙邊譜和復(fù)頻譜周期信號(hào)的頻譜圖，有單邊頻譜圖和雙邊頻譜圖。用三角函數(shù)級數(shù)展開的周期信號(hào)，為單邊頻譜圖，即頻譜線只出現(xiàn)在頻率的正半軸，如圖所示。周期信號(hào)采用指數(shù)形式展開后的頻譜，因Xn一般為復(fù)數(shù)，稱為復(fù)數(shù)頻譜。周期信號(hào)復(fù)數(shù)頻譜圖的特點(diǎn)如下：用指數(shù)函數(shù)展開的周期信號(hào)，為雙邊頻譜圖，即頻譜線左右對稱于0頻率（即直流分量），出現(xiàn)在頻率的正負(fù)半軸。其雙邊頻譜圖，如圖所示。引入了負(fù)頻率變量X-n，它沒有物理意義，只是數(shù)學(xué)推導(dǎo)，負(fù)半軸上的譜線是復(fù)數(shù)共軛部分，與正半軸對應(yīng)的譜線共同合成實(shí)際的頻率。只有把正、負(fù)頻率項(xiàng)成對地合并起來，才是實(shí)際的頻譜函數(shù)。每個(gè)分量的幅度一分為二，在正、負(fù)頻率相對應(yīng)的位置上各為一半，即每個(gè)分量的幅度是正、負(fù)頻率之和。Cn是實(shí)函數(shù)，Xn一般是復(fù)函數(shù)，當(dāng)Xn是實(shí)函數(shù)時(shí)，可用Xn的正負(fù)表示0和π相位，幅度譜和相位譜合一。2.3.3脈寬與有效帶寬在0～

這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號(hào)的有效頻帶寬度，即：信號(hào)的有效帶寬與信號(hào)時(shí)域的持續(xù)時(shí)間（脈寬）

成反比。即。越大，其WB越小；反之，越小，其wB

越大，而且幅度也越小，如圖所示為脈寬tao=0.5，周期為T=8的頻譜圖。有效帶寬的物理意義：在信號(hào)的有效帶寬內(nèi)，集中了信號(hào)絕大部分諧波分量。若信號(hào)丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會(huì)對信號(hào)產(chǎn)生明顯影響?！龅?/p>

頁2.4連續(xù)非周期信號(hào)的頻域分析2.4.1從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換1.傅里葉變換的定義周期信號(hào)通過傅里葉級數(shù)可以用正弦型或復(fù)指數(shù)型信號(hào)來表示。由（2.1.2）式可知，周期矩形脈沖信號(hào)離散頻譜函數(shù)為各譜線之間的間隔為

：對持續(xù)時(shí)間有限的非周期信號(hào)，我們可以把它看作周期為無窮大的周期信號(hào)。當(dāng)周期趨于無窮的極限情況，各譜線之間的間隔趨于零，則：，nΩ→ω，記為dω；而同時(shí)原為離散的頻譜變成連續(xù)頻譜，這時(shí)頻譜的變化規(guī)律仍按包絡(luò)線Sa()函數(shù)在變化，函數(shù)的展開式中求和變?yōu)榍蠓e分。（2.4.1）把連續(xù)時(shí)間函數(shù)變換為頻率的連續(xù)函數(shù)，稱這為信號(hào)x(t)的傅里葉變換。由于它在頻域反映了信號(hào)的基本特征，因而是非周期信號(hào)進(jìn)行頻域分析的理論依據(jù)和最基本的公式。▲■第

頁周期信號(hào)通過傅里葉級數(shù)可以用正弦型或復(fù)指數(shù)型信號(hào)來表示。由（2.2.1）式可知，周期矩形脈沖信號(hào)離散頻譜函數(shù)為：（2.4.2）各譜線之間的間隔為：對持續(xù)時(shí)間有限的非周期信號(hào)，我們可以把它看作周期為無窮大的周期信號(hào)。當(dāng)周期趨于無窮的極限情況

，各譜線之間的間隔趨于零，即：可見，這時(shí)的頻譜函數(shù)具有以下特點(diǎn)：l原為離散的頻譜變成連續(xù)頻譜；l頻譜的變化規(guī)律仍按包絡(luò)線Sa()函數(shù)在變化；函數(shù)的展開式中求和變?yōu)榍蠓e分?！龅?/p>

頁2.4.2傅里葉變換對與“頻譜密度函數(shù)”上面的（2.4.1）式構(gòu)成一對傅里葉變換，式中符號(hào)“F”代表傅里葉變換（CTFT：Continuous-Time

Fourier

Transform），“F-1”代表傅里葉反變換（ICTFT）。為了簡便也可以采用下列符號(hào)表示傅里葉變換對，通常可記為：它與周期信號(hào)類似，通過傅里葉積分把信號(hào)分解成由無窮多的復(fù)指數(shù)或正弦信號(hào)的線性組合，以在時(shí)間域?qū)π盘?hào)進(jìn)行分析。但在頻率域它們卻有明顯的不同，這主要表現(xiàn)在周期信號(hào)的頻譜是離散的復(fù)頻譜，表示的是每個(gè)諧波分量（單一頻率）的復(fù)振幅，而非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)的頻譜，表示的是每單位帶寬內(nèi)所有諧波分量合成的復(fù)振幅，不再具有離散性和諧波性。因此非周期信號(hào)進(jìn)行頻域分析的理論依據(jù)和最基本的公式是式（2.4.1）所表示的傅里葉變換（CTFT）與傅里葉反變換（ICTFT）構(gòu)成的傅里葉變換對。為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。F(jω)一般是復(fù)函數(shù)，寫為（2.4.4）其模|

F(jw)|稱為幅度頻譜，或“頻譜密度函數(shù)”，簡稱頻譜，幅角f(w)稱為相位頻譜。但應(yīng)注意它與周期信號(hào)的離散頻譜X(nW)在內(nèi)涵上有所差異。?！龅?/p>

頁2.4.3非周期信號(hào)頻譜的計(jì)算▲■第

頁在MATLAB中使用下列方法計(jì)算連續(xù)非周期信號(hào)的頻譜：使用數(shù)值積分近似計(jì)算非周期信號(hào)頻譜。在符號(hào)運(yùn)算中，使用MATLAB函數(shù)傅立葉變換對fourier()、ifourier()，計(jì)算非周期信號(hào)頻譜的解析式。在使用計(jì)算機(jī)處理信號(hào)時(shí)，實(shí)際使用FFT計(jì)算連續(xù)周期或非周期信號(hào)1.使用數(shù)值積分方法計(jì)算非周期信號(hào)頻譜數(shù)值函數(shù)積分quadl（以前版本為quad8）可用來進(jìn)行傅里葉變換，計(jì)算非周期信號(hào)的頻譜，語法如下：y

=quadl("F",a,b)其中：F是一個(gè)字符串，它表示被積函數(shù)的文件名。a、b分別表示定積分的下限和上限。quadl返回的是用自適應(yīng)Simpson算法得出的積分值。例2-4-1計(jì)算三角波信號(hào)的頻譜（2.4.5）如圖2-4-1所示的三角波，用數(shù)值方法和符號(hào)運(yùn)算近似計(jì)算出該三角波信號(hào)的頻譜。解：（1）用數(shù)值積分近似計(jì)算三角波信號(hào)頻譜該信號(hào)可以表示為：根據(jù)（2.4.5）式，定義一個(gè)三角波信號(hào)的積分函數(shù)如下：

function

sf=xs(t,w)xt=(t>=-1

&

t<=1).*(1-abs(t));%三角波信號(hào)sf=xt.*exp(-j*w*t);%三角波信號(hào)的積分函數(shù)

end%%保存文件名為‘xs’%調(diào)用該函數(shù)xs，用數(shù)值積分近似計(jì)算三角波信號(hào)頻譜，程序如下：

w=linspace(-6*pi,6*pi,512);N=length(w);F=zeros(1,N);for

k=1:NF(k)=quadl("xs",-1,1,[],[],w(k));endplot(w,real(F));title("三角波信號(hào)頻譜")xlabel("\omega");ylabel("F(j\omega)");程序繪制出三角波信號(hào)及頻譜如圖2-4-2所示。圖2-4-1三角波信號(hào)圖2-4-2繪制三角波頻譜▲■第

頁2.使用fourier()函數(shù)計(jì)算傅立葉變換

MATLAB中的符號(hào)算法工具箱（Symbolic

MathToolbox）提供的專用函數(shù)fourier()、

ifourier()直接求解傅里葉變換和傅里葉反變換，其語法如下：F=fourier(f)：對進(jìn)行傅里葉變換，其結(jié)果為F(w)。f=ifourier(

F

)：對F(w)進(jìn)行傅里葉反變換，其結(jié)果為f(t)

。注意：在調(diào)用函數(shù)fourier()及ifourier()函數(shù)之前，要用syms命令對所有需要用到的變量（如

t,u,v,w）等進(jìn)行說明，即要將這些變量說明成符號(hào)變量。對fourier()中的f及ifourier(的F也要用符號(hào)定義符sym將其說明為符號(hào)表達(dá)式。采用fourier()及fourier()得到的返回函數(shù)，仍然為符號(hào)表達(dá)式。在對其作圖時(shí)要用

ezplot()函數(shù)，而不能用plot()函數(shù)。fourier()及fourier()函數(shù)的應(yīng)用有很多局限性，如果在返回函數(shù)中含有δ(ω)等函數(shù)，則ezplot()函數(shù)也無法作出圖來。另外，在用fourier()函數(shù)對某些信號(hào)進(jìn)行變換時(shí)，其返回函數(shù)中如果包含一些不能直接表達(dá)的式子，就無法作圖了。這是fourier()函數(shù)的一個(gè)局限。另一個(gè)局限是在很多場合，盡管原時(shí)間信號(hào)是連續(xù)的，但卻不能表示成符號(hào)表達(dá)式，此時(shí)只能應(yīng)用上面介紹的數(shù)值計(jì)算法來進(jìn)行傅氏變換了，當(dāng)然用數(shù)值計(jì)算法所求的頻譜函數(shù)只是一種近似值。是階躍函數(shù)。??▲■第

頁例2-4-2用符號(hào)法計(jì)算三角波信號(hào)的頻譜在符號(hào)運(yùn)算中，使用MATLAB函數(shù)傅里葉變換fourier()計(jì)算非周期信號(hào)頻譜，該三角波可表示為：>>

syms

t

w;>>

f

=

sym("(t+1)*heaviside(t+1)-2*t*heaviside(t)+(t-1)*heaviside(t-1)");>>

y=fourier(f);>>

Y=simplify(y)Y

=(4*sin(w/2)^2)/w^2即三角波信號(hào)頻譜的理論值為：下列程序繪制三角波信號(hào)及頻譜>>

subplot(211);ezplot(f)>>

subplot(212);ezplot((sinc(w/2))^2)▲■第

頁2.5傅里葉變換的性質(zhì)1.線性設(shè)a、b為常數(shù)，則

（2.5.1）利用傅氏變換的線性特性，可以將待求信號(hào)分解為若干基本信號(hào)之和。2.時(shí)移（時(shí)延）時(shí)延（移）性說明波形在時(shí)間軸上的時(shí)延。設(shè)t0為實(shí)常數(shù)，則

時(shí)移性質(zhì)表明：當(dāng)一個(gè)信號(hào)沿時(shí)間軸移動(dòng)后，各頻率成份的幅度大小不發(fā)生改變，即不改變頻譜函數(shù)的形狀；但相位發(fā)生了變化：使信號(hào)增加了w.t0的線性相位，即頻譜函數(shù)的位置出現(xiàn)了w.t0的變化。3.頻移特性（調(diào)制特性）設(shè)w0為實(shí)常數(shù)，則

（2.5.2）?頻移（調(diào)制）性質(zhì)用來進(jìn)行頻譜搬移，該特性表明信號(hào)在時(shí)域中與復(fù)因子

相乘，則在頻域中將使整個(gè)頻譜搬移w0，這一技術(shù)在通信系統(tǒng)得到了廣泛應(yīng)用。

調(diào)制：通信技術(shù)中的調(diào)制是將頻譜在w=0附近的低頻信號(hào)乘以

，使其頻譜搬移到w=w0

附近。

解調(diào)：反之，頻譜在w=w0附近的高頻信號(hào)乘以

，其頻譜被搬移到w=0附近，這就是解調(diào)。

變頻：是將頻譜在w=wc

附近的信號(hào)乘以

，使其頻譜搬移到w=wc-w0

附近。實(shí)際的調(diào)制解調(diào)和變頻的載波信號(hào)是正（余）弦信號(hào)，這些都是頻移特性的應(yīng)用。傅氏變換揭示了信號(hào)時(shí)間特性與頻率特性之間的聯(lián)系。信號(hào)可以在時(shí)域中用時(shí)間函數(shù)表示，亦可以在頻域中用頻譜密度函數(shù)表示；只要其中一個(gè)確定，另一個(gè)隨之確定，兩者是一一對應(yīng)的。設(shè)兩個(gè)信號(hào)為，其傅立葉變換CTFT均存在，且為▲■第

頁4.尺度變換??

設(shè)a為非0實(shí)常數(shù)，傅里葉變換的尺度變換特性（也稱為相似性質(zhì)）表示為：（2.5.3）

尺度特性說明，信號(hào)在時(shí)域中壓縮（a>1），頻域中就擴(kuò)展；反之，信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展（a<1），在頻域中就一定壓縮；即信號(hào)的脈寬與頻寬成反比。一般來說時(shí)寬有限的信號(hào)，其頻寬無限，反之亦然。

特別地，當(dāng)（a=-1）時(shí)，得到x(t)的折疊函數(shù)x(-t)，其頻譜亦為原頻譜的折疊，即（2.5.5）在信號(hào)通訊應(yīng)用中，為了迅速地傳遞信號(hào)，希望信號(hào)的脈沖寬度要小；為了有效地利用信道，希望信號(hào)的頻帶寬度要窄。相似性質(zhì)表明這兩者是矛盾的，因?yàn)橥瑫r(shí)壓縮脈沖寬度和頻帶寬度是不可能的?！龅?/p>

頁5.微分特性傅里葉變換的時(shí)域微分特性表示為，（2.5.6）式中jw是微分因子。同理，可得到像函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（頻域微分特性）：，（2.5.7）一般頻域微分特性的實(shí)用形式為，，或（2.5.8）的Fourier變換。上式可很方便地用來求6.時(shí)域積分特性傅里葉變換的時(shí)域積分特性表示為（2.5.9），無直流分量，特別地，從時(shí)域上看，一般當(dāng)y(t)是無限區(qū)間可積時(shí)，即即當(dāng)X(0)=0時(shí)，▲■第

頁7.對偶性，或（2.5.10）傅里葉變換的對稱特性（對偶性）表示為若 ，

則若x(t)是t的偶函數(shù)，則就是說，當(dāng)x(t)是t的偶函數(shù)時(shí)，時(shí)域與頻域是完全對稱性關(guān)系，如果x(t)的頻譜函數(shù)為，則頻譜為x(w)的信號(hào)，其時(shí)域函數(shù)必為

。利用對稱性可以由已知的一對傅氏變換對，方便的推出與之相關(guān)的另一對傅氏變換對，從而減少了大量的運(yùn)算。利用對稱性，我們還可以得到任意周期信號(hào)的傅氏變換。卷積定理（1）時(shí)域卷積定理：

（2.5.11）符號(hào)

表示線性卷積。兩個(gè)時(shí)間信號(hào)在時(shí)域中進(jìn)行的線性卷積運(yùn)算，相當(dāng)于在頻域中兩個(gè)對應(yīng)頻譜函數(shù)乘積運(yùn)算的傅里葉逆變換。（2）頻域卷積定理：

（2.5.12）兩個(gè)信號(hào)的頻譜函數(shù)在頻域中進(jìn)行的線性卷積運(yùn)算，相當(dāng)于在時(shí)域中兩個(gè)信號(hào)乘積運(yùn)算的傅里葉變換的

2p

倍。帕斯瓦爾定理帕斯瓦爾（Parseval）定理反映了信號(hào)在一個(gè)域及其對應(yīng)的變換域中的能量守恒：在時(shí)域中計(jì)算的信號(hào)總能量，等于在頻域中計(jì)算的信號(hào)總能量。即：（2.5.13）▲■第

頁2.6幾種典型非周期信號(hào)的頻域分析常見信號(hào)是組成復(fù)雜信號(hào)的基本信號(hào)，它們在信號(hào)理論和系統(tǒng)分析中占有重要地位。由于這些信號(hào)往往不完全滿足狄里赫利條件，因此在信號(hào)分析理論中一般利用廣義傅立葉變換，通過求極限的方法，最后得到常見信號(hào)的頻譜密度函數(shù)。在MATLAB中，符號(hào)傅立葉變換對fourier()、ifourier()函數(shù)可實(shí)現(xiàn)對這些非周期信號(hào)的頻域分析?！龅?/p>

頁1.時(shí)域沖激函數(shù)δ(t)的變換時(shí)域沖激函數(shù)δ(t)的變換可由定義直接得到（2.6.1）在MATLAB中，對單位沖激信號(hào)進(jìn)行傅立葉變換：>>

syms

t

a;

x=dirac(t)

;>>

fourier(x)

ans

=1可見，單位沖激信號(hào)的頻譜函數(shù)是一個(gè)常數(shù)1。由（2.6.1）式可知，時(shí)域沖激函數(shù)δ(t)頻譜的所有頻率分量均勻分布（為常數(shù)1），這樣的頻譜也稱

白色譜。沖激函數(shù)δ(t)和頻譜函數(shù)如圖2-6-1所示。2.頻域沖激函數(shù)δ(w)的變換頻域沖激δ(ω)的原函數(shù)亦可由定義得到即（2.6.2）2.6.1單位沖激信號(hào)與單位直流信號(hào)圖2-6-1時(shí)域沖激函數(shù)及其頻譜▲■第

頁圖2-6-2頻域沖激函數(shù)δ(ω)及其原函數(shù)頻域沖激函數(shù)δ(ω)的原函數(shù)如圖2-6-2所示。2.6.2單位直流信號(hào)有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如常數(shù)1等，但傅里葉變換卻存

在。直接用定義式不好求解，一般用廣義傅里葉變換定義來求解，但比較繁瑣。也可以用下列簡單方法直接得到：由（2.6.2）式可知頻域沖激δ(ω)的反變換是常數(shù)（直流分量），由此得（2.6.3）在MATLAB中，對單位直流信號(hào)1進(jìn)行傅里葉變換：>>

fourier(sym(1),"w")ans

=2*pi*dirac(w)直流信號(hào)的頻譜函數(shù)，如圖2-6-3所示。圖2-6-3直流信號(hào)及其頻譜函數(shù)▲■第

頁2.6.3單邊指數(shù)信號(hào)1.單邊因果指數(shù)信號(hào)：單邊指數(shù)衰減函數(shù)的表達(dá)式為（2.6.4）當(dāng)E=1時(shí)，單位單邊因果指數(shù)函數(shù)的f(t)、振幅譜、相位譜，如圖2-6-4所示。圖2-6-4單邊因果指數(shù)函數(shù)的f(t),振幅譜、相位譜▲■第

頁2.單邊非因果指數(shù)信號(hào)：圖2-6-5單邊非因果指數(shù)函數(shù)的f(t),振幅譜、相位譜▲■第

頁（2.6.5）當(dāng)E=1時(shí)，單位單邊非因果指數(shù)函數(shù)的f(t)、振幅譜、相位譜，如圖2-6-5所示。雙邊指數(shù)函數(shù)可以看成是上述兩個(gè)單邊指數(shù)信號(hào)的疊加。根據(jù)線性性質(zhì)的疊加性有：（2.6.6當(dāng)E=1時(shí)，單位奇雙邊指數(shù)函數(shù)的f(t)、振幅譜，如圖2-6-6所示。3.奇雙邊指數(shù)信號(hào)▲■第

頁圖2-6-6單位奇雙邊指數(shù)函數(shù)的f(t)、振幅譜4.偶雙邊指數(shù)信號(hào)根據(jù)線性性質(zhì)的疊加性有：（2.6.7）當(dāng)E=1時(shí)，單位偶雙邊指數(shù)函數(shù)的f(t)、振幅譜，如圖2-6-7所示?！龅?/p>

頁圖2-6-7單位偶雙邊指數(shù)函數(shù)的f(t)、振幅譜第

頁■▲例2-6-1單邊指數(shù)信號(hào)的頻譜求其頻譜函數(shù)。，繪制出單邊指數(shù)信