第02講 三角恒等變換（解析版）

第02講三角恒等變換高考預(yù)測一：三角恒等變換之拆湊角問題1．已知，，且，．求的值（Ⅱ）求的值．【解答】解：（1），（2），，，，，，．2．已知函數(shù)，為偶函數(shù)，周期為．（1）求的解析式；（2）若，求的值．【解答】解：（1）由題意可得，解得，故函數(shù)．再由此函數(shù)為偶函數(shù)，可得，，結(jié)合可得，故．（2），．根據(jù)，．．3．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合終邊過點．（1）求的值；（2）已知為銳角，，當(dāng)求的值．【解答】解：（1）由三角函數(shù)的定義知，，，所以；（2）由（1）知，，所以；因為，；又因為，所以，；所以，所以；所以．4．已知函數(shù)．（1）若，為銳角，，，求及的值；（2）函數(shù)，若對任意都有恒成立，求實數(shù)的最大值；（3）已知，，，求及的值．【解答】解：（1），，，為銳角，即，，．，，，，，，．綜上，，．（2），對任意都有恒成立，恒成立，即恒成立，設(shè)，則，，，則．設(shè)，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在區(qū)間，上為增函數(shù)，，，故的最大值為．（3），，，即，且，當(dāng)時，，，，；當(dāng)時，與相矛盾，不符合題意．綜上所述，．5．已知函數(shù)，，滿足，且函數(shù)圖象上相鄰兩個對稱中心間的距離為．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若，且，求的值．【解答】解：（Ⅰ），，且，，即，又，．函數(shù)圖象上相鄰兩個對稱中心間的距離為．，得，則；（Ⅱ），，，即，，．．則．6．（1）已知為第一象限角，且為方程的根，求的值．（2）已知，，求的值．（3）若．求的值．（4）若銳角滿足，則的值是．【解答】解：（1）為第一象限角，且為方程的根，，；（2），．；（3），；（4）由，化簡得，即．由且是銳角，得，，從而，由二倍角公式得．7．已知向量，，，函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對稱，且經(jīng)過點，其中，為實數(shù)，．（1）求的解析式；（2）若銳角，滿足，，求的值．【解答】解：（1）由題意可得，，即．由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，．解得：，．，，．又因為經(jīng)過點，可得：，，．（2）由，，，．為銳角，．又，，，，．8．已知向量，，，，且函數(shù)滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求的值；（3）設(shè)，，，，，求的值．【解答】解：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得；（2）由（1）可得；（3），，，，，．9．已知函數(shù)，，的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）若，且，，求的值．（參考公式：【解答】解：（1）由函數(shù)，，的部分圖象，得：，，，，把代入，得：，由，結(jié)合圖象解得，．．（2），且，，，，，，整理，得，解得或，或．10．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)最小值和最小正周期；（2）若為銳角，且向量與向量，垂直，求．【解答】解：（1）由題意得，，函數(shù)最小值是，最小正周期；（2）向量與向量，垂直，，則，，為銳角，，則，，則．11．已知函數(shù)，，．（1）求的解析式；（2）若，，，求的值．【解答】解：（1）．．．，，．的表達(dá)式；（2），，即，即有，，，．12．已知函數(shù)，（1）求函數(shù)圖象的對稱中心（2）已知，，求證：．（3）求的值．【解答】解析：（1），，即，，為對稱中心；（2），，，，．，．，，所以，結(jié)論成立．（3），，原式．13．已知函數(shù)，．（1）求的最小正