吉林省長春市2023屆高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)試題

長春市2023屆高三質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù) 學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合；，則Venn圖中陰影部分所表示的集合為（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)的虛部是（）A．2 B． C．1 D．3．已知向量與的夾角為60°，，，則（）A．1 B． C．2 D．4．在市場上選取20種不同的零食作為研究樣本，記錄其每100克可食部分的能量（單位：KJ）如下：110，120，120，120，123，123，140，146，150，162，165，174，190，210，235，249，280，318，428，432．則樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）A．123 B．235 C．242 D．2495．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知點和點為的頂點，則：“的歐拉線的方程為x＝1”是“點C的坐標(biāo)為（2，2）”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．文化廣場原名地質(zhì)宮廣場，是長春市著名的城市廣場，歷史上地質(zhì)宮廣場曾被規(guī)劃為偽滿洲國的國都廣場．文化廣場以新民主大街道路中心線至地質(zhì)宮廣場主樓中央為南北主軸，廣場的中央是太陽鳥雕塑塔，在地質(zhì)宮（現(xiàn)為吉林大學(xué)地質(zhì)博物館）主樓輝映下顯得十分壯觀．現(xiàn)某興趣小組準(zhǔn)備在文化廣場上對中央太陽鳥雕塑塔的高度進行測量，并繪制出測量方案示意圖，A為太陽鳥雕塑最頂端，B為太陽鳥雕塑塔的基座（即B在A的正下方），在廣場內(nèi)（與B在同一水平面內(nèi)）選取C、D兩點．測得CD的長為m．興趣小組成員利用測角儀可測得的角有、、、、，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)，不能計算出太陽鳥雕塑塔高度AB的是（）A．m、、、 B．m、、、C．m、、、 D．m、、、 7．函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A． B．3 C． D．8．已知某家族有A、B兩種遺傳性狀，該家族某位成員出現(xiàn)A性狀的概率為，出現(xiàn)B性狀的概率為，A、B兩種遺傳性狀都不出現(xiàn)的概率為．則該成員在出現(xiàn)A性狀的條件下，出現(xiàn)B性狀的概率為（）A． B． C． D．9．已知雙曲線的兩條漸近線與直線分別相交于A，B兩點，且線段AB的長等于它的一個焦點到一條漸近線的距離，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．10．定義域為的函數(shù)，其值域為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．如圖所示，兩個全等的矩形ABCD與ABEF所在的平面互相垂直，AB＝2，BC＝1，點P為線段CD上的動點，則三棱椎的外接球體積的最小值為（）A． B． C． D．12．已知a，b滿足，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則ab的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項積為，且滿足，則______．14．四面體的各棱長均相等，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，則異面直線AB與EF所成角的大小為______．15．已知的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，且項的系數(shù)為－160，則______．16．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點（1，0）中心對稱，若，，使得，則的最大值是______．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（Ⅰ）證明：是直角三角形；（Ⅱ）若，求的值．18．（本小題滿分12分）四名黨員教師暑假去某社區(qū)做志愿者工作，現(xiàn)將他們隨機分配到A，B，C三個崗位中，每人被分配到哪個崗位相互獨立．（Ⅰ）設(shè)這四名教師被分配到A崗位的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）求上述三個崗位中恰有一個崗位未分配到任何志愿者的概率．19．（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足：，．（Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．20．（本小題滿分12分）．如圖，四棱錐的底面ABCD為菱形，，為等邊三角形，點Q為棱PB上的動點．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若平面ABCD，平面AQD與平面CQD的夾角余弦值為，求的值：21．（本小題滿分12分）已知拋物線的焦點為F，直線l過點F，與拋物線交于A，B兩點，的最小值為4．（Ⅰ）求拋物線的方程：（Ⅱ）若點P的坐標(biāo)為，設(shè)直線PA和PB的斜率分別為、，問是否為定值，若是，求出該定值，否則，請說明理由．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求函數(shù)的值域；（Ⅱ）討論函數(shù)的零點個數(shù)．長春市2023屆高三質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學(xué)試題參考答案及評分參考一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．D 2．C 3．C 4．C 5．B 6．B7．C 8．B 9．B 10．D 11．C 12．D二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13． 14． 15． 16．三、解答題17．（本小題滿分10分）【試題解析】解：（1）利用正弦定理可將化為，即，化簡得，即，由，則，即．即為直角三角形．（4分）（2）由，可得，則，計算得，即．，由A為三角形ABC的內(nèi)角，則，解得．（12分）18．（本小題滿分12分）【試題解析】（1）x的可能值為0，1，2，3，4．；；；．x的分布列為x01234P（或?qū)懗桑﹛的數(shù)學(xué)期望為（6分）（2）．（12分）19．（本小題滿分12分）【試題解析】解：（1）將兩側(cè)同除，可得，，即數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列．（6分）（2）由（1）可知，，即，則，．（12分）20．（本小題滿分12分）【試題解析】解：（1）連接BD交AC于點O，連結(jié)PO．．（4分）（2）以O(shè)為原點，以O(shè)B方向為x軸，以O(shè)C方向為y軸，以過點O垂直平面ABCD向上方向為z軸，建立如圖所示坐標(biāo)系．設(shè)OB＝1．，，，，設(shè)，則則，， ，， ，， ，，則．即，．（12分）21．（本小題滿分12分）【試題解析】解：設(shè)直線l的方程為，l與拋物線交于，，聯(lián)立直線l與拋物線方程可得，即，，．由拋物線的定義可知，當(dāng)t＝0時，取最小值為2p，則2p＝4．即拋物線方程為．（4分）（2）由題意可知．，由，，即為定值．（12分）22．（本小題滿分10分）【試題解析】解：（1）由可知令則x0減極小增，無最大值．即的值域為．（4分）（2），且