湖南省常德市名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次月水平檢測數(shù)學(xué)試題含解析

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數(shù)學(xué)

（時量：120分鐘滿分：150分）

一單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個答案符合題意）

1.若集合，則（）

A.B.C.D.

2.的值等于（）

A.-2B.0C.8D.10

3.函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（）

A.B.C.D.

4.《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間（如圖）.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為，肩寬約為，“弓”所在圓的半徑約為，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）

A.B.C.D.

5.“”是“方程有正實數(shù)根”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.設(shè)正實數(shù)滿足，則當(dāng)取得最小值時，的最大值為（）

A.0B.C.2D.

7.已知函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足時，，則不等式的解集為（）

A.B.C.D.

8.已知直線與曲線和曲線均相切，則實數(shù)的解的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.無數(shù)

二多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，多選錯選不得分，少選得兩分）

9.設(shè).且，則（）

A.B.

C.D.

10.下列說法正確的有（）

A.

B.中，

C.若，則

D.

11.已知函數(shù)，則（）

A.在上為增函數(shù)

B.當(dāng)時，方程有且只有3個不同實根

C.的值域為

D.若，則

12.已知定義在上的函數(shù)滿足對任意的，且當(dāng)時，，則（）

A.

B.對任意的

C.是減函數(shù)

D.若，且不等式恒成立，則的最小值是

三填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.若，則的值為__________.

14.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為__________.

15.設(shè)函數(shù)的定義域均為，且函數(shù)均為偶函數(shù).若當(dāng)時，，則的值為__________.

16.已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.

四解答題（本大題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟）

17.（10分）已知.

（1）求的大小；

（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間及值域.

18.（12分）為數(shù)列的前項和.已知.

（1）求的通項公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.

19.（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.

20.（12分）菱形中，平面，

（1）證明：直線平面；

（2）線段上是否存在點使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求；若不存在，說明理由.

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的離心率為，實軸長為4.

（1）求的方程；

（2）如圖，點為雙曲線的下頂點，直線過點且垂直于軸（位于原點與上頂點之間），過的直線交于兩點，直線分別與交于兩點，若四點共圓，求點的坐標(biāo).

22.（12分）已知函數(shù).

（1）若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）已知.

（i）證明：；

（ii）若，證明：.

常德市名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次月水平檢測

數(shù)學(xué)

參考答案

（時量：120分鐘滿分：150分）

一單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個答案符合題意）

1.【答案】C【詳解】解得，即為奇數(shù)集，故.故選：C

2.【答案】A【詳解】.故選：A.

3.【答案】D【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，其為偶函數(shù)，且，

由且定義域為，即中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；

當(dāng)時，即中上函數(shù)值為正，排除；故選：D

4.【答案】B【詳解】如圖所示，由題意知“弓”所在的弧的長，其所對圓心角，則兩手之間的距離.故選：B.

5.【答案】B【詳解】由方程有正實數(shù)根，則等價于函數(shù)有正零點，

由二次函數(shù)的對稱軸為，則函數(shù)只能存在一正一負(fù)的兩個零點，

則，解得，故選：B.

6.【答案】C【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，因此，所以.

7.【答案】D【詳解】令函數(shù)，則，即當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.

因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，.

又，所以當(dāng)時，；又為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以不等式可化為或，解得，不等式解集為

8.【答案】C【詳解】根據(jù)題意可知，直線與曲線和曲線都相切，

所以對于曲線，則，所以，所以切點，

對于曲線，則，所以，切點，易知不重合，因為公切線過兩點，所以，進(jìn)而可得，

令，則，

令，則所以在單調(diào)遞增，

因為，所以存在使得，即，

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故.又，所以，當(dāng)時，，因為，

所以在內(nèi)存在，使得，

當(dāng)時，，因為，所以在內(nèi)存在，使得，

綜上所述，存在兩條斜率分別為的直線與曲線和曲線都相切，故選：C.

二多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，多選錯選不得分，少選得兩分）

9.【答案】AC【詳解】因為.且，所以，即，故A正確；

由，可得，故B錯誤；由題可知，所以，故C正確；

取，可得，所以，故D錯誤.故選：AC.

10.【答案】ABD

11.【答案】BCD【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù)圖象，

由圖象易知，在上不是增函數(shù)，故錯誤；

當(dāng)時，，則，

過定點，當(dāng)時，與在上相交，共2個交點；

當(dāng)時，，過點作的切線，設(shè)切點為，則，解得，，故當(dāng)時，與在處相切，有1個交點；

故當(dāng)時，與共有3個交點，故B正確；

由圖易知，故C正確；

當(dāng)時，等價于，由函數(shù)圖象，及上述分析知，；

當(dāng)時，等價于，由函數(shù)圖象，及上述分析知，；

故若，故D正確；故選：BCD

12.【答案】ABD【詳解】取，則，解得或，

若，則對任意的，與條件不符，故，A正確；

對任意的，若存在，使得，

則，與矛盾，所以對任意的正確；

當(dāng)時，，且，所以當(dāng)時，，與為減函數(shù)矛盾，錯誤；

假設(shè)，則

因為，所以，則，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由題意得，所以，

結(jié)合在上單調(diào)遞增可知，則，

令，則，令，

易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，

所以，則正確.

故選：ABD.

三填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.【答案】【詳解】由題意，則，則，故答案為：

14.【答案】【詳解】由得或所以的定義域為因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以

15.【答案】-7【詳解】因為函數(shù)的定義域均為，且函數(shù)為偶函數(shù)，

則，求導(dǎo)得，即，

所以函數(shù)的圖像關(guān)于對稱.因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，

所以函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，由函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，且關(guān)于直線對稱.所以函數(shù)的周期為.由，，

所以，即，即，所以當(dāng)時，

于是

16.【答案】【詳解】，令，則，設(shè)，則，

當(dāng)時，，且等號不同時成立，則恒成立，

當(dāng)時，，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，

又因為，因此存在，使得，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，作出函數(shù)的圖像如下：

函數(shù)定義域為，求導(dǎo)得，

①當(dāng)時，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，

當(dāng)時，的取值集合為，而取值集合為，

因此函數(shù)在上的值域包含，

當(dāng)時，的取值集合為，而取值集合為，

因此函數(shù)在上無最小值，從而函數(shù)的值域為，即，不合題意，

②當(dāng)時，由得，由得在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，當(dāng)時，的取值集合為，

而取值集合為，因此函數(shù)在上的值域包含，

此時函數(shù)的值域為，即，

當(dāng)時，即當(dāng)時，恒成立，符合題意，

當(dāng)時，即當(dāng)時，，結(jié)合圖象可知，，不合題意，

所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：

四解答題（本大題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟）

17.【答案】（1）

（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減；值域為.

【詳解】（1）由得，

則，因為，所以，

所以，解得，即，又，

所以，則.

（2）函數(shù)，

令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

因為，當(dāng)時，即取最大值1；

當(dāng)時，即取最小值.所以值域為.

18.【答案】（1）（2）

【詳解】解：（1）由，可知兩式相減得，即，

（舍）或，則是首項為3，公差的等差數(shù)列，

的通項公式：

（2），

，

數(shù)列的前項和.

19.【答案】（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

（2）當(dāng)時，最大值是；

當(dāng)時，最大值是；

當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值是.

【詳解】（1），函數(shù)定義域為.

（i）當(dāng)時，令，得.

若，則，從而在上單調(diào)遞增；

若，則，從而在上單調(diào)遞減.

（ii）當(dāng)時，令，得，解得或，有.

若，則或，從而在和上單調(diào)遞減；

若，則，從而在上單調(diào)遞增；

（2）由（1）中求得單調(diào)性可知，

（i）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值是.

（ii）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值是.

（iii）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，最大值是.

20.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，

【詳解】解：建立以為原點，分別以（為中點），的方向為軸，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），

則.

（1）證明：，

（2）設(shè)為平面的法向量，

則，即，可得，

又，可得，又因為直線平面，所以直線平面；

（2）設(shè)，則，

則，設(shè)為平面的法向量，

則，即，可得，

由，得，解得或（舍），所以.

21.【答案】（1）（2）

【詳解】（1）因為實軸長為4，即，

又，所以，故的方程為.

（2）由四點共圓可知，，

又，即，

故，即，所以，

設(shè)，

由題意可知，則直線，直線，

因為在直線上，所以，代入直線方程，可知，

故坐標(biāo)為，所以，

又，由，則，整理可得，

當(dāng)直線斜率不存在時，顯然不符合題意，

故設(shè)直線，代入雙曲線方程：中，

可得，所以，

又，

所以，

故，即，所以點坐標(biāo)為.

22.【詳解】（1），則，若是增函數(shù)，則，且，可得，故原題意等價于對恒成立，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上