北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊第一章特殊平行四邊形動點問題訓(xùn)練一含答案

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第一章特殊平行四邊形動點問題訓(xùn)練一

1.如圖，為等腰三角形，，點是底邊上的一個動點，，．

用表示四邊形的周長為．

點運動到什么位置時，四邊形是菱形，請說明理由．

如圖，如果不是等腰三角形，其他條件不變，點運動到什么位置時，四邊形是菱形不必說明理由．

2.如圖，正方形中，點為邊的上一動點，作交、分別于、點，連．

若點為的中點，求證：點為的中點；

若點為的中點，，，求的長．

3.如圖，已知四邊形是正方形，，點為對角線上一動點，連接，過點作，交射線于點，以，為鄰邊作矩形，連．

求證：矩形為正方形；

求證：．

4.如圖，在四邊形中，，，，，，動點從開始沿邊向以的速度運動；從點開始沿邊向以的速度運動．、分別從點、同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)端點時，另外一點也隨之停止運動．

當(dāng)運動時間為秒時，用含的代數(shù)式表示以下線段的長：____，____；

當(dāng)運動時間為多少秒時，四邊形為平行四邊形？

當(dāng)運動時間為多少秒時，四邊形為矩形？

5.如圖，正方形的邊長為，為邊上一動點點與點、不重合，連接交對角線于點，過點作交于點．

求證：；

如圖，過點作于，在點的運動過程中，的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出的長；若變化，請說明變化規(guī)律．

請寫出線段、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由．

6.如圖，在等邊中，于點，射線，是射線上的一個動點異于點，連接，于點，與交于點．

若，求證：四邊形是矩形；

如圖，當(dāng)時，求與的數(shù)量關(guān)系．

7.如圖，在矩形中，，，動點從出發(fā)，沿射線方向移動，作關(guān)于直線的對稱．

如圖，當(dāng)點落在上時，顯然是直角三角形，求的長；

是否存在異于圖的位置，使得是直角三角形？若存在，請求出的長？若不存在，請說明理由

8.如圖所示，在菱形中，，，點、分別是邊、上的兩個動點，點從點向點運動，點從點向點運動，設(shè)點、運動的路徑長分別是和．

請問當(dāng)和滿足什么關(guān)系時，為等邊三角形？并說明理由；

請問在的條件下，四邊形的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大或最小值；

在的條件下，求出的面積最大值．

9.如圖，矩形中，，，動點從點出發(fā)，沿矩形的邊按方向以的速度運動，動點從點出發(fā)，沿矩形的邊按方向以的速度運動．

若動點、同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘兩點相遇？

若點在線段上，，動點、同時出發(fā)且相遇時均停止運動，那么點運動到第幾秒鐘時，與點、、恰好能組成平行四邊形？

10.如圖，四邊形為菱形，點為對角線上的一個動點，連接并延長交射線于點，連接．

如圖，求證：；

如圖，若，且，求的度數(shù)．

11.已知：如圖，中，，，，是邊上一個動點，連接，作，作交于點，連接與交于點．

求證：；

若四邊形是菱形，求菱形的面積．

12.在小學(xué)，我們已經(jīng)初步了解到，長方形的對邊平行且相等，每個角都是如圖，長方形中，，，為邊上一動點，從點出發(fā)，以向終點運動，同時動點從點出發(fā)，以向終點運動，運動的時間為

當(dāng)時，若平分，求的值；

若，且是以為腰的等腰三角形，求的值；

連接，直接寫出點與點關(guān)于對稱時的與的值．

13.已知，矩形中，，，的垂直平分線分別交、于點、，垂足為．

如圖，連接、，求證：四邊形為菱形．

如圖，求的長．

如圖，動點、分別從、兩點同時出發(fā)，沿和各邊勻速運動一周．即點自停止，點自停止．在運動過程中，點的速度為每秒，設(shè)運動時間為秒，問在運動的過程中，以、、、四點為頂點的四邊形有可能是矩形嗎？若有可能，請求出運動時間及點的速度．

14.如圖，在中，，平分，是的中點，連接，過點作，交的延長線于點，連接．

求證；四邊形是矩形；

如圖，若點是邊上的動點點不與、重合，連接、、，圖中與四邊形面積相等的四邊形為：______四邊形除外．

15.如圖，在矩形中，，，點為邊上一動點，連結(jié)，作點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)，，，，與交于點．

若，求證：；

如圖，連結(jié)，，若點在矩形的對角線上，求所有滿足條件的的長；

如圖，連結(jié)，當(dāng)點到矩形一個頂點的距離等于時，請直接寫出的面積．

16.如圖，在矩形中，是延長線上一個動點，、分別為、的中點，與相交于點

求證：；

如圖，當(dāng)時，過點作于點，連接，求的值；

在的條件下，若，，則的長為________直接寫結(jié)果

17.如圖，菱形的邊長為，，，分別是邊，上的兩個動點且滿足．

判斷的形狀，并說明理由；

設(shè)的面積為，求的取值范圍．

18.如圖，長方形中，是上一動點，連接，過點作的垂線，垂足為，交于點，交于點．

當(dāng)，且是的中點時，求證：；

在的條件下，求的值；

類比探究：若，，的值為________直接填答案

參考答案

1.解：

當(dāng)為中點時，四邊形是菱形．

理由如下：連接，

，，

四邊形為平行四邊形．

，為中點，

．

，

．

．

．

四邊形是菱形．

點運動到的平分線上時，四邊形是菱形．

理由：連接，

，，

四邊形是平行四邊形．

平分，

．

．

．

．

．

四邊形是菱形．

2.證明：四邊形是正方形，

，，

，

，

，，

，

在和中，

≌，

，

，，

，

點為的中點；

延長到，使得，連接，

由可得，

，

又，分別是，的中點，

，

在和中

，

≌，

，，

，

，

是等腰直角三角形，

，

．

3.證明：如圖，作于，于，

則，

又四邊形是正方形，

，

四邊形是矩形，

，

點是正方形對角線上的點，

，

四邊形是矩形，

，

，

在和中，

≌，

，

四邊形是矩形，

矩形是正方形；

四邊形和四邊形都是正方形，

，，，

，

，

≌，

，

．

4.解：；；

由題意可得：，，

，

，

設(shè)當(dāng)運動時間為秒時，此時四邊形為平行四邊形．

由得，，

解得，

當(dāng)運動時間為秒時，四邊形為平行四邊形．

，

，

設(shè)當(dāng)運動時間為秒時，四邊形為平行四邊形．

由得：，

解得：，

又

平行四邊形為矩形．

當(dāng)運動時間為秒時，四邊形為矩形．

5.證明：連接，

四邊形為正方形，

，，

在和中，

≌，

，，

，

，

，

，

，

，

．

的長不變，且，

理由：連接交于點，如圖，

，

，

，

，

，

又四邊形為正方形，

，，

在和中，

≌，

；

．

6.證明：，，

，

又，，

，

四邊形是矩形；

，理由如下：

如圖，連接，

是等邊三角形，，

，，，，

是的中垂線，

，

，

，，

，，

，

點，點，點在以點為圓心，為半徑的圓上，

，，

，

，

，

∽，

，

．

7.解：設(shè)，

則，

在中，

，

，

在中，

，

即，

解得，

；

存在，且有三種情況，

設(shè)，

第一種情況，如圖，

則，

在中，，

則，

在中，，

即，

解得，

；

第二種情況，如圖，

則，

在中，，

，

在中，，

即，

解得，

；

第三種情況，如圖，

，

，

四邊形為正方形，

．

綜上或或．

8.解：當(dāng)時，為等邊三角形．

理由如下：連接，如圖所示：

四邊形為菱形，，

，，

和為等邊三角形，

，，

，即，，

，

在和中

≌，

，，

，

，

是等邊三角形，

即當(dāng)時，為等邊三角形；

四邊形的面積不變，為．

理由如下：由得≌，

則，故

是定值，

作于點，如圖所示：

則，

，

由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形的邊與垂直時，

邊最短．

的面積會隨著的變化而變化，且當(dāng)最短時，正三角形的面積會最小，

又，正三角形的高為

，

則此時的面積取最大．

此時

9.解：設(shè)經(jīng)過秒鐘兩點相遇，

，

，

故動點、同時出發(fā)，經(jīng)過秒鐘兩點相遇；

設(shè)運動到第秒鐘時與點、、恰好能組成平行四邊形，

如圖，點在點右側(cè)時，當(dāng)時，四邊形為平行四邊形，

得：，解得，

時，點運動到點，符合題意，

；

如圖，點在點左側(cè)時，當(dāng)時，四邊形為平行四邊形，

得：，解得，

所以，經(jīng)過秒或秒鐘，點、、、組成平行四邊形．

10.證明：四邊形為菱形，

，

在和中

≌，

，

由得，，

；

解：，

，

設(shè)，則，

由得：，

解得：，

．

11.證明：，，

四邊形是平行四邊形，

；

解：四邊形是菱形，

，，

設(shè)，則，

在中，由勾股定理得：，

解得：，

，

菱形的面積．

12.解：

當(dāng)時，，

而，由勾股定理，，

，

，

平分，

，

，

，

，

；

當(dāng)時，由運動過程可知，，，

，

在中，，

是以為腰的等腰三角形，分情況討論：

，

，

，

，

由等腰三角形的性質(zhì)，得，

于是，，

，

即：的值為或；

如圖，

由運動過程知，，，

，

點與點關(guān)于對稱，

，，

，

，，

過點作于，

四邊形是長方形，

，，

在中，，，

根據(jù)勾股定理得，，

，

．

13.解：是的垂直平分線，

，，

，，，

≌，

，

，

四邊形為菱形；

設(shè)，則，，

在中，，

，

則；

在在運動的過程中，以、、、四點為頂點的四邊形有可能是矩形，

只有當(dāng)運動到點，運動到點時，以、、、四點為頂點的四邊形可能是矩形，

點運動的時間是：

的速度是：，

即當(dāng)、、、四點為頂點的四邊形是矩形時，運動的時間為，此時的速度是．

14.矩形，四邊形

15.證明：如圖，四邊形為矩形，

，

，

，

，

和關(guān)于對稱，

，

是的中位線，

；

解：如圖，當(dāng)點在對角線上時，

和關(guān)于對稱，

垂直平分，

，，

設(shè)，則，

，

，

在中，，

，

，

，

如圖，當(dāng)點在對角線上時，

四邊形為矩形，

，

，

，

，

設(shè)，，

，

，

，

，

聯(lián)立得，

，

解得，

，

或；

當(dāng)點到點距離為時，

，

此種情況不存在，

當(dāng)點到點距離為時，連接，

則，，

過作于，于，如圖，

，

四邊形為矩形，

，

設(shè)，則，

，

，

，

，

，

當(dāng)點到點距離為時，如圖，連接，

則，

，

又，，

，

，，三點共線，

即在線段上，

，

；

當(dāng)點到點距離為時，如圖，連接，

則，

，

，

，

，

，

，

即當(dāng)點到矩形頂點的距離等于時，的面積為，

當(dāng)點到矩形頂點的距離等于時，的面積為，

當(dāng)點到矩形頂點的距離等于時，的面積為．

16.證明：延長至，且使，連接、，如圖所示：

則，

四邊形是矩形，

，，，

在和中，

，

≌，

，

，，

為的中點，

為的中位線，

，

，

；

解：過點作交于，如圖所示：

則，

，

，

，