拉普拉斯變換的概念課件

第九章Laplace

變換§9.2Laplace

變換的性質(zhì)§9.1Laplace

變換的概念§9.3Laplace

逆變換§9.4Laplace

變換的應(yīng)用第九章Laplace變換§9.2Laplace變換§9.1Laplace變換的概念一、Laplace

變換的引入二、Laplace

變換的定義三、存在性定理四、幾個(gè)常用函數(shù)的

Laplace

變換§9.1Laplace變換的概念一、Laplace一、Laplace

變換的引入1.Fourier

變換的“局限性”？當(dāng)函數(shù)滿足

Dirichlet

條件，且在

上絕對(duì)可積時(shí)，便可以進(jìn)行古典意義下的

Fourier

變換。由于絕對(duì)可積是一個(gè)相當(dāng)強(qiáng)的條件，使得一些簡(jiǎn)單函數(shù)(如常數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)等等)的Fourier

變換也受到限制。一、Laplace變換的引入1.Fourier變換一、Laplace

變換的引入1.Fourier

變換的“局限性”？廣義

Fourier

變換的引入，擴(kuò)大了古典

Fourier

變換的適用范圍，使得“緩增”函數(shù)也能進(jìn)行

Fourier

變換，而且將周期函數(shù)的

Fourier

級(jí)數(shù)與

Fourier

變換統(tǒng)一起來(lái)。廣義

Fourier

變換對(duì)以指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)的函數(shù)如

等仍然無(wú)能為力；而且在變換式中出現(xiàn)沖激函數(shù)，也使人感到不太滿意。一、Laplace變換的引入1.Fourier變換的一、Laplace

變換的引入1.Fourier

變換的“局限性”？在工程實(shí)際問(wèn)題中，許多以時(shí)間t為自變量的函數(shù)(

比如起始時(shí)刻為零的因果信號(hào)等)在

t

<

0

時(shí)為零，而有些甚至在

t

<

0

時(shí)根本沒(méi)有意義。因此在對(duì)這些函數(shù)進(jìn)行Fourier變換時(shí)，沒(méi)有必要(

或者不可能)在整個(gè)實(shí)軸上進(jìn)行。一、Laplace變換的引入1.Fourier變換的tf(t)Otf(t)φ(t)Otf(t)Otf(t)φ(t)O基本想法使得函數(shù)在t<

0的部分補(bǔ)零(或者充零)；使得函數(shù)在t>

0的部分盡快地衰減下來(lái)。(1)將函數(shù)乘以一個(gè)單位階躍函數(shù)

，(2)將函數(shù)再乘上一個(gè)衰減指數(shù)函數(shù)

，這樣，就有希望使得函數(shù)滿足

Fourier變換的條件，從而對(duì)它進(jìn)行

Fourier

變換。一、Laplace

變換的引入2.如何對(duì)

Fourier

變換要進(jìn)行改造？

基本想法使得函數(shù)在t<0的部分補(bǔ)零(或者充零)將上式中的記為

s，就得到了一種新的變換：記為變量s的實(shí)部足夠大。實(shí)施結(jié)果一、Laplace

變換的引入2.如何對(duì)

Fourier

變換要進(jìn)行改造？

注意上述廣義積分存在的關(guān)鍵：將上式中的記為s，就得到了一二、Laplace

變換的定義s的某一區(qū)域內(nèi)收斂，即如果對(duì)于則稱為的

Laplace

變換相應(yīng)地，稱為的

Laplace

逆變換或像原函數(shù)，設(shè)函數(shù)是定義在上的實(shí)值函數(shù)，定義復(fù)參數(shù)積分在復(fù)平面記為或像函數(shù)，記為的

Laplace

變換就是的

Fourier

變換。注P213定義

9.1

Laplace簡(jiǎn)介二、Laplace變換的定義s的某一區(qū)域內(nèi)收斂，例要點(diǎn)進(jìn)行積分時(shí)，確定

s

的取值范圍，保證積分存在。P213

例

9.1

P214

例

9.2

P216例9.3

例要點(diǎn)進(jìn)行積分時(shí)，確定s的取值范圍，保若存在，收斂域(或者存在域)如何？有何特點(diǎn)？

從上述例子可以看出(1)即使函數(shù)以指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，其

Laplace

變換仍然存在；(2)即使函數(shù)不同，但其

Laplace

變換的結(jié)果可能相同。(2)Laplace

逆變換如何做？是否惟一？(1)到底哪些函數(shù)存在

Laplace

變換呢？問(wèn)題若存在，收斂域(或者存在域)如何？有何特點(diǎn)？從上述例子三、存在性定理則象函數(shù)在半平面上一定存在且解析。(1)在任何有限區(qū)間上分段連續(xù)；(2)具有有限的增長(zhǎng)性，即存在常數(shù)

c

及，使得，設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)，滿足：定理(其中，c

稱為函數(shù)的“增長(zhǎng)”指數(shù))。證明(略)P215定理

9.1

三、存在性定理則象函數(shù)在半平面MMectf(t)tOMMectf(t)tO

兩點(diǎn)說(shuō)明(1)像函數(shù)的存在域一般是一個(gè)右半平面

,即只要復(fù)數(shù)s的實(shí)部足夠大就可以了。只有在非常必要時(shí)才特別注明。因此在進(jìn)行Laplace變換時(shí)，常常略去存在域，即函數(shù)等價(jià)于函數(shù)(2)在

Laplace

變換中的函數(shù)一般均約定在t<0時(shí)為零，比如兩點(diǎn)說(shuō)明(1)像函數(shù)的存在域一般是一個(gè)四、幾個(gè)常用函數(shù)的

Laplace

變換解(2)(2)[](1)[1]

=[]含沖激函數(shù)的拉氏變換問(wèn)題四、幾個(gè)常用函數(shù)的Laplace變換解(2)四、幾個(gè)常用函數(shù)的

Laplace

變換解(5)(2)[](4)[](5)[](1)[1]

(3)[]=[]四、幾個(gè)常用函數(shù)的Laplace變換解(5)(2)[](4)[](5)[](1)[1]

(3)[]=[]四、幾個(gè)常用函數(shù)的

Laplace

變換(6)[]解(6)(2)[](4)(2)[](4)[](5)[](1)[1]

(3)[]=[]四、幾個(gè)常用函數(shù)的

Laplace

變換(6)[]特點(diǎn)變換的結(jié)果均為分式函數(shù)。(2)[](4)輕松一下……輕松一下……人物介紹——拉普拉斯附：法國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家(1749～1827)拉普拉斯Laplace，Pierre-Simon天體力學(xué)的主要奠基人，天體演化學(xué)的創(chuàng)立者之一。分析概率論的創(chuàng)始人，應(yīng)用數(shù)學(xué)的先軀。因研究太陽(yáng)系穩(wěn)定性的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題被譽(yù)為法國(guó)的牛頓和天體力學(xué)之父。人物介紹——拉普拉斯附：法國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家(17人物介紹——拉普拉斯附：1749

年

3

月

23

日，生于法國(guó)卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日。1827

年

3

月

5

日，卒于巴黎。1795

年任巴黎綜合工科學(xué)校教授。1816

年被選為法蘭西學(xué)院院士，次年任該院院長(zhǎng)。發(fā)表的天文學(xué)、數(shù)學(xué)和物理學(xué)的論文有

270

多篇。專著合計(jì)有

4000

多頁(yè)。其中最有代表性的專著有：曾任拿破侖的老師，并在拿破侖政府中擔(dān)任過(guò)內(nèi)政部長(zhǎng)?！短祗w力學(xué)》、和《宇宙體系論》《概率分析理論》。(返回)人物介紹——拉普拉斯附：1749年3月G-

函數(shù)

(

gamma函數(shù))

簡(jiǎn)介附：G-

函數(shù)定義為定義性質(zhì)證明特別地，當(dāng)m

為正整數(shù)時(shí)，有(返回)G-函數(shù)(gamma函數(shù))簡(jiǎn)介附：G-函數(shù)關(guān)于含沖激函數(shù)的

Laplace

變換問(wèn)題附：

當(dāng)函數(shù)在附近有界時(shí)，的取值將不會(huì)影響其