浙江省2022年高考數(shù)學(xué)考試真題與答案解析

浙江省2022年高考?數(shù)學(xué)?考試真題與答案解析

參考公式

■如果事件力,8互斥，則尸(4+3)=尸(4)+P(3)

■柱體的體積公式v=Sh

■如果事件48相互獨立,則尸(/3)=尸(⑷?尸(8)

■若事件/在一次試驗中發(fā)生的概率是Q,則〃次獨立重復(fù)試驗中事件/恰好發(fā)生上次的概

率月伏)=C；p”(1-p嚴(yán)伏=0,1,2,…

■錐體的體積公式/其中S表示錐體的底面積，力表示錐體的高

4

■球的體積公式其中用表示球的半徑。

■球的表面積公式S=4〃R2

■臺體的體積公式：%=；(￡+非瓦+$2)力，其中S，S2表示臺體的上、下底面積，力表示臺

體的高

一、選擇題

本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的。

1.設(shè)集合4={1，2}*={2,4,6},則〃口6=()

A.{2}B.&2}C.{2,4,6}D.{L2,4,6}

2.已知a/eR,a+3i=3+i)i(i為虛數(shù)單位)，貝IJ()

A.。=1，6=-3B.。=-1，6=3C.a=-\,b=-3D.a=l,b=3

x—2N0,

3.若實數(shù)x,y滿足約束條件2x+_y-7W0,則z=3x+4y的最大值是()

x—y—2K0,

A.20B.18C.13D.6

4.設(shè)XER,貝Ij“sinx=l”是ucosx=0M的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條

件

5.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cn?）是（）

A.22兀B.阮C.—TiD.—Tt

6.為了得到函數(shù)夕=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)尸2sin（3x+?圖象上所有的點（）

7171

A.向左平移二個單位長度B.向右平移二個單位長度

7171

C.向左平移百個單位長度D.向右平移百個單位長度

7.已知2"=5』（^3=6,則4心=（）

A.25B.5

8.如圖，已知正三棱柱=E,尸分別是棱8C,4G上的點.記E尸與

所成的角為a,小與平面48C所成的角為〃，二面角尸-8C-/的平面角為7,則（）

A.a<p<yB.C.J3<y<aD.a<y<p

9.已知a，beR,若對任意xwR,a|x—b|+|x-4|-|2x-5"0,則()

A.a<l,b>3B.a<\,b<3C.a>[,b>3D.a>\,b<3

10.已知數(shù)列｛%｝滿足q磯〃eN*),則()

77

A.2<100(2,00<—B.-<lOO^ioo<3C.3<lOO^loo<—D.-<1OO6ZIOO<4

二、填空題

本大題共7小題，單空題每題4分，多空題每空3分，共36分.

11.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三

斜求積"它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白.如果把這個方法寫成公式，就是

-

fj，C?+Q2/丫]

s=J]+：二，其中a,b,c是三角形的三邊，s是三角形的面積.設(shè)某三

角形的三邊。=a,b=G,c=2,則該三角形的面積S=.

42345

12.已知多項式(x+2)(x-1)=a0+a｛x+a2x+a3x+a4x+a5x,貝ij4=,

%+。2+。3+。4+。5=

13若3sina-sin/?=VT5,a+/?=^,貝ijsina=,COS2^=

,2

~x~+2,x<1,r/1y

14.已知函數(shù)/(x)=111貝九八八5=_______若當(dāng)xe[a向時，14/(x)W3,

x+——1,x>l,v12〃

Ix

則6-。的最大值是_________.

15.現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，

記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為九貝IJ尸4=2)=,E4)=.

x2y2..b

16.已知雙曲線/一方=1(〃>0力〉0)的左焦點為凡過尸且斜率為□的直線交雙曲線于點

山，必),交雙曲線的漸近線于點8仇，必)且苞<0<Z.若78]=31￡4則雙曲線的離心率

是_________?

17.設(shè)點戶在單位圓的內(nèi)接正八邊形44…4的邊44上，則9;+萬7+…+秒;的取值范

圍是

三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

3

18.在“8C中，角/，B,C所對的邊分別為a,b,c,已知4。=Gc,cosC=.

(1)求sin/的值；

(2)若b=ll,求△NBC的面積.

19.如圖，已知“6CO和C。跳'都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,

EF=l,/BAD=NCDE=60。,二面角E—。。一8的平面角為60。.設(shè)從，川分別為

的中點.

(1)證明：FNVAD-

(2)求直線8M與平面/OE所成角的正弦值.

20.已知等差數(shù)列｛%｝的首項q=T,公差d>L記｛%｝的前〃項和為S,(〃eN)

(1)若S4-2廿3+6=0,求加

(2)若對于每個〃wN*,存在實數(shù)c,,使a“+c“a,用+4c“,a“+2+15c,成等比數(shù)列，求。的取

值范圍.

21.如圖，已知橢圓古+V=i.設(shè)46是橢圓上異于P(0，D的兩點，且點。(0，；］在線段

上，直線P4P8分別交直線夕=-；》+3于C,。兩點.

（1）求點戶到橢圓上點的距離的最大值;

（2）求Q0的最小值.

22.設(shè)函數(shù)/'（x）=；-+lnx（x>0）.

（1）求"X）的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知SCR,曲線尸/（X）上不同的三點（七,/（占））,卜2，〃》2）），卜3，/（芻））處的切線都經(jīng)

過點（。，6）.證明:

(I)若a>e貝ljO<b-/(a)

2e-a112e-a

(ii)若0<Q<e,X[<x2<x3,則二育（針兀〈廠高

（注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）

答案解析

一、選擇題

1.D2.B3.B4.A5.C6.D7.C8.A9.D10.B

二、填空題

7/in437l

11.鋁12.0.8②.-213.0.若②.714.0.—②.3+G

4,10528

15.①(2).v16.半17.[12+272,16]

3574

三、解答題

18.【小問1詳解】

34r-

由于cosC=1,0<C<n,IjlljsinC=-.因為4a=j5c,

由正弦定理知4sinZ=V5sinC,貝IJsinZ=Y^sinC=吏^.

45

【小問2詳解】

22

2a+121-—a

因為4。=限，由余弦定理，得?Ose,在+/一c_5

2245

2ab2a

4

即/+6a-55=0,解得a=5,而sinC=1,6=11,

114

所以"8C的面積S=5absinC=$x5xllxw=22.

19.【小問1詳解】

過點E、。分別做直線。C、的垂線EG、?！ú⒎謩e交于點交于點G、H.

■.?四邊形MCQ和EFCD都是直角梯形，AB//DC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=1f

NBAD=NCDE=60°,由平面幾何知識易知：

DG=AH=2,NEFC=NDCF=Z.DCB=Z.ABC=90°,則四邊形EFCG和四邊形DCBH是矩形,

.?.在RtAEGQ和Rt△。/￡4,EG=DH=2也,

DC±CF,DCLCB；且CRcC8=C,

二DC,平面BCRNBCF是二面角/一。C-8的平面角，貝IJN8C尸=60",

???△3b是正三角形，由DCu平面488,得平面平面BCE,

???N是8C的中點，??./W_L6C,又。C,平面8CF,ENu平面BCF,可得FNA.CD,而

BCcCD=C,：,FNVS^^ABCD,而u平面/BCD；.F/V_L.

【小問2詳解】

因為平面/8C。，過點N做平行線MC,所以以點N為原點，NK,NB、NF所

在直線分別為x軸、軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-盯z,

設(shè)/(5,6,0),8(0,百,0),。(3,-右,0),41,0,3),則M(3,等［),

:.BM=3,--,-,AD=(-2,-2V3,0),5^=(-2,V3,3)

、22,

設(shè)平面ADE的法向量為n=(xJ,z)

n-AD=0\-2x-2y/3y=0

限而m得舟+3z”取SrEr

設(shè)直線BM與平面4DE所成角為e,

\n-BM\

/.sin8=cos〈歷,8"〉=

四甌萬幣V7-2V3-14

20.【小問1詳解】

因為—2%%+6=0,q=-1

所以-4+64-2(-1+1)(-1+2")+6=0,

所以屋—3d=0,又d>l,

所以d=3,

所以為=3〃-4

(%+%)〃3“2—5〃

所以S“

【小問2詳解】

因為%+c?,。向+4%,%+2+15c“成等比數(shù)列,

所以(+4c“)2=(4+c,,)(a?+2+15c“)，

[nd-1+4c?)2=(-l+nd-d+c“)(-l+〃d+d+15c”)，

1；+(146/-8〃￡/+8)&+/=0,

由已知方程d+(14d-8〃d+8)c“+筋=o的判別式大于等于0,

所以A=(14d-8〃d+8『-4/20,

所以06d-8〃d+8)(12d-8〃d+8)20對于任意的〃eN*恒成立，

所以[("2"-1][(2〃-3附-2]20對于任意的〃€⑹恒成立，

當(dāng)〃=1時，[(〃—2)d—-3)d—2]=(d+l)(d+2)20,

當(dāng)”=2時，由(2d—2d—l)(4d—3d—2)20,可得d<2

當(dāng)〃23時，[(?-2)67-1][(2/7-3)6/-2]>(?-3)(2?-5)>0,

又d〉T

所以1<整2

21.【小問1詳解】

設(shè)0(2百cos0,sin0)是橢圓上任意一點,尸(0,1),則

(1Y144144

|P2|2=12cos2^+(l-sin^)2=13-llsin2^-2sin^=-Usin^+—I,當(dāng)且僅

當(dāng)sine=-1時取等號，故IPQI的最大值是岑口.

【小問2詳解】

設(shè)直線加：y=依+/,直線相方程與橢圓三■+/=]聯(lián)立，可得產(chǎn)+石產(chǎn)+去一片o,設(shè)

4（西，”），8（々,巴）,所以

V.—1|

因為直線以：y=U-X+1與直線y=fX+3交于C,

貝—cXd

(2A+1)%)-1，同理可得，=x2+2y2-2=(2%+以一1,則

4X2

(2/C+1)X2-1

=2舊-----；——V----

女+

[(21)%1—1][(2A+l)x2-?1](2A+1)XjX2—(24+1)(X]+9)+1

3小J16左2+16石川6卜+1兀+16后V[4AX4+1><1J675,

2|3^+1|5伙+1|-5伙+1|5

當(dāng)且僅當(dāng)人=尚時取等號，故2口的最小值為”.

165

22.

【小問1詳解】

e12x-e

/'（X）----+—=--------

2x2x2x2

當(dāng)0<x<],/心)<0；當(dāng)x>],/心)>0,

故“X）的減區(qū)間為/（x）的增區(qū)間為仁,+oo

【小問2詳解】

（i）因為過（。力）有三條不同的切線，設(shè)切點為（冷/（不）），"1，2,3,

故/（%）—6=/'（4）（為一。），

故方程/（力-6=/'（x）（x-。）有3個不同的根，

該方程可整理為白）（刀_4）_2_111刀+6=0,

設(shè)g（x）=：-白（x-a）技Tnx+b,

則g'（x）=9端+/媼

=-J（x-e）（x-a）,

當(dāng)0<x<e或x>a時，g^x)<0；當(dāng)e<x<a時，g'x)>0,

故g(x)在(0，e)，(a，+8)上為減函數(shù)，在(e,4)上為增函數(shù),

因為g(x)有3個不同的零點，故g?<0且g(a)>0,

整理得至1J：。<(+1且6>盤+111。=/(。)，

,a13e

此時彳<丁+]-丁+lna--+-=--Itna

21e)2e\2aJ2e222a

/\3e..(\e-2a八

設(shè)〃⑷=廠^__Ma,則〃⑷=尹<0,

3e

故"a)為(e,+oo)上的減函數(shù)，故〃(a)<Me=0,

22e

(ii)當(dāng)0<a<e時，同(i)中討論可得：

故g(x)在(0,a),(e,+oo)上為減函數(shù)，在(。,e)上為增函數(shù),

不妨設(shè)X1<X2<X3,貝|]°<玉<。<%2<e<》3,

因為g(x)有3個不同的零點，故g(a)<0且g(e)>0,

整理得到:—+l</)<—+ln<7

2e2e'

因為王<々</，故0<玉<"</<€<七，

又g(x)=l-+晏"Tnx+b,

ea/八八,<7+eea,

設(shè)七,廣〃回°，】)，則方程1一下+宏—+。=。即為:

6Z+ez+y-/2+\nt+b=0即為一(加+1)/+￡/4-In/+6=0,

eee

記％=一冉=—，4=一

X/毛

則為-（〃?+1）/+5產(chǎn)+ln，+b=O有三個不同的根,

設(shè)心'=」>—>1/72=—<1

’3x{a

2e-a1e-ae-a2ee-a

要證:一+———<一+高，即證2+—<，+人<-------

e6e~x,x2a6ea6e

13-〃221-/77

即證:---</[+/]<------

6m6

13-7772\—m

’1+'3----------H<0

即證:…3—飛

m6

（加一13）（〃/一加+12）

、c2

即證：4+，3-2---

m36/%&+A）

〃2/77

而一（m+1）4+—+In4+6=0-（冽+1）/3+—+In4+b=0,

故In：Tn/3+式1（加+]）&_g）=o,

2In