河北衡水中學(xué)2023年高考押題試卷理數(shù)(二)(解析版)

河北衡水中學(xué)2023年高考押題試卷理數(shù)試卷〔二〕第一卷一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1.設(shè)集合，，那么〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意可得：，那么集合=.此題選擇B選項.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，那么〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意可得：.3.假設(shè)，，那么的值為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】∵，∴∈〔，〕，

又因為，∴

故sinα=sin[〔〕-]=sin〔〕cos-cos〔〕sin

==,

應(yīng)選A.點睛：三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看〞原那么:一看角，這是重要一環(huán)，通過看角之間的差異與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；二看函數(shù)名稱，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有切化弦；三看結(jié)構(gòu)特征，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如遇到分式要通分等.4.直角坐標(biāo)原點為橢圓：的中心，，為左、右焦點，在區(qū)間任取一個數(shù)，那么事件“以為離心率的橢圓與圓：沒有交點〞的概率為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】滿足題意時，橢圓上的點到圓心的距離：，整理可得，據(jù)此有：，題中事件的概率.此題選擇A選項.5.定義平面上兩條相交直線的夾角為：兩條相交直線交成的不超過的正角.雙曲線：，當(dāng)其離心率時，對應(yīng)雙曲線的漸近線的夾角的取值范圍為〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意可得：，設(shè)雙曲線的漸近線與軸的夾角為，雙曲線的漸近線為，那么，結(jié)合題意相交直線夾角的定義可得雙曲線的漸近線的夾角的取值范圍為.此題選擇D選項.6.某幾何體的三視圖如下圖，假設(shè)該幾何體的體積為，那么它的外表積是〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】由三視圖可知，該幾何體是由四分之三圓錐和一個三棱錐組成的組合體，其中：由題意：，據(jù)此可知：，，，它的外表積是.此題選擇A選項.點睛：三視圖的長度特征：“長對正、寬相等，高平齊〞，即正視圖和側(cè)視圖一樣高、正視圖和俯視圖一樣長，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬．假設(shè)相鄰兩物體的外表相交，外表的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實、虛線的畫法．正方體與球各自的三視圖相同，但圓錐的不同．7.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：判斷的奇偶性，在上的單調(diào)性，計算的值，結(jié)合選項即可得出答案.詳解：設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，排除B；由當(dāng)時，，排除D；因為，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除C，應(yīng)選A.點睛：此題主要考查了函數(shù)圖象的識別，其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的應(yīng)用，試題有一定綜合性，屬于中檔試題，著重考查了分析問題和解答問題的能力.8.二項式的展開式中只有第項的二項式系數(shù)最大，且展開式中的第項的系數(shù)是第項的系數(shù)的倍，那么的值為〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】二項式的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，那么，二項式展開式的通項公式為：，由題意有：，整理可得：.此題選擇D選項.點睛：二項式系數(shù)與展開式項的系數(shù)的異同一是在Tr＋1＝an－rbr中，是該項的二項式系數(shù)，與該項的(字母)系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指，而后者是字母外的局部，前者只與n和r有關(guān)，恒為正，后者還與a，b有關(guān)，可正可負．二是二項式系數(shù)的最值與增減性與指數(shù)n的奇偶性有關(guān)，當(dāng)n為偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值．9.執(zhí)行如圖的程序框圖，假設(shè)輸入的，，，那么輸出的的值為〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】依據(jù)流程圖運行程序，首先初始化數(shù)值，x=0,y=1,n=1，進入循環(huán)體：x=ny=1,y==1，時滿足條件y2≥x，執(zhí)行n=n+1=2，進入第二次循環(huán)，x=ny=2,y==,時滿足條件y2≥x，執(zhí)行n=n+1=3，進入第三次循環(huán)，x=ny=2,y==，時不滿足條件y2≥x，輸出.10.數(shù)列，，且，，那么的值為〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由遞推公式可得：當(dāng)為奇數(shù)時，，數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時，，數(shù)列是首項為2，公差為0的等差數(shù)列，此題選擇C選項.點睛：數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個數(shù)列的各項，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項，再歸納猜測出數(shù)列的一個通項公式；②將遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項．11.函數(shù)的圖象如下圖，令，那么以下關(guān)于函數(shù)的說法中不正確的選項是〔〕A.函數(shù)圖象的對稱軸方程為B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)的圖象上存在點，使得在點處的切線與直線：平行D.方程的兩個不同的解分別為，，那么最小值為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)f〔x〕的圖象求出A、T、ω和的值，寫出f〔x〕的解析式，求出f′〔x〕，寫出g〔x〕＝f〔x〕+f′〔x〕的解析式，再判斷題目中的選項是否正確．【詳解】根據(jù)函數(shù)f〔x〕＝Asin〔ωx+〕的圖象知，A＝2，，∴T＝2π，ω1；根據(jù)五點法畫圖知，當(dāng)x時，ωx+，∴，∴f〔x〕＝2sin〔x〕；∴f′〔x〕＝2cos〔x〕，∴g〔x〕＝f〔x〕+f′〔x〕＝2sin〔x〕+2cos〔x〕＝2sin〔x〕＝2sin〔x〕；令xkπ，k∈Z，解得xkπ，k∈Z，∴函數(shù)g〔x〕的對稱軸方程為xkπ，k∈Z，A正確；當(dāng)x2kπ，k∈Z時，函數(shù)g〔x〕取得最大值2，B正確；g′〔x〕＝2cos〔x〕，假設(shè)函數(shù)g〔x〕的圖象上存在點P〔x0，y0〕，使得在P點處的切線與直線l：y＝3x﹣1平行，那么k＝g′〔x0〕＝2cos〔x0〕＝3，解得cos〔x0〕1，顯然不成立，所以假設(shè)錯誤，即C錯誤；方程g〔x〕＝2，那么2sin〔x〕＝2，∴sin〔x〕，∴x2kπ或x2kπ，k∈Z；∴方程的兩個不同的解分別為x1，x2時，|x1﹣x2|的最小值為，D正確．應(yīng)選：C．【點睛】此題考查了由y＝Asin〔ωx+〕的局部圖象確定解析式，考查了正弦型函數(shù)的性質(zhì)問題，也考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及命題真假的判斷問題，屬于難題．12.函數(shù)，假設(shè)存在三個零點，那么的取值范圍是〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】很明顯，由題意可得：，那么由可得，由題意得不等式：，即：，綜上可得的取值范圍是.此題選擇D選項.點睛：函數(shù)零點的求解與判斷(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．第二卷二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.13.向量，，假設(shè)向量，共線，且，那么的值為__________．【答案】-8【解析】由題意可得：或，那么：或.14.設(shè)點是橢圓上的點，以點為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點，圓與軸相交于不同的兩點、，假設(shè)為銳角三角形，那么橢圓的離心率的取值范圍為__________．【答案】【解析】分析：設(shè)，由題意，從而可求橢圓的離心率的取值范圍.詳解：因為圓與軸相切于焦點，所以圓心與的連線必垂直于軸，不妨設(shè)，因為在橢圓上，那么，所以圓的半徑為，由題意，所以，所以.點睛：此題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為圓錐曲線的離心率的方程是解答的關(guān)鍵．求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．15.設(shè)，滿足約束條件，那么的取值范圍為__________．【答案】【解析】繪制不等式組表示的可行域如下圖，目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)的點與坐標(biāo)原點之間連線的斜率，目標(biāo)函數(shù)在點處取得最大值，在點處取得最小值，那么的取值范圍為.點睛：此題是線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，考查的是非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求法．解決這類問題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，給目標(biāo)函數(shù)賦于一定的幾何意義．16.在平面五邊形中，，，，，，，當(dāng)五邊形的面積時，那么的取值范圍為__________．【答案】【解析】由題意可設(shè)：，那么：，那么：當(dāng)時，面積由最大值；當(dāng)時，面積由最大值；結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：的取值范圍為.三、解答題：解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.數(shù)列的前n項和為〔1〕求數(shù)列的通項公式；〔2〕記，求的前項和【答案】(1);(2).【解析】試題分析：〔1〕首先利用Sn與an的關(guān)系：當(dāng)n=1時，a1=S1，當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1；結(jié)合條件等式推出數(shù)列{an}是等比數(shù)列，由此求得數(shù)列{an}的通項公式；〔2〕，利用裂項求和即可.試題解析：〔1〕當(dāng)時，由及，得，即，解得．又由，①可知，②②-①得，即．且時，適合上式，因此數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，故．〔2〕由〔1〕及，可知，所以，故．18.如下圖的幾何體中，底面為菱形，，，與相交于點，四邊形為直角梯形，，，，平面底面.〔1〕證明：平面平面；〔2〕求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析；〔2〕余弦值為.【解析】【分析】〔1〕先由菱形的性質(zhì)以及面面垂直的性質(zhì)證明平面，從而，再利用勾股定理證明,從而可得平面，進而可得結(jié)果；〔2〕取中點，可證明平面，又在菱形中，，分別以，，的方向為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)，平面的法向量可取為，再利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.【詳解】〔1〕因為底面為菱形，所以，又平面底面，平面平面，因此平面，從而.又，所以平面,由，，，可知，，，，從而，故,又，所以平面.又平面，所以平面平面.〔2〕取中點，由題可知，所以平面，又在菱形中，，分別以，，的方向為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系〔如圖示〕，那么，，，，.所以，，.由〔1〕可知平面，所以平面的法向量可取為,設(shè)平面的法向量為，那么，即，即，令，得，所以.從而.由圖可知，所求二面角的大小為銳角，故所求的二面角的余弦值為.法二：此題也可以連接，，即為所求的二面角的平面角.【點睛】此題主要考查面面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：〔1〕觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；〔2〕寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；〔3〕設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；〔4〕將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；〔5〕根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.19.某校為緩解高三學(xué)生的高考壓力，經(jīng)常舉行一些心理素質(zhì)綜合能力訓(xùn)練活動，經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練后從該年級名學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生進行測試，并將其成績分為、、、、五個等級，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下圖〔視頻率為概率〕，根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，答復(fù)以下問題：〔1〕試估算該校高三年級學(xué)生獲得成績?yōu)榈娜藬?shù)；〔2〕假設(shè)等級、、、、分別對應(yīng)分、分、分、分、分，學(xué)校要求平均分達分以上為“考前心理穩(wěn)定整體過關(guān)〞，請問該校高三年級目前學(xué)生的“考前心理穩(wěn)定整體〞是否過關(guān)？〔3〕為了解心理健康狀態(tài)穩(wěn)定學(xué)生的特點，現(xiàn)從、兩種級別中，用分層抽樣的方法抽取個學(xué)生樣本，再從中任意選取個學(xué)生樣本分析，求這個樣本為級的個數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)等級為的概率為,成績?yōu)榈娜藬?shù)約有;(2)見解析；〔3〕見解析.【解析】試題分析：(1)由頻率分布直方圖估算該校高三年級學(xué)生獲得成績?yōu)榈娜藬?shù)為448；(2)計算平均分可得該校高三年級目前學(xué)生的“考前心理穩(wěn)定整體〞已過關(guān).(3)的可能值為0，1，2，3.由超幾何分布的概率寫出分布列，求得數(shù)學(xué)期望為.試題解析：〔1〕從條形圖中可知這100人中，有56名學(xué)生成績等級為，所以可以估計該校學(xué)生獲得成績等級為的概率為，那么該校高三年級學(xué)生獲得成績?yōu)榈娜藬?shù)約有.〔2〕這100名學(xué)生成績的平均分為，因為，所以該校高三年級目前學(xué)生的“考前心理穩(wěn)定整體〞已過關(guān).〔3〕由題可知用分層抽樣的方法抽取11個學(xué)生樣本，其中級4個，級7個，從而任意選取3個，這3個為級的個數(shù)的可能值為0，1，2，3.那么，，，.因此可得的分布列為：那么.20.橢圓：的離心率為，且過點，動直線：交橢圓于不同的兩點，，且〔為坐標(biāo)原點〕.〔1〕求橢圓的方程；〔2〕討論是否為定值？假設(shè)為定值，求出該定值，假設(shè)不是請說明理由.【答案】(1);(2)2.【解析】試題分析：(1)由題意求得，，故所求的橢圓方程為.(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題意可證得為定值.試題解析：〔1〕由題意可知，所以，即，①又點在橢圓上，所以有，②由①②聯(lián)立，解得，，故所求的橢圓方程為.〔2〕設(shè)，由，可知.聯(lián)立方程組消去化簡整理得，由，得，所以，，③又由題知，即，整理為.將③代入上式，得.化簡整理得，從而得到.21.設(shè)函數(shù).〔1〕試討論函數(shù)的單調(diào)性；〔2〕設(shè)，記，當(dāng)時，假設(shè)方程有兩個不相等的實根，，證明.【答案】〔1〕見解析；〔2〕見解析.【解析】試題分析：(1)求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分類討論可得：①假設(shè)時，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；②假設(shè)時，函數(shù)單調(diào)遞增；③假設(shè)時，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增.(2)構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合新函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的不等式.試題解析：〔1〕由，可知.因為函數(shù)的定義域為，所以，①假設(shè)時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；②假設(shè)時，當(dāng)在內(nèi)恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增；③假設(shè)時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.〔2〕證明：由題可知，所以.所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.欲證，只需證，又，即單調(diào)遞增，故只需證明.設(shè)，是方程的兩個不相等的實根，不妨設(shè)為，那么兩式相減并整理得，從而，故只需證明，即.因為，所以〔*〕式可化為，即.因為，所以，不妨令，所以得到，.記，，所以，