湖北省武漢市睿升學校2022年高三數(shù)學理月考試題含解析

湖北省武漢市睿升學校2022年高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知橢圓的左焦點為與過原點的直線相交于兩點，連接若則的離心率為(

)（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C2.等比數(shù)列中，，則“”是“”的

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：B3.若點為圓的弦的中點，則弦所在直線方程為A． B． C． D．參考答案：C略4.已知等差數(shù)列的前項和為，若且A,B,C三點共線（該直線不過點O），則等于

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D5.若，是第三象限的角，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D由，是第三象限的角，所以，.故選D.

6.若直線=1與圓x2+y2=1有公共點，則（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D．參考答案：D【考點】直線與圓的位置關系．【分析】用圓心到直線的距離小于或等于半徑，可以得到結果．【解答】解：直線與圓有公共點，即直線與圓相切或相交得：d≤r，∴故選D．7.設△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，，則B=A． B． C． D．參考答案：A8.對于函數(shù)：①，②，③，判斷如下兩個命題的真假：命題甲：在區(qū)間上是增函數(shù)；命題乙：在區(qū)間上恰有兩個零點，且；能使命題甲、乙均為真的函數(shù)的序號是

(

)A．①

B．②

C．①③

D．①②參考答案：D略9.拋物線上的點到直線距離的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.若數(shù)列的通項為，則其前項和為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D法1：因為,所以。選D.法2：使用特種法。因為，所以，此時B,.C不成立，排除。。A,,不成立，排除A,所以選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察下列等式：1=++；1=+++；1=++++；…，以此類推，1=++++++，其中m＜n，m，n∈N*，則m﹣n=．參考答案：﹣6【考點】類比推理．【分析】裂項相消，求出m，n，即可得出結論．【解答】解：1=++++++=++﹣+﹣+﹣++=++∴+=∵2＜m＜7，7＜n＜20，m，n∈N*，∴m=6，n=12．∴m﹣n=﹣6．故答案為：﹣6．12.已知，則的值為

參考答案：313.已知i是虛數(shù)單位，且滿足i2=﹣1，a∈R，復數(shù)z=（a﹣2i）（1+i）在復平面內對應的點為M，則“a=1”是“點M在第四象限”的條件（選填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）參考答案：充分不必要【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】把復數(shù)的表示形式寫成標準形式，根據(jù)復數(shù)在第四象限，得到復數(shù)的坐標所滿足的條件，橫標大于零，縱標小于零，得到a的取值范圍，得到結果．【解答】解：∵復數(shù)z=（a﹣2i）（1+i）=a+2+（a﹣2）i，∴在復平面內對應的點M的坐標是（a+2，a﹣2），若點在第四象限則a+2＞0，a﹣2＜0，∴﹣2＜a＜2，∴“a=1”是“點M在第四象限”的充分不必要條件，故答案為：充分不必要．【點評】本題考查條件問題，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查各個象限的點的坐標特點，本題是一個基礎題．14.點A，B是拋物線上的兩點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若，AB中點D到拋物線C的準線的距離為d，則的最大值為_______.參考答案：【分析】過作準線的垂線，垂足分別為，則，在中尋找它們的關系，求出比值的最大值?！驹斀狻咳鐖D，過作準線的垂線，垂足分別為，則，中，，當且僅當時取等號?！啵?，即的最大值為。故答案為：。【點睛】本題考查拋物線的定義，在拋物線中涉及到拋物線上的點到焦點的距離或弦中點到準線的距離，可作出拋物線上點到準線的距離，讓它們進行轉化，象本題，弦中點到準線距離最終轉化為弦的兩頂點到焦點的距離之和，然后在三角形中由余弦定理建立聯(lián)系。15.內接于以為圓心，半徑為的圓，且，則的邊的長度為

.參考答案：略16.在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,則

參考答案：因為∠A:∠B:∠C=1:2:3,則可知A,B,C分別為，根據(jù)直角三角形中邊的比例關系可知，17.設P是雙曲線上的一點，、分別是該雙曲線的左、右焦點，若△的面積為12，則_________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設，求滿足不等式的所有正整數(shù)的值.參考答案：（1）證明：由得，則。代入中，得，即得。所以數(shù)列是等差數(shù)列。………………6分（2）解：因為數(shù)列是首項為，公差為等差數(shù)列，則，則?！?分從而有，故?！?1分則，由，得。即，得。故滿足不等式的所有正整數(shù)的值為2，3，4?！?4分略19.衡陽市為增強市民的環(huán)境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者，現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名后按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場的宣傳活動，則應從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的條件下，該市決定在第3，4組的志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率.參考答案：（1）；（2）.試題分析：（1）根據(jù)分層抽樣方法按比例抽取即可；（2）列舉出從名志愿者中抽取名志愿者有種情況，其中第組的名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有種，進而根據(jù)古典概型概率公式可得結果.1（2）記第3組的3名志愿者為，第4組的2名志愿者為，則從5名志愿者中抽取2名志愿者有，，，，，，，，，，共10種，其中第4組的2名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有，，，，，，，共7種，所以第4組至少有一名志愿都被抽中的概率為.考點：1、分層抽樣的應用；2、古典概型概率公式.20.為響應國家“精準扶貧，產業(yè)扶貧”的戰(zhàn)略，某市面向全市征召《扶貧政策》義務宣傳志愿者，從年齡在[20，45]的500名志愿者中隨機抽取100名，其年齡頻率分布直方圖如圖所示．（1）求圖中x的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在[35，40）歲的人數(shù)；（2）在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取10名參加中心廣場的宣傳活動，再從這10名志愿者中選取3名擔任主要負責人．記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布直方圖．【分析】（1）根據(jù)小矩形的面積等于頻率，而頻率之和等于0．即可得出x，再用頻率×總體容量即可．（2）分層抽樣的方法，從100名志愿者中選取10名；則其中年齡“低于35歲”的人有10×（0.01+0.04+0.07）×5=6名，“年齡不低于35歲”的人有4名．X的可能取值為0，1，2，3，再利用超幾何分布即可得出，再利用數(shù)學期望的計算公式即可得出．【解答】解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質可得：（0.01+0.02+0.04+x+0.07）×5=1，解得x=0.06．估計這500名志愿者中年齡在[35，40）歲的人數(shù)=0.06×5×500=150人．（2）用分層抽樣的方法，從100名志愿者中選取10名，則其中年齡“低于35歲”的人有6名，“年齡不低于35歲”的人有4名．故X的可能取值為0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列為X0123PEX=0×+1×+2×+3×=1.8．21.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]在極坐標系中，點M的坐標為(3，)，曲線C的方程為ρ=2sin(θ+)；以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，斜率為﹣1的直線l經(jīng)過點M．（1）求直線l和曲線C的直角坐標方程；（2）若P為曲線C上任意一點，曲線l和曲線C相交于A、B兩點，求△PAB面積的最大值．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）求出點M的直角坐標為（0，3），從而直線方程為y=﹣x+3，由，能求出曲線C的直角坐標方程．（2）求出圓心（1，1）到直線y=﹣x+3的距離，從而得到圓上的點到直線L的距離最大值，由此能求出△PAB面積的最大值．【解答】解：（1）∵在極坐標系中，點M的坐標為，∴x=3cos=0，y=3sin=3，∴點M的直角坐標為（0，3），∴直線方程為y=﹣x+3，…．由，得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2﹣2x﹣2y=0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2…（2）圓心（1，1）到直線y=﹣x+3的距離，∴圓上的點到直線L的距離最大值為，而弦∴△PAB面積的最大值為．…22.某服裝廠生產一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出場單價就降低0.02元，根據(jù)市場調查，銷售商一次訂購量不會超過600件．(1)設一次訂購x件，服裝的實際出廠單價為p元，寫出函數(shù)p＝f(x)的表達式；(2)當銷售商一次訂購多少件服裝時，該廠獲得的利潤最大？其最大利潤是多少？參考答案：(1)當0＜x≤100時，p＝60；當100＜x≤600時，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.∴p＝(2)設利潤為y元，則當0＜