一元二次方程的各種解法詳解

一元二次方程的解法TOC\o"1-5"\h\z1對于形如X2€p的一元二次方程，能直接開平方的條件是 。2、對于形如(mx?n)€p(p>°，的一元二次方程，也可以用 求解。3用直接開平方法解一元二次方程的理論根據(jù)是平方根的定義，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的。形如X2€p(p>0)的方程的解是x= 。當(dāng)p=0時，x=x= 。12形如(mx+n)€p(p>0，的方程的解為x= 。4、形如C-a,?0的方程可先化成 _的形式，再用直接開平方法mxa2?n€0解?！净A(chǔ)過關(guān)】TOC\o"1-5"\h\z1、下列方程中，適合用直接開平方法解的個數(shù)有 ( )①1X2€1；②6-2)=5；③16+3)€3；④X2€x?3；3 — 4 -⑤3X2-3€X2+1；⑥y2-2y-3€0；⑦X2€x+3。.A、1個 B、2個 C、3個 D、4個2、方程x2-16€0的根是 。3方程(2x+6^2€900的根 4、方程(-2)€169的根 。5、用直接開平方法解下列方程：5、用直接開平方法解下列方程：4Gx—l)-36€0（2）4Gx+1）_9（3x—1）€03）4x2+16x+16=9配方法】用配方法解方程的步驟：1、移項；2、二次項系數(shù)化為1；3、兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方；4、直接開平方求解1．用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：①、X2+6X+ =(x+_)2； ②、X2-5x+_=(x-_)2；③、X2+X+ =(X+_)2； ④、X2-9X+_=(X-_)2TOC\o"1-5"\h\z?將二次三項式2X2-3X-5進(jìn)行配方，其結(jié)果為 ??已知4x2-ax+1可變?yōu)?2x-b)2的形式，則ab= ??將一元二次方程X2-2x-4=0用配方法化成(x+a)2=b的形式為 ??若X2+6x+m2是一完全平方式，則m的值是()A?3B?-3 C.±3 D.以上都不對?用配方法將二次三項式a2-4a+5變形，結(jié)果是()A.(a-2)2+1B.(a+2)2-1C.(a+2)2+1D.(a-2)2-111.用配方法求解下列問題(1)求2x2-7x+2的最小值； (2)求-3x2+5x+1的最大值?！疽蚴椒纸夥ā?、因式分解法：若一元二次方程的一邊是0，而另一邊易于分解成兩個一次因式時，例如心-9二0,這個方程可變形為(x+3)(x-3)二0,要(x+3)(x-3)等于0,必須并且只需(x+3)等于0或(x-3)等于0,因此，解方程(x+3)(x-3)=0就相當(dāng)于解方程x+3=0或x-3

二0了，通過解這兩個一次方程就可得到原方程的解?這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2、因式分解法其解法的關(guān)鍵是將一元二次方程分解降次為一元一次方程其理論根據(jù)是:若AB二0A二0或B=0?例1:用因式分解法解下列方程：⑴y2+7y+6=0; (2)t(2t-1)=3(2t-1); (3)(2x-1)(x-1)=1.例2:用適當(dāng)方法解下列方程:⑴軽(1-x)2=27； (2)X2-6x-19=0; (3)3x2=4x+1;(4)y2-15=2y; (5)5x(x-3)-(x-3)(x+1)=0;(6)4(3x+1)2=25(x-2)2.例3:解關(guān)于x的方程：(a2-b2)X2-4abx二a2-b2.例4:已知X2-xy-2y2==0,且xh0,vh0,求代數(shù)式x22xy5y2的值.x2€2xy€5y25?解關(guān)于x的方程:x2x2-4ax+3a2=1-2a;x2+5x+k2=2kx+5k+6;0．8?已知X2+3X+5的值為9,試求3X2+9X-2的值.10?—跳水運動員從10米高臺上跳水，他跳下的高度h(單位：米)與所用的時間t(單位:秒)的關(guān)系式h=-5(t-2)(t+1)?求運動員起跳到入水所用的時間.11?為解方程(X2-1)2-5(X2-1)+4=0,我們可以將X2-1視為一個整體，然后設(shè)X2-1=y,則y2=(X2-1)2,原方程化為y2-5y+4=0,解此方程，得y]=1,y2=4.當(dāng)y=1時，X2-1=1,X2=2,.?.x=±j2?當(dāng)y=4時，X2-1=4,X2=5,?.x二±j5???原方程的解為X]=-芒,x2=.2，x3=-曲，x4= ?以上方法就叫換元法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.⑴運用上述方法解方程：X4-3X2-4=0.既然可以將X2-1看作一個整體，你能直接運用因式分解法解這個方程嗎？問題：已知ax2+bx+c=0(a/0)且b2-4ac>0,試推導(dǎo)它的兩個根x產(chǎn)—b+"2一4ac,1 2a€b-b2—4acX2=2 2a分析:因為前面具體數(shù)字已做得很多,我們]現(xiàn)在不妨把 a、b、c3也當(dāng)成一個具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去．解：移項，得：ax2+bx二-c二次項系數(shù)化為1,得X2+bx=-Caa配方，得：X2+bX+(2)2=-c+(b)2a 2a a 2a即(x+±)2=b2—4aC2a 4a2vb2-4ac>0且4a2>0.b2一4ac>04a2直接開平方，得：X+b二±M2-4ac2a 2a即x=一b±\:b2一4購2a.x=€b+Jb2—4acx=€b-Jb2—4ac??xi_ ,x2_2a 2a由上可知,—元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)的根由方程的系數(shù)a、b、c而定,因此:(1)解一元二次方程時,可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0,當(dāng)b-4ac>0時，?將a、b、c代入式子x二-bb2-仏就得到方程的根.2a一元二次方程的解卻IJ析【要點綜述】：—元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數(shù)學(xué)的一個重點容，也是學(xué)生今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在沒講一元二次方程的解法之前，先說明一下它與一元一次方程區(qū)別。根據(jù)定義可知，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式為:?！畏匠逃腥齻€特點：⑴只含有一個未知數(shù)；⑵未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(3)是整式方程。因此判斷一個方程是否為一元二次方程，要先看它是否為整式方程，若是，再對它進(jìn)行整理，如能整理為的形式，那么這個方程就是一元二次方程。下面再講一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”,將它化為兩個一元一次方程?！畏匠痰幕窘夥ㄓ兴姆N：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法;4、因式分解法。如下表:方法適合方程類型注意事項直接開平方法時有解,v0時無解。配方法二次項系數(shù)若不為1,必須先把系數(shù)化為1,再進(jìn)行配方。公式法R時，方程有解；＜0時，方程無解。先化為一般形式冉用公式。因式分解法方程的一邊為0,另一邊分解成兩個一次因式的積。方程的一邊必須是0,另一邊可用任何方法分解因式?！九e例解析】例1：已知，解關(guān)于的方程。分析:注意滿足的的值將使原方程成為哪一類方程。解：由得：或，當(dāng)時，原方程為，即，解得.當(dāng)時，原方程為，即，解得，.說明：由本題可見，只有項系數(shù)不為0,且為最高次項時，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，題中對一元二次方程的描述是不完整的，應(yīng)該說明最高次項系婁攵不為0。通常用一般形式描述的一元二次方程更為簡明，即形如的方程叫作關(guān)于的一元二次方程。若本題不給出條件，就必須在整理后對項的字母系數(shù)分情況進(jìn)行討論。例2:用開平方法解下面的一元二次方程。⑴；(2)； (4)分析：直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如的方程，其解為。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)第(1)(2)兩小題中的方程顯然用直接開平方法好做；第(3)題因方程左邊可變?yōu)橥耆椒绞?，右邊?21>0,所以此方程也可用直接開平方法解；第(4)小題，方程左邊可利用平方差公式，然后把常數(shù)移到右邊，即可利用直接開平方法進(jìn)行解答了。解：(1)???(注意不要丟解)由得，由得，??原方程的解為：,(2)由得，由得??原方程的解為：,(3)???原方程的解為：,(4)?,即???原方程的解為：,說明：解一元二次方程時，通常先把方程化為一般式，但如果不要求化為一般式，像本題要求用開平方法直接求解，就不必化成一般式。用開平方法直接求解，應(yīng)注意方程兩邊同時開方時，只需在一邊取正負(fù)號，還應(yīng)注意不要丟解。例3:用配方法解下列一元二次方程。(1)；(2)分析：用配方法解方程，應(yīng)先將常數(shù)移到方程右邊，再將二次項系數(shù)化為1,變?yōu)榈男问健５?1)題可變?yōu)?，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，即：，方程左邊構(gòu)成一個完全平方式，右邊是一個不小于0的常數(shù)，即：，接下去即可利用直接開平方法解答了。第(2)題在配方時應(yīng)特別注意在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方。解：(1)二次項系數(shù)化為1,移常數(shù)項得：，配方得：，即直接開平方得：??原方程的解為：,(2)二次項系數(shù)化為1,移常數(shù)項得：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方得：即直接開平方得：???原方程的解為：,說明：配方是一種基本的變形，解題中雖不常用，但作為一種基本方法要熟練掌握。配方時應(yīng)按下面的步驟進(jìn)行：先把二次項系數(shù)化為1,并把常數(shù)項移到一邊；再在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方。最后變?yōu)橥耆椒绞嚼弥苯娱_平方法即可完成解題任務(wù)。例4:用公式法解下列方程。(1)；(2)分析：用公式法就是指利用求根公式，使用時應(yīng)先把一元二次方程化成一般形式，然后計算判別式的值，當(dāng)＞0時，把各項系數(shù)的值代入求根公式即可得到方程的根。但要注意當(dāng)vO時，方程無解。第(1)小題應(yīng)先移項化為一般式,再計算出判別式的值,判斷解的情況之后，方可確定是否可直接代入求根公式；第(2)小題為了避免分?jǐn)?shù)運算的繁瑣，可變形為，求出判別式的值后，再確定是否可代入求根公式求解。解：(1)化為一般式：求出判別式的值：〉0代入求根公式:,(2)化為一般式：求出判別式的值：〉0說明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到簡單方法時，即考慮化為一般形式后使用公式法。但在應(yīng)用時要先明確公式中字母在題中所表示的量，再求出判別式的值，解得的根要進(jìn)行化簡。例5:用分解因式法解下列方程。(1)；(2)分析：分解因式法是把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。第(1)題已經(jīng)是一般式，可直接對左邊分解因式；第(2)題必須先化簡變?yōu)橐话闶胶笤龠M(jìn)行分解因式。解：(1)左邊分解成兩個因式的積得：于是可得:，(2)化簡變?yōu)橐话闶降茫鹤筮叿纸獬蓛蓚€因式的積得：于是可得：,說明：使用分解因式法時，方程的一邊一定要化為0,這樣才能達(dá)到降次的目的。把方程一邊化為0,把另一邊分解因式的方法可以用于解今后遇到的各類方程。因為這是把方程降次的重要手段之一。從上述例題來看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的方法主要為開平方法和使方程一邊為0,把方程另一邊分解因式，配方，或利用求根公式法。另外，在解一元二次方程時，要先觀察方程是否可以應(yīng)用開平方、分解因式等簡單方法，找不到簡單方法時，即考慮化為一般形式后使用公式法。例6:選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠獭＂牛?2)； (4)分析：第(1)題可變形為，而后利用直接開平方法較為簡便；第(2)題移項后利用分解因式法較為簡便；第(3)題化為一般式后可利用求根公式法解答；第(4)題采取配方法較為簡便。解：(1)整理得：直接開平方得：(2)分解因式得：(3)整理得：求出判別式的值：〉0(4)配方得：直接開平方得:總結(jié)：直接開平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程，在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在使用公式前應(yīng)先計算出判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識時有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的重要的數(shù)學(xué)方法之一。最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般式，同時應(yīng)使二次項系數(shù)化為正數(shù)。因此在解一元二次方程時，首先觀察是