冪函數(shù)與一元二次函數(shù)（精講）（原卷版）

3.5冪函數(shù)與一元二次函數(shù)（精講）一．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1圖象性質(zhì)定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增(－∞，0]上單調(diào)遞減；＋∞)上單調(diào)遞增R上單調(diào)遞增[0，＋∞)上單調(diào)遞增(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減公共點(diǎn)(1，1)二．一元二次函數(shù)1．二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域RR值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)，))上單調(diào)遞增；在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－eq\f(b,2a)對稱3．根與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當(dāng)Δ＝b2－4ac＞0時(shí)，其圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M1(x1，0)，M2(x2，0)，這里的x1，x2是方程f(x)＝0的兩個(gè)根，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(b,a)，,x1·x2＝\f(c,a)，))|M1M2|＝|x1－x2|＝eq\f(\r(Δ),|a|)．一．冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的關(guān)系1.解析式：冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個(gè)參數(shù)α，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式．2.奇偶性:判斷冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的奇偶性時(shí)，當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般將其先化為根式，再判斷．3.單調(diào)性：(1)當(dāng)α＞0時(shí)，函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)當(dāng)α＜0時(shí)，函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．(3)當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，α越大，函數(shù)值越小，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，α越大，函數(shù)值越大．4.對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域．根據(jù)α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．二．一元二次函數(shù)2.二次函數(shù)圖象（1）是看二次項(xiàng)系數(shù)的符號；（2）是看對稱軸和頂點(diǎn)；（3）是看函數(shù)圖象上的一些特殊點(diǎn)．3.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)(1)拋物線的開口方向，對稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論．(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是求定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)．(3)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動．無論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是圖象的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)圖象的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論．4．由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵(1)一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)．(2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離．這兩個(gè)思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min．考法一冪函數(shù)的性質(zhì)【例1-1】（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為冪函數(shù)，則（

）．A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【例1-2】（2023·全國·高三對口高考）給定一組函數(shù)解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【例1-3】（2023·江蘇）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列實(shí)數(shù)可作為值的是（

）A．-2 B． C．2 D．3【一隅三反】1.（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）若函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)與，則m的值為____________．2．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.3．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（

）A． B．是減函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)4．（2023·全國·高三對口高考）已知冪函數(shù)（且p與q互質(zhì)）的圖像如圖所示，則（

）

A．p、q均為奇數(shù)且 B．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且C．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且 D．p為偶數(shù)，q為奇數(shù)且考法二指數(shù)式比較大小【例2】（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B．【一隅三反】1．（2023·河北）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B．C． D．考法三二次函數(shù)性質(zhì)【例3-1】（2023·云南）已知二次函數(shù)滿足，且的最大值是8，則此二次函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【例3-2】（2023·山西）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例3-3】（2023·山東淄博）設(shè)的定義域?yàn)?，對于任意?shí)數(shù)t，則的最小值__________．【一隅三反】1．（2023·廣西）已知（b，c為實(shí)數(shù)），且，，則的解析式為______.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，二次函數(shù)的表達(dá)式為________3．（2023·福建）已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）．A． B．C．或 D．或考法四二次函數(shù)根的分布【例4-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根都大于2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例4-2】（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┮阎P(guān)于x的方程有兩個(gè)正根，那么兩個(gè)根的倒數(shù)和最小值是（

）A．-2 B． C． D．1【例4-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的根，的取值范圍為__．2．（2023·北京）方程的兩根都大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知方程的兩根分別在區(qū)間，之內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．考法五二次函數(shù)成立問題【例5-1】（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測）命題“”為假命題，則命題成立的充分不必要條件是（

） B． C． D．【例5-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）