【解析】廣東省深圳市南山區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

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廣東省深圳市南山區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題(每題3分，共30分)

1．若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件

【解析】【解答】解：由題意得x-3≠0，

解得x≠3.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)分式的分母不能為0，建立不等式，求解即可.

2．下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱及中心對(duì)稱圖形

【解析】【解答】解：A、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，A選項(xiàng)不符合題意；

B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，B選項(xiàng)不符合題意；

C、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，C選項(xiàng)不符合題意；

D、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，D選項(xiàng)符合題意.

故答案為：D.

【分析】把一個(gè)平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)平面圖形，沿著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能與自身重合的圖形就是中心對(duì)稱圖形，根據(jù)定義即可一一判斷得出答案.

3．若，則下列不等式成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】不等式的性質(zhì)

【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴a-5＞b-5，A選項(xiàng)不符合題意；

B、∵a＞b，∴-2a＜-2b，B選項(xiàng)符合題意；

C、∵a＞b，∴a+3＞b+3，∴，C選項(xiàng)不符合題意；

D、當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，a＞b，但a2=1＜b2=4，D選項(xiàng)不符合題意.

故答案為：B.

【分析】不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不改變；不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不改變；不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，據(jù)此可判斷A、B、C三個(gè)選項(xiàng)；利用舉特例的方法可判斷D選項(xiàng).

4．下列從左到右的變形為因式分解的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的定義

【解析】【解答】解：A、從左到右的變形為整式的乘法，不是因式分解，A選項(xiàng)不符合題意；

B、從左到右的變形為整式的乘法，不是因式分解，B選項(xiàng)不符合題意；

C、從左到右的變形，先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止，是因式分解，C選項(xiàng)符合題意；

D、等式的右邊不是整式的乘積形式，所以不是因式分解，D選項(xiàng)不符合題意.

故答案為：C.

【分析】將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積形式的恒等變形，就是因式分解，據(jù)此一一判斷得出答案.

5．（2022八上·長興開學(xué)考）如圖，將直角沿邊的方向平移到的位置，連結(jié)，若14，則的長為（）

A．4B．6C．8D．12

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平移的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵將直角沿邊的方向平移到的位置，

∴AD=CF=BE，

∴AD+CF=AF-CD=14-6=8

∴AD=BE=4.

故答案為：A.

【分析】利用平移的性質(zhì)可證得AD=CF=BE，再根據(jù)AD+CF=AF-CD=2AD，可求出AD的長，即可得到BE的長.

6．如圖，小明從點(diǎn)出發(fā)沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)，向左轉(zhuǎn)后又沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)，再向左轉(zhuǎn)后沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)D…照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)所走的路程為（）

A．100米B．80米C．60米D．40米

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角；正多邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵小明每次都是沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)45度，

∴小明實(shí)際是沿一個(gè)正多邊形走了一周，

∴該正多邊形的邊數(shù)為：360°÷45°=8，

∴他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了8×10=80米.

故答案為：B.

【分析】小明走過的路程是一個(gè)正多邊形的周長，先用360°除以45°求出邊數(shù)，然后再乘以10米即可.

7．如圖，銳角按下列步驟作圖：①在射線OA上取一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑作圓弧DE，交射線OB于點(diǎn)F，連接；②以點(diǎn)F為圓心，CF長為半徑作圓弧，交弧DE于點(diǎn)；③連接FG、CG，作射線OG.根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A．OG=OCB．

C．OF垂直平分CGD．OC=2FG

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；三角形全等的判定（SSS）

【解析】【解答】解：由作法得OC=OF=OG，F(xiàn)G=FC，∴OF垂直平分CG，A、C選項(xiàng)的結(jié)論正確，不符合題意；

∵OC=OG，OF=OF，CF=GF，∴△OCF≌△OGF（SSS），∴∠OCF=∠OGF，B選項(xiàng)正確，不符合題意；

不能證出OC=2CF，由于CF=FG，∴也不能證出OC=2FG，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意.

故答案為：D.

【分析】由作法得OC=OF=OG，F(xiàn)G=FC，據(jù)此可直接判斷A選項(xiàng)；根據(jù)到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上可得點(diǎn)O、F都在線段CG的垂直平分線上，進(jìn)而根據(jù)過兩點(diǎn)有且只有一條直線可得OF是CG的垂直平分線，據(jù)此可判斷C選項(xiàng)；用SSS判斷出△OCF≌△OGF，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得∠OCF=∠OGF，據(jù)此可判斷B選項(xiàng)；不能證出OC=2CF，由于CF=FG，故也不能證出OC=2FG，據(jù)此判斷D選項(xiàng)

8．下列四個(gè)命題中，假命題是（）

A．順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形

B．斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等

C．等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合

D．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高；直角三角形全等的判定（HL）；平行四邊形的判定；真命題與假命題

【解析】【解答】解：A、如圖，四邊形ABCD中，E、F、C、D分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接EF、FG、GH、HE，求證四邊形EFGH是平行四邊形，

連接BD，

∵E、H是AB、AD的中點(diǎn)，

∴EH∥BD，且EH=BD，

∵F、G是BC、CD的中點(diǎn)，

∴FG∥BD，且FG=BD，

∴FG=EH，且FG∥BD，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，故A選項(xiàng)說法正確，是真命題；

B、根據(jù)全等三角形的判定定理HL"可得B選項(xiàng)說法正確，是真命題；

C、根據(jù)等腰三角形的三線合一"等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角的角平分線”互相重合，故C選項(xiàng)的說法錯(cuò)誤，是假命題；

D、如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，且∠B=∠D，求證四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AB∥CD，

∴∠B+∠C=180°，

∵∠B=∠D，

∴∠D+∠C=180°，

∴AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故D選項(xiàng)說法正確，是真命題.

故答案為：C.

【分析】A、畫出示意圖，由三角形中位線定理可得FG=EH，且FG∥BD，進(jìn)而根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判斷此選項(xiàng)；

B、根據(jù)全等三角形的判定定理"HL"可判斷此選項(xiàng)；

C、根據(jù)等腰三角形底邊上的三線合一可判斷此選項(xiàng)；

D、畫出示意圖，由平行線的性質(zhì)及等量代換可得∠D+∠C=180°，再由平行線的判定方法可得AD∥BC，進(jìn)而根據(jù)兩對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判斷此選項(xiàng)

9．如圖，直線與直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】兩一次函數(shù)圖象相交或平行問題

【解析】【解答】解：不等式在圖像上表示直線在直線上方，

由圖像得：當(dāng)x＜-1時(shí)，直線在直線上方；

故答案為：D.

【分析】找出直線在直線上方時(shí)的x的取值范圍即可.

10．某大型超市從生產(chǎn)基地購進(jìn)一批水果，運(yùn)輸過程中質(zhì)量損失，假設(shè)不計(jì)超市其它費(fèi)用，如果超市要想至少獲得的利潤，那么這種水果的售價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)至少提高（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用-銷售問題

【解析】【解答】解：設(shè)購進(jìn)這種水果a千克，進(jìn)價(jià)為b元/千克，這種水果的售價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)提高x元，則售價(jià)為（1+x）×b元/千克.

根據(jù)題意得：購進(jìn)這批水果花費(fèi)ab元，但在售出時(shí)，水果剩下（1-10%）a千克，售貨款為：元，根據(jù)利潤率=（售貨款-進(jìn)貨款）/進(jìn)貨款100%，可列出不等式：，解得；

故選：A.

【分析】設(shè)購進(jìn)這種水果a千克，進(jìn)價(jià)為b元/千克，這種水果的售價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)提高x元，則售價(jià)為（1+x）×b元/千克，根據(jù)題干如果超市要想至少獲得的利潤列不等式求解即可.

二、填空題(每題3分，共15分)

11．（2023·溫州模擬）分解因式：．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】【解答】解：原式=x（y2-4）=x(y+2)(y2)

故答案為：x(y+2)(y2)

【分析】觀察此多項(xiàng)式的特點(diǎn)，有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。

12．關(guān)于的方程的根是正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【答案】a＜-7

【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程

【解析】【解答】解：3x+a=x-7

3x-x=-a-7

2x=-a-7

x=，

∵該方程的解為正數(shù)，

∴，

∴a＜-7，

故答案為：a＜-7.

【分析】求出方程的解，根據(jù)方程的解是正數(shù)得：，解出即可.

13．如圖，在中，繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)，則.

【答案】90°

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到，

∴AB=AD，，

∴∠B=∠ADB=65°，

∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=50°，

∴∠DAF=∠BAC-∠BAD=25°，

∴∠AFD=180°-∠DAF-∠ADF=90°，

故答案為：90°.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：AB=AD，則，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，求出∠BAD，進(jìn)而求出∠DAF，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，求出∠AFD

14．（2022·東營模擬）如圖，在平行四邊形紙片ABCD中，AB＝3，將紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，BC邊與AD邊交于點(diǎn)E，此時(shí)，△CDE恰為等邊三角形，則圖中重疊部分的面積為．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵△CDE恰為等邊三角形，

∴∠AEB’=∠DEC=60°，∠D=∠B=∠B’=60°，

∴△AEB’為等邊三角形，

由四邊形ABCD為平行四邊形，且∠B=60°，

∴∠BAD=120°，所以所以∠B’AE+∠DAB=180°，

∴B’，A，B三點(diǎn)在同一條直線上，

∴AC是對(duì)折線，

∴AC垂直且平分BB’，

∴AB=AB’=AE=3，AE邊上的高，h=CD×sin60°=，

∴面積為.

【分析】先求出AE的長，再求出AE邊上的高，最后利用三角形的面積計(jì)算公式求解即可。

15．如圖，在Rt中，，過點(diǎn)作延長BE到點(diǎn)，使得，連接AD，CD，若，則CD的長為.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定

【解析】【解答】解：過D分別作DG⊥BC于點(diǎn)G，DF⊥BA的延長線于點(diǎn)F，如下圖：

∴∠DGC=90°，

∵∠ABC=90°，

∴四邊形BGDF為矩形，∠BAC+∠ACB=90°，

∴BG=DF，DG=FB，

∵BE⊥AC，

∴∠BAC+ABE=90°，

∴∠ABE=∠ACB，

在△ABC和△DFB中，

∴△ABC≌△DFB（AAS），

∴FD=AB=4，BC=FB，

∴BG=4，

在Rt△FAD中，AD=5，

∴，

∴BF=AB+AF=4+3=7，

∴CG=BC-BG=7-4=3，

在Rt△DCG，，

故答案為：.

【分析】過D分別作DG⊥BC于點(diǎn)G，DF⊥BA的延長線于點(diǎn)F，證明四邊形BGDF為矩形，可得BG=DF，DG=FB，再利用AAS證明△ABC與△DFB全等，可求得DG=7，CG=3，再利用勾股定理求解CD的長.

三、解答題(共55分)

16．

（1）解不等式：

（2）解分式方程：

【答案】（1）解：原不等式可化為：

-3x＜6-3

∴x＞-1

（2）解：原方程可化為：

經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解。

【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程；解一元一次不等式

【解析】【分析】（1）移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，即可求出不等式的解集.

（2）方程兩邊同乘以x-2，將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，從而進(jìn)行求解.

17．解不等式組，并在數(shù)軸上表示它的解集.

【答案】解：

解不等式(1)得：

解不等式(2)得：

∴不等式組的解集為：.

【知識(shí)點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組

【解析】【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法分別解出兩個(gè)不等式，根據(jù)不等式解集的確定方法："同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了"得到不等式組的解集，然后再數(shù)軸上面畫下來即可

18．先化簡，再求值：，其中.

【答案】解：原式=

當(dāng)時(shí)，原式

【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡求值

【解析】【分析】對(duì)于括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行通分，除式分子分母進(jìn)行因式分解，最后在進(jìn)行約分即可.

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.

⑴畫出與關(guān)于軸對(duì)稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵畫出以為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的；

⑶尺規(guī)作圖：連接，在邊上求作一點(diǎn)，使得點(diǎn)到的距離等于的長(保留作圖痕跡，不寫作法)；

⑷請(qǐng)直接寫出的度數(shù)為▲.

【答案】⑴

⑵如圖所示

⑶尺規(guī)作圖如圖所示

⑷

【知識(shí)點(diǎn)】關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；作圖﹣旋轉(zhuǎn)

【解析】【分析】（1）利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可；

（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可；

（3）作的角平分線交于點(diǎn)；

（4）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解

20．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組要在AC上找兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使四邊形BEDF為平行四邊形，現(xiàn)總結(jié)出甲、乙兩種方案如下：

甲方案乙方案

請(qǐng)回答下列問題：

（1）以上方案能得到四邊形BEDF為平行四邊形的是甲方案或乙方案，選擇其中一種并證明，若不能，請(qǐng)說明理由；

（2）若EF=2AE，，求平行四邊形ABCD的面積.

【答案】（1）解：甲方案和乙方案

甲方案，證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，

分別是AO、CO的中點(diǎn)，

，

在和中，

四邊形BEDF是平行四邊形.

乙方案，證明：于點(diǎn)于點(diǎn)，

四邊形ABCD是平行四邊形，

.

在和中，

，

，

四邊形BEDF是平行四邊形.

（2）解：由(1)得，

，

，

，

.

，

，

的面積是48.

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定

【解析】【分析】（1）甲方案，由平行四邊形的性質(zhì)得：AB∥CD，AB=CD，則∠BAE=∠DCF，由AO=CO，E、F分別是AO、CO的中點(diǎn)，得AE=CF，可證明△ABE和△CDF全等，得BE=DF，∠ABE=∠CFD，則∠BEF=∠DFE，則BE∥DF，即可證明四邊形BEDF為平行四邊形；

乙方案，由BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，得BE∥DF，∠ABE=∠CFD=90°，由平行四邊形的性質(zhì)得：AB∥CD，AB=CD，則∠BAE=∠DCF，可證明△ABE和△CDF全等，得BE=DF，即可證明四邊形BEDF為平行四邊形；

（2）由AO=CO，AE=CF，推導(dǎo)OE=OF，則EF=2AE=2OE，則OE=AE=CF=OF，則，則平行四邊形ABCD面積為48.

21．為了方便乘客出行，深圳寶安國際機(jī)場安裝了圖1所示的平地電梯，如圖2是其示意圖，已知電梯AB的長度為200米，小剛和小明兩人不乘電梯在地面勻速行走時(shí)，小剛每分鐘行走的路程是小明的1.2倍，且1.5分鐘后，小剛比小明多行走15米.

（1）求兩人在地面上每分鐘各行走多少米

（2）若兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)在平面電梯上行走，電梯向前行駛的同時(shí)兩人仍保持原來在地面上勻速行走的速度在電梯上行走，當(dāng)小剛到達(dá)B處時(shí)，小明還剩20米才到達(dá)B處.

①求電梯每分鐘行駛多少米

②當(dāng)小剛到達(dá)B處時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一袋行李忘在了點(diǎn)A處，于是馬上以每分鐘a的速度從地面返回A處，拿了行李后立即乘平地電梯(同時(shí)按原來在地面上勻速行走的速度行走)去B處和小明匯合，要使小明到達(dá)B點(diǎn)后等待的時(shí)間不超過4分鐘，求a的最小值.

【答案】（1）設(shè)小明每分鐘行走x米，則小剛每分鐘行走1.2x米，

依題意得：

解得：，

(米/分鐘)

答：小明每分鐘行走50米，小剛每分鐘行走60米.

（2）①設(shè)電梯每分鐘行駛米

則

解得

經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解.

答：電梯每分鐘行駛40米.

②解：依題意有：

解得

的最小值是90，

【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【分析】（1）設(shè)小明在地面上每分鐘行走x米，則小剛在地面上每分鐘行走1.2x米，根據(jù)題干小剛每分鐘行走的路程是小明的1.2倍，且1.5分鐘后，小剛比小明多行走15米，列方程：1.51.2x-1.5x=15，解方程，得到答案.

（2）①設(shè)電梯每分鐘走y米，根據(jù)題干當(dāng)小剛到達(dá)B處時(shí)，小明還剩20米才到達(dá)B處，列方程：，求解即可.

②分別求出小剛和小明乘平地梯從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間，然后根據(jù)題干要使小明到達(dá)B點(diǎn)后等待的時(shí)間不超過4分鐘，列不等式：求解即可.

22．[知識(shí)鏈接]“化歸思想”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的一種探究新知、解決問題的基本的數(shù)學(xué)思想方法，通過“轉(zhuǎn)化、化歸”通?？梢詫?shí)現(xiàn)化未知為已知，化復(fù)雜為簡單，從而使問題得以解決.

在探究平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，學(xué)習(xí)小組利用這種思想方法，發(fā)現(xiàn)并證明了如下有趣結(jié)論，平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和.請(qǐng)你根據(jù)學(xué)習(xí)小組的思路，完成下列問題：

（1）[問題發(fā)現(xiàn)]：如圖1，學(xué)習(xí)小組首先通過對(duì)特殊平行四邊形——矩形(長方形)的研究發(fā)現(xiàn)在矩形ABCD中令A(yù)B=a，BC=b，則可求得AC2+BD2=(用含a、b的式子)；

（2）[問題探究]：如圖2，學(xué)習(xí)小組通過添加輔助線，嘗試將平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形，繼續(xù)對(duì)一般平行四邊形ABCD進(jìn)行研究，如圖：分別過點(diǎn)A、D作BC邊的垂線，請(qǐng)你按照這種思路證明AC2+BD2=2(AB2+BC2)；

（3）[問題拓展]：如圖3，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，已知：AD=3，BC=8，(AB-AC)2=10，請(qǐng)你添加合適的輔助線，構(gòu)造平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求AB·AC的值.

【答案】（1）

（2）證明：如圖②，

作于E，于F，

四邊形ABCD是平行四邊形，

，且，

，

在和中，

在Rt中，由勾股定理，可得

在Rt中，由勾股定理，可得

②

由①②，可得

在Rt△ABE中，由勾股定理，可得

，

（3）解：如圖3，

延長AD至點(diǎn)，使，連接BE、CE

是BC邊上的中線，

.

又，

四邊形ABEC是平行四邊形.

由(2)，可得

【知識(shí)點(diǎn)】四邊形的綜合

【解析】【分析】（1）由矩形ABCD，可得：AC=BD，∠ABC=90°，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=a2+b2，進(jìn)而可得：AC2+BD2=2(a2+b2).

（2）由平行四邊形ABCD，可得：AB=CD，AB∥CD，則∠ABE=∠DCF，證明△ABE和△DCF全等，則CF=BE，DF=AE，由勾股定理得：AC2=AE2+CE2=AE2+(BC-BE)2，BD2=BF2+DF2=(BC+CF)2+DF2，AE2+BE2=AB2，CF2+DF2=CD2，根據(jù)AC2+BD2=AE2+(BC-BE)2+(BC+CF)2+DF2=AE2+BE2+CF2+DF2+2BC2=2AB2+2BC2，作答即可.

（3）如圖3，延長AD到E，使AD=DE，則AE=2AD=6，證明四邊形ABEC是平行四邊形，由(2)知，在平行四邊形中，對(duì)角線平方和等于鄰邊平方和的2倍，則AE2+BC2=2(AB2+AC2)，即62+82=2(AB2+AC2)，解得：AB2+AC2=50，由(AB-AC)2=10，可得AB2-2AB+AC2=10，計(jì)算求解即可.

二一教育在線組卷平臺(tái)（）自動(dòng)生成1/1登錄二一教育在線組卷平臺(tái)助您教考全無憂

廣東省深圳市南山區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題(每題3分，共30分)

1．若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．

2．下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A．B．

C．D．

3．若，則下列不等式成立的是（）

A．B．C．D．

4．下列從左到右的變形為因式分解的是（）

A．

B．

C．

D．

5．（2022八上·長興開學(xué)考）如圖，將直角沿邊的方向平移到的位置，連結(jié)，若14，則的長為（）

A．4B．6C．8D．12

6．如圖，小明從點(diǎn)出發(fā)沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)，向左轉(zhuǎn)后又沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)，再向左轉(zhuǎn)后沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)D…照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)所走的路程為（）

A．100米B．80米C．60米D．40米

7．如圖，銳角按下列步驟作圖：①在射線OA上取一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑作圓弧DE，交射線OB于點(diǎn)F，連接；②以點(diǎn)F為圓心，CF長為半徑作圓弧，交弧DE于點(diǎn)；③連接FG、CG，作射線OG.根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A．OG=OCB．

C．OF垂直平分CGD．OC=2FG

8．下列四個(gè)命題中，假命題是（）

A．順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形

B．斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等

C．等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合

D．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形

9．如圖，直線與直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（）

A．B．C．D．

10．某大型超市從生產(chǎn)基地購進(jìn)一批水果，運(yùn)輸過程中質(zhì)量損失，假設(shè)不計(jì)超市其它費(fèi)用，如果超市要想至少獲得的利潤，那么這種水果的售價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)至少提高（）

A．B．C．D．

二、填空題(每題3分，共15分)

11．（2023·溫州模擬）分解因式：．

12．關(guān)于的方程的根是正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

13．如圖，在中，繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)，則.

14．（2022·東營模擬）如圖，在平行四邊形紙片ABCD中，AB＝3，將紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，BC邊與AD邊交于點(diǎn)E，此時(shí)，△CDE恰為等邊三角形，則圖中重疊部分的面積為．

15．如圖，在Rt中，，過點(diǎn)作延長BE到點(diǎn)，使得，連接AD，CD，若，則CD的長為.

三、解答題(共55分)

16．

（1）解不等式：

（2）解分式方程：

17．解不等式組，并在數(shù)軸上表示它的解集.

18．先化簡，再求值：，其中.

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.

⑴畫出與關(guān)于軸對(duì)稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵畫出以為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的；

⑶尺規(guī)作圖：連接，在邊上求作一點(diǎn)，使得點(diǎn)到的距離等于的長(保留作圖痕跡，不寫作法)；

⑷請(qǐng)直接寫出的度數(shù)為▲.

20．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組要在AC上找兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使四邊形BEDF為平行四邊形，現(xiàn)總結(jié)出甲、乙兩種方案如下：

甲方案乙方案

請(qǐng)回答下列問題：

（1）以上方案能得到四邊形BEDF為平行四邊形的是甲方案或乙方案，選擇其中一種并證明，若不能，請(qǐng)說明理由；

（2）若EF=2AE，，求平行四邊形ABCD的面積.

21．為了方便乘客出行，深圳寶安國際機(jī)場安裝了圖1所示的平地電梯，如圖2是其示意圖，已知電梯AB的長度為200米，小剛和小明兩人不乘電梯在地面勻速行走時(shí)，小剛每分鐘行走的路程是小明的1.2倍，且1.5分鐘后，小剛比小明多行走15米.

（1）求兩人在地面上每分鐘各行走多少米

（2）若兩人同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)在平面電梯上行走，電梯向前行駛的同時(shí)兩人仍保持原來在地面上勻速行走的速度在電梯上行走，當(dāng)小剛到達(dá)B處時(shí)，小明還剩20米才到達(dá)B處.

①求電梯每分鐘行駛多少米

②當(dāng)小剛到達(dá)B處時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一袋行李忘在了點(diǎn)A處，于是馬上以每分鐘a的速度從地面返回A處，拿了行李后立即乘平地電梯(同時(shí)按原來在地面上勻速行走的速度行走)去B處和小明匯合，要使小明到達(dá)B點(diǎn)后等待的時(shí)間不超過4分鐘，求a的最小值.

22．[知識(shí)鏈接]“化歸思想”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的一種探究新知、解決問題的基本的數(shù)學(xué)思想方法，通過“轉(zhuǎn)化、化歸”通常可以實(shí)現(xiàn)化未知為已知，化復(fù)雜為簡單，從而使問題得以解決.

在探究平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，學(xué)習(xí)小組利用這種思想方法，發(fā)現(xiàn)并證明了如下有趣結(jié)論，平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和.請(qǐng)你根據(jù)學(xué)習(xí)小組的思路，完成下列問題：

（1）[問題發(fā)現(xiàn)]：如圖1，學(xué)習(xí)小組首先通過對(duì)特殊平行四邊形——矩形(長方形)的研究發(fā)現(xiàn)在矩形ABCD中令A(yù)B=a，BC=b，則可求得AC2+BD2=(用含a、b的式子)；

（2）[問題探究]：如圖2，學(xué)習(xí)小組通過添加輔助線，嘗試將平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形，繼續(xù)對(duì)一般平行四邊形ABCD進(jìn)行研究，如圖：分別過點(diǎn)A、D作BC邊的垂線，請(qǐng)你按照這種思路證明AC2+BD2=2(AB2+BC2)；

（3）[問題拓展]：如圖3，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，已知：AD=3，BC=8，(AB-AC)2=10，請(qǐng)你添加合適的輔助線，構(gòu)造平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求AB·AC的值.

答案解析部分

1．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件

【解析】【解答】解：由題意得x-3≠0，

解得x≠3.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)分式的分母不能為0，建立不等式，求解即可.

2．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱及中心對(duì)稱圖形

【解析】【解答】解：A、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，A選項(xiàng)不符合題意；

B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，B選項(xiàng)不符合題意；

C、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，C選項(xiàng)不符合題意；

D、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，D選項(xiàng)符合題意.

故答案為：D.

【分析】把一個(gè)平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)平面圖形，沿著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能與自身重合的圖形就是中心對(duì)稱圖形，根據(jù)定義即可一一判斷得出答案.

3．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】不等式的性質(zhì)

【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴a-5＞b-5，A選項(xiàng)不符合題意；

B、∵a＞b，∴-2a＜-2b，B選項(xiàng)符合題意；

C、∵a＞b，∴a+3＞b+3，∴，C選項(xiàng)不符合題意；

D、當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，a＞b，但a2=1＜b2=4，D選項(xiàng)不符合題意.

故答案為：B.

【分析】不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不改變；不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不改變；不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，據(jù)此可判斷A、B、C三個(gè)選項(xiàng)；利用舉特例的方法可判斷D選項(xiàng).

4．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的定義

【解析】【解答】解：A、從左到右的變形為整式的乘法，不是因式分解，A選項(xiàng)不符合題意；

B、從左到右的變形為整式的乘法，不是因式分解，B選項(xiàng)不符合題意；

C、從左到右的變形，先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止，是因式分解，C選項(xiàng)符合題意；

D、等式的右邊不是整式的乘積形式，所以不是因式分解，D選項(xiàng)不符合題意.

故答案為：C.

【分析】將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積形式的恒等變形，就是因式分解，據(jù)此一一判斷得出答案.

5．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平移的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵將直角沿邊的方向平移到的位置，

∴AD=CF=BE，

∴AD+CF=AF-CD=14-6=8

∴AD=BE=4.

故答案為：A.

【分析】利用平移的性質(zhì)可證得AD=CF=BE，再根據(jù)AD+CF=AF-CD=2AD，可求出AD的長，即可得到BE的長.

6．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角；正多邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵小明每次都是沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)45度，

∴小明實(shí)際是沿一個(gè)正多邊形走了一周，

∴該正多邊形的邊數(shù)為：360°÷45°=8，

∴他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了8×10=80米.

故答案為：B.

【分析】小明走過的路程是一個(gè)正多邊形的周長，先用360°除以45°求出邊數(shù)，然后再乘以10米即可.

7．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；三角形全等的判定（SSS）

【解析】【解答】解：由作法得OC=OF=OG，F(xiàn)G=FC，∴OF垂直平分CG，A、C選項(xiàng)的結(jié)論正確，不符合題意；

∵OC=OG，OF=OF，CF=GF，∴△OCF≌△OGF（SSS），∴∠OCF=∠OGF，B選項(xiàng)正確，不符合題意；

不能證出OC=2CF，由于CF=FG，∴也不能證出OC=2FG，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意.

故答案為：D.

【分析】由作法得OC=OF=OG，F(xiàn)G=FC，據(jù)此可直接判斷A選項(xiàng)；根據(jù)到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上可得點(diǎn)O、F都在線段CG的垂直平分線上，進(jìn)而根據(jù)過兩點(diǎn)有且只有一條直線可得OF是CG的垂直平分線，據(jù)此可判斷C選項(xiàng)；用SSS判斷出△OCF≌△OGF，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得∠OCF=∠OGF，據(jù)此可判斷B選項(xiàng)；不能證出OC=2CF，由于CF=FG，故也不能證出OC=2FG，據(jù)此判斷D選項(xiàng)

8．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高；直角三角形全等的判定（HL）；平行四邊形的判定；真命題與假命題

【解析】【解答】解：A、如圖，四邊形ABCD中，E、F、C、D分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接EF、FG、GH、HE，求證四邊形EFGH是平行四邊形，

連接BD，

∵E、H是AB、AD的中點(diǎn)，

∴EH∥BD，且EH=BD，

∵F、G是BC、CD的中點(diǎn)，

∴FG∥BD，且FG=BD，

∴FG=EH，且FG∥BD，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，故A選項(xiàng)說法正確，是真命題；

B、根據(jù)全等三角形的判定定理HL"可得B選項(xiàng)說法正確，是真命題；

C、根據(jù)等腰三角形的三線合一"等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角的角平分線”互相重合，故C選項(xiàng)的說法錯(cuò)誤，是假命題；

D、如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，且∠B=∠D，求證四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AB∥CD，

∴∠B+∠C=180°，

∵∠B=∠D，

∴∠D+∠C=180°，

∴AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，故D選項(xiàng)說法正確，是真命題.

故答案為：C.

【分析】A、畫出示意圖，由三角形中位線定理可得FG=EH，且FG∥BD，進(jìn)而根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判斷此選項(xiàng)；

B、根據(jù)全等三角形的判定定理"HL"可判斷此選項(xiàng)；

C、根據(jù)等腰三角形底邊上的三線合一可判斷此選項(xiàng)；

D、畫出示意圖，由平行線的性質(zhì)及等量代換可得∠D+∠C=180°，再由平行線的判定方法可得AD∥BC，進(jìn)而根據(jù)兩對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判斷此選項(xiàng)

9．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】兩一次函數(shù)圖象相交或平行問題

【解析】【解答】解：不等式在圖像上表示直線在直線上方，

由圖像得：當(dāng)x＜-1時(shí)，直線在直線上方；

故答案為：D.

【分析】找出直線在直線上方時(shí)的x的取值范圍即可.

10．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用-銷售問題

【解析】【解答】解：設(shè)購進(jìn)這種水果a千克，進(jìn)價(jià)為b元/千克，這種水果的售價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)提高x元，則售價(jià)為（1+x）×b元/千克.

根據(jù)題意得：購進(jìn)這批水果花費(fèi)ab元，但在售出時(shí)，水果剩下（1-10%）a千克，售貨款為：元，根據(jù)利潤率=（售貨款-進(jìn)貨款）/進(jìn)貨款100%，可列出不等式：，解得；

故選：A.

【分析】設(shè)購進(jìn)這種水果a千克，進(jìn)價(jià)為b元/千克，這種水果的售價(jià)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)提高x元，則售價(jià)為（1+x）×b元/千克，根據(jù)題干如果超市要想至少獲得的利潤列不等式求解即可.

11．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】【解答】解：原式=x（y2-4）=x(y+2)(y2)

故答案為：x(y+2)(y2)

【分析】觀察此多項(xiàng)式的特點(diǎn)，有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。

12．【答案】a＜-7

【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程

【解析】【解答】解：3x+a=x-7

3x-x=-a-7

2x=-a-7

x=，

∵該方程的解為正數(shù)，

∴，

∴a＜-7，

故答案為：a＜-7.

【分析】求出方程的解，根據(jù)方程的解是正數(shù)得：，解出即可.

13．【答案】90°

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到，

∴AB=AD，，

∴∠B=∠ADB=65°，

∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=50°，

∴∠DAF=∠BAC-∠BAD=25°，

∴∠AFD=180°-∠DAF-∠ADF=90°，

故答案為：90°.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：AB=AD，則，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，求出∠BAD，進(jìn)而求出∠DAF，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，求出∠AFD

14．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵△CDE恰為等邊三角形，

∴∠AEB’=∠DEC=60°，∠D=∠B=∠B’=60°，

∴△AEB’為等邊三角形，

由四邊形ABCD為平行四邊形，且∠B=60°，

∴∠BAD=120°，所以所以∠B’AE+∠DAB=180°，

∴B’，A，B三點(diǎn)在同一條直線上，

∴AC是對(duì)折線，

∴AC垂直且平分BB’，

∴AB=AB’=AE=3，AE邊上的高，h=CD×sin60°=，

∴面積為.

【分析】先求出AE的長，再求出AE邊上的高，最后利用三角形的面積計(jì)算公式求解即可。

15．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定

【解析】【解答】解：過D分別作DG⊥BC于點(diǎn)G，DF⊥BA的延長線于點(diǎn)F，如下圖：

∴∠DGC=90°，

∵∠ABC=90°，

∴四邊形BGDF為矩形，∠BAC+∠ACB=90°，

∴BG=DF，DG=FB，

∵BE⊥AC，

∴∠BAC+ABE=90°，

∴∠ABE=∠ACB，

在△ABC和△DFB中，

∴△ABC≌△DFB（AAS），

∴FD=AB=4，BC=FB，

∴BG=4，

在Rt△FAD中，AD=5，

∴，

∴BF=AB+AF=4+3=7，

∴CG=BC-BG=7-4=3，

在Rt△DCG，，

故答案為：.

【分析】過D分別作DG⊥BC于點(diǎn)G，DF⊥BA的延長線于點(diǎn)F，證明四邊形BGDF為矩形，可得BG=DF，DG=FB，再利用AAS證明△ABC與△DFB全等，可求得DG=7，CG=3，再利用勾股定理求解CD的長.

16．【答案】（1）解：原不等式可化為：

-3x＜6-3

∴x＞-1

（2）解：原方程可化為：

經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解。

【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程；解一元一次不等式

【解析】【分析】（1）移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，即可求出不等式的解集.

（2）方程兩邊同乘以x-2，將分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，從而進(jìn)行求解.

17．【答案】解：

解不等式(1)得：

解不等式(2)得：

∴不等式組的解集為：.

【知識(shí)點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組

【解析】【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法分別解出兩個(gè)不等式，根據(jù)不等式解集的確定方法："同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了"得到不等式組的解集，然后再數(shù)軸上面畫下來即可

18．【答案】解：原式=

當(dāng)時(shí)，原式

【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡求值

【解析】【分析】對(duì)于括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行通分，除式分子分母進(jìn)行因式分解，最后在進(jìn)行約分即可.

19．【答案】⑴

⑵如圖所示

⑶尺規(guī)作圖如圖所示

⑷

【知識(shí)點(diǎn)】關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；作圖﹣旋轉(zhuǎn)

【解析】【分析】（1）利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可；