2023屆廣東省汕頭金中、湛江一中、東莞東華、廣州六中四校高三（下）聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023屆廣東省汕頭金中、湛江一中、東莞東華、廣州六中四校高三（下）聯(lián)考數(shù)學(xué)試題1.已知集合，，則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：交集一元二次不等式的解法答案：C解析：由可得解得，

因?yàn)椋?，所以?/p>

又由解得，所以，

所以，

故選.2.若復(fù)數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的除法答案：C解析：因復(fù)數(shù)滿足，則，

所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則，

故選.3.已知按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：；乙組：，若這兩組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)?第百分位數(shù)都分別對(duì)應(yīng)相等，則等于（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：總體百分位數(shù)的估計(jì)答案：A解析：根據(jù)百分位數(shù)的定義，求出的值即可得答案

因?yàn)椋?/p>

甲組：第百分位數(shù)為，第百分位數(shù)為，

乙組：第百分位數(shù)為，第百分位數(shù)為，

由已知得：，，解得，

所以，

故選.4.在等比數(shù)列中，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（

）A.

或

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與極值等比數(shù)列的性質(zhì)答案：C解析：因?yàn)?，所?/p>

又因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，

即是方程的兩根，則有，

由為等比數(shù)列可知：，因?yàn)?，且?/p>

所以，則有，所以，

故選.5.沙漏是我國古代的一種計(jì)時(shí)工具，是用兩個(gè)完全相同的圓錐頂對(duì)頂疊放在一起組成的（如圖）．在一個(gè)圓錐中裝滿沙子，放在上方，沙子就從頂點(diǎn)處漏到另一個(gè)圓錐中，假定沙子漏下來的速度是恒定的．已知一個(gè)沙漏中沙子全部從一個(gè)圓錐中漏到另一個(gè)圓錐中需用時(shí)分鐘．設(shè)經(jīng)過分鐘沙漏上方圓錐中的沙子的高度與下方圓錐中的沙子的高度恰好相等（假定沙堆的底面是水平的），則的值為（

）

A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積立體幾何中的實(shí)際應(yīng)用答案：D解析：因?yàn)樯陈┥戏綀A錐中的沙子的高度與下方圓錐中的沙子的高度恰好相等

所以上方圓錐的空白部分就是下方圓錐中的沙子部分，且上方沙漏中沙子的高度為一個(gè)沙漏的高的一半，

所以可以單獨(dú)研究上方圓錐，其高度為一個(gè)圓錐的一半，沙子形成的圓面的半徑為圓錐底面圓半徑的一半，

設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，

則上方沙子的體積為，

所以，上方此時(shí)剩的沙子占總沙子的，下方圓錐中的沙子占總沙子的

因?yàn)橐粋€(gè)沙漏中沙子全部從一個(gè)圓錐中漏到另一個(gè)圓錐中需用時(shí)分鐘，

所以，當(dāng)?shù)纳匙訌囊粋€(gè)沙漏中漏到另一個(gè)沙漏中，需要分鐘，

所以，經(jīng)過分鐘沙漏上方圓錐中的沙子的高度與下方圓錐中的沙子的高度恰好相等

故選.6.設(shè)，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于，兩點(diǎn)，且，（如圖），則該雙曲線的離心率為（

）

A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的離心率答案：A解析：不妨設(shè)圓與相交，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

聯(lián)立，

得，

又且，

所以，

所以由余弦定理得：，

化簡(jiǎn)得，

所以，

所以

故選.7.若存在常數(shù)，使得函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意值均有，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)稱為準(zhǔn)奇函數(shù)現(xiàn)有準(zhǔn)奇函數(shù)，對(duì)于，，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和為（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的新定義問題函數(shù)的對(duì)稱性函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用答案：B解析：令，則，

關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；

令，

則，

關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；

，，

設(shè)在處取得最大值，則在處取得最小值

，

，即的最大值與最小值的和為

故選.8.設(shè)，，，（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性利用函數(shù)單調(diào)性比較大小答案：C解析：記，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上，所以

又單調(diào)遞增，所以

所以，即

而由二項(xiàng)式定理得：，

對(duì)于、，由，

記，則，

所以在上單調(diào)遞增，所以所以，所以

綜上所述：

故選.總結(jié)：比較大?。?/p>

（）結(jié)構(gòu)相同的，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；

（）結(jié)構(gòu)不同的，尋找中間橋梁，通常與、比較；

（）根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，比較大小9.若直線與圓相切，則下列說法正確的是（

）A.

B.

數(shù)列為等比數(shù)列C.

數(shù)列的前項(xiàng)和為

D.

圓不可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的定義與證明直線和圓相切等差數(shù)列的前項(xiàng)和的應(yīng)用答案：A；C解析：圓的圓心為，半徑，

由直線與圓相切得，，

，，

是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，

前項(xiàng)和為；

令，解得，此時(shí)圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)

綜上所述，選項(xiàng)正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤

故選.10.定義行列式，若函數(shù)，則下列表述正確的是（

）A.

的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱

B.

的圖像關(guān)于軸對(duì)稱C.

在區(qū)間上單調(diào)遞增

D.

最小正周期為知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的新定義問題輔助角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式函數(shù)的圖象及性質(zhì)答案：C；D解析：由題意，

對(duì)于，將點(diǎn)代入解析式得：，所以不是中心對(duì)稱點(diǎn)，錯(cuò)誤；

對(duì)于，令，則，所以軸不是對(duì)稱軸，錯(cuò)誤；

對(duì)于，時(shí)，，根據(jù)的性質(zhì)知是增函數(shù)，正確；

對(duì)于，由的解析式知，正確；

故選.11.如圖所示，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，、分別是與，軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系為斜坐標(biāo)系，若，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量的斜坐標(biāo)，記為在的斜坐標(biāo)系中，，則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）

A.

B.

C.

D.

在上的投影向量為知識(shí)點(diǎn)：共線向量基本定理向量坐標(biāo)與向量的數(shù)量積投影向量（投影）答案：B；C；D解析：由題意得：，，

對(duì)于項(xiàng)，?，

由題意得：，故正確；

對(duì)于項(xiàng)，，

，故不正確；

對(duì)于項(xiàng)，

?，故項(xiàng)不正確；

對(duì)于項(xiàng)，在上的投影向量為：，

又，，

，故不正確

故選12.已知函數(shù)，若存在使得，則的取值可以是（

）A.

B.

C.

D.

知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的對(duì)稱性函數(shù)零點(diǎn)的值或范圍問題答案：B；C解析：因?yàn)椋?/p>

所以與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，

作出的圖象如圖所示，

所以，由，即，

所以，所以，

因?yàn)?，所以，得?/p>

所以，

設(shè)，所以，

因?yàn)殡p勾函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，

所以，

所以，

結(jié)合選項(xiàng)可能的取值有，

故選13.若，則

?.知識(shí)點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的綜合應(yīng)用二倍角的正弦、余弦、正切公式答案：解析：

故答案為.14.已知等邊的內(nèi)接于圓，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的最大值是

?.知識(shí)點(diǎn)：數(shù)量積的運(yùn)算律向量的線性運(yùn)算答案：解析：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，向量的夾角為，

因?yàn)榈冗厓?nèi)接于圓，所以點(diǎn)在上，且，

所以，

所以當(dāng)，即點(diǎn)為的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)，取最大值，

故答案為：．

15.已知，設(shè)，

?.知識(shí)點(diǎn)：組合數(shù)及其性質(zhì)展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)答案：解析：因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)椋?/p>

令，則，

而的展開通項(xiàng)為，

所以當(dāng)時(shí)，

故答案為：.16.設(shè)，，分別是棱長(zhǎng)為的正方體的棱，，的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且不與重合，且，，，在同一個(gè)表面積為的球面上，記三棱錐的體積為，則的最小值是

?.知識(shí)點(diǎn)：與球有關(guān)的切、接問題空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式導(dǎo)數(shù)與最值球的表面積棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積答案：解析：設(shè)，，，所在球面球心為，取中點(diǎn)，連接，，，

則為外接圓圓心，平面，

以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，

設(shè)，，

則由可得，，

整理得，

則，

令，則或，

則，或，

令，

則，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

則當(dāng)時(shí)，取得最小值，，則的最小值是.

17.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角的大小；(2)若，求的取值范圍．知識(shí)點(diǎn)：正弦定理及其應(yīng)用三角恒等變換綜合應(yīng)用函數(shù)的圖象及性質(zhì)兩角和與差的正弦公式答案：(1)由正弦定理得：，

，

，，，.(2)由正弦定理得：，，，

?；

為銳角三角形，，即，，

，，，

即的取值范圍為.解析：(1)略(2)略18.已知數(shù)列，時(shí)，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.知識(shí)點(diǎn)：數(shù)列的前n項(xiàng)和錯(cuò)位相減法求和數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的應(yīng)用答案：(1)因?yàn)椋?/p>

所以當(dāng)時(shí)，，②

①②可得，

所以，

當(dāng)時(shí)，滿足上式，

所以.(2)因?yàn)椋?/p>

且為各項(xiàng)非零，所以，

所以，

所以，，

所以，

所以.解析：(1)略(2)略19.數(shù)獨(dú)是源自世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行?每一列?每一個(gè)粗線宮()內(nèi)的數(shù)字均含，不重復(fù).數(shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽.(1)賽前小明在某數(shù)獨(dú)上進(jìn)行一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天的解題平均速度(秒與訓(xùn)練天數(shù)(天有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如表的數(shù)據(jù)：(天(秒現(xiàn)用作為回歸方程模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測(cè)小明經(jīng)過天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度約為多少秒？

參考數(shù)據(jù)(其中參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線?的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.(2)小明和小紅在數(shù)獨(dú)上玩對(duì)戰(zhàn)賽，每局兩人同時(shí)開始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，兩人約定先勝局者贏得比賽若小明每局獲勝的概率為，已知在前局中小明勝局，小紅勝局若不存在平局，請(qǐng)你估計(jì)小明最終贏得比賽的概率知識(shí)點(diǎn)：線性回歸模型的最小二乘法相互獨(dú)立事件的概率答案：(1)由題意，，

令，設(shè)關(guān)于的線性回歸方程為，則

，

則

，

又，關(guān)于的回歸方程為，

故時(shí)，

經(jīng)過天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度約為秒；(2)設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局小明最終獲得比賽，則最后一局一定是小明獲勝，

由題意知，最多再進(jìn)行局就有勝負(fù)

當(dāng)時(shí)，小明勝，

；

當(dāng)時(shí)，小明勝，

；

當(dāng)時(shí)，小明勝，

小明最終贏得比賽的概率為解析：(1)略(2)略20.已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)棱平面，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是在棱上的動(dòng)點(diǎn)（不為端點(diǎn)）（如圖所示）

(1)若是棱中點(diǎn)，①畫出的重心（保留作圖痕跡），指出點(diǎn)與線段的關(guān)系，并說明理由；②求證：平面；(2)若四邊形是正方形，且，當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，直線與平面所成角的正弦值取最大值.知識(shí)點(diǎn)：立體幾何中的探索問題用空間向量研究直線與平面所成的角直線與平面平行的判定定理答案：(1)①設(shè)與交點(diǎn)為，連接與交于點(diǎn)，

因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，

所以與交點(diǎn)為重心，

所以，

又因?yàn)闉榈倪叺闹芯€，

所以點(diǎn)也為的重心，即重心在上②連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)闉橹匦?，所以?/p>

又因?yàn)椋?/p>

所以，

又因?yàn)槠矫?，平面?/p>

所以平面；(2)因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以?/p>

平面，平面，所以，

所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，

所以，，

設(shè)，則，

.

設(shè)平面的法向量為，

，化簡(jiǎn)得，

取則，

設(shè)直線與平面所成角為，

所以，

所以當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)在線段靠近的三等分點(diǎn)處時(shí)，

直線與平面所成角的正弦值取最大值為.解析：(1)①略②略(2)略21.如圖，橢圓：與圓：相切，并且橢圓上動(dòng)點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)間距離最大值為

?(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，與交于兩點(diǎn)，與圓的另一交點(diǎn)為，求面積的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的方程.知識(shí)點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直線與圓的方程的應(yīng)用直線與橢圓的綜合應(yīng)用與圓有關(guān)的最值問題圓錐曲線的最值（范圍）問題答案：(1)橢圓與圓：相切，知；

又橢圓上動(dòng)點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)間距離最大值為，即橢圓中心到橢圓最遠(yuǎn)距離為，

得橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，即；

所以橢圓的方程：(2)①當(dāng)與軸重合時(shí)，與圓相切，不合題意．

②當(dāng)軸時(shí)，（，），：＝，，此時(shí)．

③當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇也粸闀r(shí)，設(shè)：＝，，則，

設(shè)（，），（，），由得，，

所以，

所以．

由得，，解得，

所以，

所以，

因?yàn)?，所以?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以（），

綜上，面積的