概率論專業(yè)知識(shí)講座

隨機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)講課教師：王峰1/352第一章隨機(jī)事件及概率

隨機(jī)事件隨機(jī)事件概率等也許概型條件概率事件獨(dú)立性2/353§1.1隨機(jī)事件1.1.1隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下，事先不能斷定會(huì)出現(xiàn)哪種成果，這種現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。例：拋一枚硬幣，觀測(cè)出現(xiàn)正面或背面情況。3/354（3）試驗(yàn)中能夠預(yù)知一切也許出現(xiàn)成果。

－－必然性（統(tǒng)計(jì)規(guī)律性）隨機(jī)試驗(yàn)必需滿足：（1）在相同條件下，能夠進(jìn)行大量反復(fù)試驗(yàn)。

――可反復(fù)性（2）每次試驗(yàn)中能夠出現(xiàn)不一樣成果，但不能

預(yù)知發(fā)生哪種成果。――偶爾性隨機(jī)試驗(yàn)一般用字母E表達(dá)。4/355例1E1：擲一枚硬幣，觀測(cè)其正面（H）和背面（T）出現(xiàn)情況。例2E2：從具有2個(gè)黑球和3個(gè)白球盒子中任意地取出3個(gè)球，觀測(cè)取出球顏色組合。例3E3：統(tǒng)計(jì)某網(wǎng)站在1分鐘內(nèi)點(diǎn)擊次數(shù)。例4E4：觀測(cè)某廠生產(chǎn)燈泡使用壽命t。5/356隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)E中也許發(fā)生也也許不發(fā)生

事件稱為該試驗(yàn)隨機(jī)事件（簡(jiǎn)稱事件）

一般用大寫字母A、B、C等表達(dá)。

基本事件：試驗(yàn)E每一種也許成果稱為一種基本事

件，一般用ω表達(dá)。樣本空間：基本事件全體組成集合稱為該試驗(yàn)樣本空間。

1.1.2隨機(jī)事件6/357必然事件：每次試驗(yàn)中必然發(fā)生事件稱為必然事件，記為Ω。不也許事件：每次試驗(yàn)中不也許發(fā)生事件稱為不也許事件，記為Φ。7/358（2）基本事件是事件一種，一般事件是由若干

個(gè)基本事件共同組成，因而是樣本空間子

集，一般又稱其為復(fù)合事件。（3）隨機(jī)事件另一種定義：樣本空間Ω某個(gè)子

集。事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)中出現(xiàn)A某個(gè)基

本事件。（1）樣本空間組成是由試驗(yàn)條件和觀測(cè)目標(biāo)

所決定。注意8/3591.1.3事件之間關(guān)系及其運(yùn)算

定義：若事件A發(fā)生必造成事件B發(fā)生，則稱

事件B包括事件A。記為:B

A。

（1）包括推論：定義：事件A，B最少有一種發(fā)生，稱為事

件A與B并（或和），記為A∪B或

A+B（2）并9/3510定義：事件A，B同步發(fā)生，稱為事件A與B

交（或積），記為A∩B（或AB）。

(3)交定義：若A∪B＝Ω，AB＝Ф，則稱A、B為

互相對(duì)立事件（簡(jiǎn)稱互逆），事件A

逆事件記為。(4)對(duì)立(逆)定義：事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生稱為A與B

差。記為A－B。

(5)差

10/3511定義：若事件A、B不能同步發(fā)生，即AB＝Ф，則稱事件A、B是互不相容事件。結(jié)論：互不相容事件沒有公共基本事件。

任何兩個(gè)基本事件都是互不相容。

(6)互不相容

A、B互逆A、B互不相容；

A、B互不相容A、B互逆。

11/3512交換律：A∪B＝B∪A，AB＝BA結(jié)合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，(AB)C＝A(BC)分派律：(AB)∪C＝(A∪C)·(B∪C)，(A∪B)C＝(AC)∪(BC)

（7）事件運(yùn)算規(guī)律德摩根公式（對(duì)偶公式）12/3513例1、在一種口袋里裝有紅、黃、白三種球，每種球都不止一種，一次任取兩個(gè)球，觀測(cè)它們顏色。設(shè)A＝{兩個(gè)同色球}，B＝{最少一種紅色球}，問A∪B由哪些基本事件組成？13/3514例2、設(shè)A、B、C為三個(gè)事件，試將下列事件用A、

B、C表達(dá)出來。（1）三個(gè)事件都發(fā)生；（2）三個(gè)事件都不發(fā)生；（3）三個(gè)事件最少有一種發(fā)生；（4）A發(fā)生，B、C不發(fā)生；（5）A、B都發(fā)生，C不發(fā)生；（6）三個(gè)事件中最少有兩個(gè)發(fā)生；（7）不多于一種事件發(fā)生；（8）不多于兩個(gè)事件發(fā)生。

14/3515§1.2隨機(jī)事件概率1.2.1事件頻率定義：假如在n次反復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生了nA次，那么就稱比值為事件A發(fā)生頻率，其中nA稱為在這n次試驗(yàn)中A發(fā)生頻數(shù)。15/3516（1）對(duì)任意事件A，。（2）。（3）對(duì)任意有限多種互不相容事件A1,A2,…,

Am,有。說明1）事件A發(fā)生也許性愈大等價(jià)于其頻率愈大；

2）頻率有穩(wěn)定性，即當(dāng)n很大時(shí)，頻率在一種常

數(shù)值附近擺動(dòng)。頻率性質(zhì)：16/35171.2.2概率定義（1）概率統(tǒng)計(jì)定義定義1：在同一組條件下所作大量反復(fù)試驗(yàn)中，假如事件A發(fā)生頻率總是在一種確定常數(shù)p附近擺動(dòng)，并且逐漸趨向于p，那么數(shù)p就表達(dá)事件A發(fā)生也許性大小，并稱它為事件A概率，記作。17/3518（2）概率公理化定義定義2：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，Ω是E樣本空間，對(duì)于E每一種事件A對(duì)應(yīng)一種實(shí)數(shù)值，記為，稱為事件A概率，

假如集合函數(shù)滿足下列條件（概率三條基本性質(zhì)）：（1）非負(fù)性：（2）規(guī)范性：（3）可列可加性：是互不相容事件，則有：

18/35概率性質(zhì)推論：“加奇減偶標(biāo)準(zhǔn)”1919/3520§1.3古典概型（等也許概型）模型假如一種隨機(jī)試驗(yàn)E具有下面兩個(gè)特性，則稱為古典概型。（1）樣本空間只有有限個(gè)基本事件；（2）每個(gè)基本事件發(fā)生也許性相同。在古典概型中，若樣本空間包括基本事件總數(shù)為n，其中事件A包括基本事件個(gè)數(shù)為mA，則事件A概率為

古典概型中概率計(jì)算20/3521/3522/3523例1盒中有a個(gè)黑球，b個(gè)白球，從中分不放回

和有放回地抽取n個(gè)球，求

事件A：“剛好取到k個(gè)黑球”概率。

例2(抽簽公平性)盒中有a個(gè)黑球，b個(gè)白球，

每次任取1個(gè)球（不放回），求

事件A：“第k（1≤k≤a＋b）次取到黑

球”概率。

23/3524例3一盒中具有N－1個(gè)黑球，一種白球，每次從盒中隨機(jī)地取一只球，并還入一只黑球，這樣繼續(xù)下去，求事件A：“第k次取到黑球”概率。

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§1.4條件概率與乘法公式1.4.1條件概率在實(shí)際問題中，有時(shí)還要考慮在“已知事件A發(fā)生”條件下，事件B發(fā)生概率。

稱為條件概率，記為：定義：A，B兩個(gè)事件，P(A)>0，稱為在條件A下，事件B發(fā)生（條件）概率。25/3526（2）一般，概率與條件概率之間沒有必然大小關(guān)系。注意：（1）條件概率也是概率，因此滿足概率6條性質(zhì)。26/3527例1。設(shè)10件產(chǎn)品中有2件次品，8件正品?，F(xiàn)每次從中任取一件產(chǎn)品，且取后不放回，試求下列事件概率。（1）前兩次均取到次品（2）第一次、第二次取到次品（3）已知第一次取到次品條件下第二次也取到次品27/3528例2：有10個(gè)產(chǎn)品，其中4個(gè)是次品，從中不放回抽取2個(gè)，已知取出一種是次品條件下另外一種也是次品概率。28/35291.4.2概率乘法公式定理：兩個(gè)事件交概率等于其中一種事件概率與另一事件在前一事件發(fā)生下條件概率乘積。即：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)這是兩個(gè)事件交，我們能夠推廣到求有限多種事件交：29/3530例3：把3個(gè)球隨機(jī)地放到4個(gè)盒子中，A表達(dá)有球盒子最小號(hào)碼為3，求P(A)。30/35311.4.3全概率公式、貝葉斯公式

1、劃分：設(shè)Ω為隨機(jī)試驗(yàn)E樣本空間，為E一組事件，若

（1）（2）則稱為樣本空間一種劃分。

31/3532設(shè)Ω為隨機(jī)試驗(yàn)E樣本空間，為樣本空間一種劃分。則：

2、全概率公式與貝葉斯公式32/3533例4、設(shè)有一箱同類型產(chǎn)品是由三家工廠所生產(chǎn)，已知其中有產(chǎn)品是由第一家工廠生產(chǎn)，其他二廠各生產(chǎn)；又知第一第二兩廠生產(chǎn)有2％是次品，第三家工廠生產(chǎn)有4％是次品，現(xiàn)從箱中任取一件產(chǎn)品，問拿到是次品概率為多少？33/3534例5

產(chǎn)品整箱發(fā)售，每箱20個(gè)。各箱有0，1，2個(gè)次品概率分別為0.7，0.2，