線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定判據(jù)課件

§3-5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定判據(jù)一．穩(wěn)定的概念與定義定義：若線性系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其過渡過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零，則稱系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之若在初始擾動影響下，系統(tǒng)的過渡過程隨時間推移而發(fā)散，則稱其不穩(wěn)定。二．線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性，與外界輸入信號無關?！?-5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定判據(jù)一．穩(wěn)定的概念與定義1線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程度所有根均具有負實部，或其特征根全部位于s平面的左半部。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：2線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定判據(jù)課件3三．穩(wěn)定判據(jù)1.Routh穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的特征方程為必要條件:（1）特征方程的各項系數(shù)ai(i=1,2,…,n)都不為零；（2）特征方程的各項系數(shù)ai(i=1,2,…,n)具有相同 的符號。充分條件：勞斯陣列第一列所有元素為正。三．穩(wěn)定判據(jù)必要條件:充分條件：4勞斯陣列勞斯陣列52.Routh判據(jù)的特殊情況（幾點說明）１、為簡化計算，用一個正整數(shù)同時乘以或除以某一行的各項，不改變穩(wěn)定性的結(jié)論。2、對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，說明有特征根位于復平面的右側(cè)，在復平面右側(cè)特征根的數(shù)目，就等于勞斯陣中第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。3、勞斯陣中出現(xiàn)某一行的第一列項為零，而其余各項不全為零，這時可以用一個有限小的正數(shù)ε來代替為零的那一項，然后按照通常方法計算勞斯陣中的其余各項。列出勞斯陣以后，觀察第一列數(shù)值，當ε→0時，含ε項的符號與上、下行符號進行比較，若系數(shù)符號相反，就說明有符號改變。4、勞斯陣中出現(xiàn)全零行，表明系統(tǒng)存在一些大小相等，符號相反的實根或一些共軛虛根。為繼續(xù)計算勞斯陣，將不為零的最后一行的各項組成一個輔助方程，由該方程對s求導數(shù)，用求導得到的各項系數(shù)來代替為零行的各項，然后繼續(xù)按勞斯陣的計算方法寫出以下各行。2.Routh判據(jù)的特殊情況（幾點說明）１、為簡化計算，6符號改變一次符號改變一次符號改變一次符號改變一次7a.某行第一個元素為零，其余均不為零。例：設系統(tǒng)特征方程為，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）特征方程各項系數(shù)大于0；（2）列勞斯陣當ε→0時，，該項符號為負，因此，勞斯陣中第一列系數(shù)符號改變了兩次，系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個特征根位于復平面右側(cè)。a.某行第一個元素為零，其余均不為零。例：設系統(tǒng)特征方程為8改變一次改變一次改變一次改變一次9b.勞斯表某行全為零說明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。例：設系統(tǒng)特征方程為，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）特征方程各項系數(shù)大于0；（2）列勞斯陣勞斯陣中s3行的各項全部為零，為此用不為零的最后一行(s4行)的各項組成輔助方程為將輔助方程對s求導數(shù)，得導數(shù)方程

b.勞斯表某行全為零說明特征方程中存在一些大小相等，但方向相10用導數(shù)方程的系數(shù)取代s3行中為零的項，為簡化計算，各項除以8，并計算以下各行的系數(shù)，得勞斯陣為

新勞斯陣的第一列系數(shù)全為正，即系統(tǒng)特征方程中沒有位于復平面右側(cè)的根。由于出現(xiàn)全零行，表明存在共軛虛根，這些根可由輔助方程求出。令解得虛根為用導數(shù)方程的系數(shù)取代令11線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定判據(jù)課件12線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定判據(jù)課件13解：系統(tǒng)特征方程為為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須：（1）特征方程各項系數(shù)大于0，即要求K＞0；（2）列勞斯陣

第一列各項系數(shù)應大于零，于是有6－K＞0，即K＜6。為使系統(tǒng)穩(wěn)定，K的取值范圍應為0＜K＜6，臨界開環(huán)增益為Kp＝6。例1：已知控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為，試確定系統(tǒng)的臨界開環(huán)增益。3.Routh判據(jù)的應用解：系統(tǒng)特征方程為例1：已知控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為14C(s)R(s)-C(s)R(s)-15線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定判據(jù)課件164.Hurwitz判據(jù)設系統(tǒng)的特征方程為：則系統(tǒng)穩(wěn)定的充