測量學第五章

測量學第五章第1頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)測量誤差的概念第二節(jié)評定精度的標準第三節(jié)觀測值的算術平均值及改正數(shù)第四節(jié).觀測值的精度評定（中誤差）第五節(jié)誤差傳播定律及應用第六節(jié)權(quán)第2頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)測量誤差的概念

一.測量誤差的發(fā)現(xiàn)

1.對同一量多次觀測，其觀測值不相同。

2.觀測值之和不等于理論值 三角形α+β+γ≠180°

閉合水準∑h≠0第3頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

二.測量誤差產(chǎn)生的原因

1.儀器誤差

2.觀測者感官的限制

3.外界條件的影響總稱為觀測條件（必要條件）。等精度和不等精度觀測。

三.測量誤差的分類與處理原則

根據(jù)觀測誤差的性質(zhì)可分為：系統(tǒng)誤差、偶然誤差。第4頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月（一）系統(tǒng)誤差

又稱累積誤差。

特性

在相同的觀測條件下，無論在個體和群體上，呈現(xiàn)出以下特性：

◆誤差的絕對值為一常量，或按一定的規(guī)律變化；

◆誤差在正負號保持不變；

◆誤差的絕對值隨著單一觀測值的倍數(shù)而積累。

第5頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

例

鋼尺：尺長、溫度、傾斜改正水準儀：i角經(jīng)緯儀：c角、i角

觀測值的準確度

指觀測值偏離真值的程度。系統(tǒng)誤差對其有較大的影響。系統(tǒng)誤差對觀測值的影響具有一定的數(shù)學或物理上的規(guī)律：積累性。第6頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）偶然誤差

在相同的觀測條件下，對某個固定量作一系列的觀測，如果觀測結(jié)果的差異在正負號及數(shù)值上，都沒有表現(xiàn)出一致的傾向，即表面上沒有任何規(guī)律性，這類誤差稱為偶然誤差。是由人力所不能控制的因素或無法估計的因素共同引起的，其數(shù)值的正負、大小純屬偶然

大量的偶然誤差具有統(tǒng)計性，或稱之為具有概率論的規(guī)律。第7頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）誤差處理原則

粗差（錯誤）

測錯，記錯，算錯……可以避免 錯誤在測量成果中不允許存在，舍棄重測。

防止粗差和提高成果精度（偶然誤差方面）“多余觀測”發(fā)現(xiàn)粗差剔除或重測，由多余觀測產(chǎn)生的往返差、不符值、閉合差，可根據(jù)差值大小評定精度，超限重測，不超限調(diào)整之。第8頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

系統(tǒng)誤差應盡可能按其產(chǎn)生的原因和規(guī)律加以改正、抵消或削弱，如：

校正儀器、觀測值加改正數(shù)、對稱觀測：水準，前后視距離相等；測角，盤左盤右取平均值。

不同時間的多次觀測，有可能削弱部分情況不明的系統(tǒng)誤差第9頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月四、偶然誤差的特性

Δi＝X－li（i＝１，２…ｎ）

測量誤差理論主要討論具有偶然誤差的一系列觀測值中如何求得最可靠的結(jié)果和評定成果的精度Δi—第i次觀測的偶然誤差X—某一量的真值li—

第i次觀測值

從單個偶然誤差看無規(guī)律，觀察其大量的偶然誤差，就能發(fā)現(xiàn)隱藏在偶然性下的必然性，統(tǒng)計數(shù)量越大規(guī)律性越明顯。第10頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第11頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

（2）

絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會要多；（密集性、區(qū)間性）

（3）

絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的機會大致相等，可相互抵消；（對稱性）

（1）在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度；（有界性）

（4)同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術平均值，隨著觀測次數(shù)的增加而趨近于零，即。（抵償性）偶然誤差的特性：第13頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月若用圖表示，偶然誤差服從正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線的數(shù)學方程式方差為偶然誤差平方的理論平均值：標準差為第14頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)評定精度的標準

為對觀測值的精度作出科學的評定，常用中誤差、極限誤差、相對誤差為評定精度的標準。

一.中誤差定義

在相同條件下，對某量（真值為X）進行n次觀測，觀測值l1，l2，……，ln，偶然誤差（真誤差）Δ1，Δ2，……，Δn，則中誤差M的定義式為：第15頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月式中：M2稱為中誤差平方。實際工作中，由于n值總是有限的，故使用時M的估值常由中誤差m表達，即式中：分析中誤差小，觀測精度高。第16頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]

已知：用甲乙兩臺儀器對同一角各觀測十次，其真誤差為：

解：第17頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月ｍ１<ｍ２第18頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

二.相對誤差中誤差和真誤差是絕對誤差。

僅用中誤差衡量觀測值的精度對某些測量工作來說，還不能正確反映觀測的質(zhì)量。

相對誤差k是中誤差的絕對值m

與相應觀測值D

之比，通常以分母為1的分式來表示，稱其為相對（中）誤差。即

第19頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]

已知：D1=100m,m1=±0.01mD2=200m,m2=±0.01m

求：K1,K2

解：

一般情況

角度，高差用m表示、鋼尺量距用k表示。第20頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

較差率

在距離量測中，常用往返測量結(jié)果的較差率來進行檢合。較差率為

較差率是真誤差的相對誤差。較差率愈小，觀測結(jié)果愈可靠。第21頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

三.極限誤差（容許誤差）

定義

由偶然誤差的特性知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是極限誤差。誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間ｄ△中的概率以ｋ倍中誤差為區(qū)間中誤差出現(xiàn)的概率第22頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月通常以3倍中誤差為真誤差極限誤差的估值，即

Δ極≈3m

。測量中通常取2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差，即Δ容=2m或Δ容=3m

。

作用區(qū)別誤差和錯誤的界限。

k=1Ｐ(Δ

≤m)=0.683=68.3%

k=2

Ｐ(Δ

≤2m)=0.954=95.4%

k=3Ｐ(Δ

≤3m)=0.997=99.7%第23頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)觀測值的算術平均值及改正數(shù)一.

算術平均值（最或然值、似真值）

設在相同的觀測條件下對未知量觀測了n次，觀測值為l1、l2……ln，中誤差為m1、m2……mn，則其算術平均值（最或然值、似真值）為

可證明其合理性和可靠性

第24頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

推導過程

設未知量的真值為X，可寫出觀測值的真誤差公式為（i=1，2，…，n）將上式相加得

或故第25頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月則有由偶然誤差第四特性知道，當觀測次數(shù)無限增多時，Δx趨近于零，即n趨近無窮大時，算術平均值即為真值。第26頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月二．觀測值的改正值算術平均值與觀測值之差稱為觀測值的改正值（v）：

v1=x-l1

v2=x-l2．．．

vn=x-ln

上列等式相加，得

[v]=nx-[l]則[v]=n[l]

／ｎ-[l]=0可證明vi符合“最小二乘原則”第27頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié).觀測值的精度評定（中誤差）

第一公式第二公式其中vi——似真誤差（觀測值改正數(shù)）

條件X（觀測值真值）已知條件X（觀測值真值）未知，x（算術平均值）已知觀測值平均值第28頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：（i=1，2，3，…，n）（a）兩式相減，有即（b）（c）第29頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月將上列等式兩端各自平方，并求其和，則將和代入上式，則式中：（P≠Q(mào)）（d）第30頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月由于為偶然誤差，它們的非自乘積仍具有偶然誤差的性質(zhì)，根據(jù)偶然誤差的特性，即代回原式中，得

（e）將（e）式代入（d）式

移項即證畢第31頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月第五節(jié)誤差傳播定律及應用一.概念

在間接觀測的情況下，未知量的中誤差和觀測值中誤差之間必有一定的關系，闡述這種關系的定律為誤差傳播定律。即根據(jù)觀測值的中誤差去求觀測值函數(shù)中誤差。

求直接觀測值的中誤差第33頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]

三角形中，已知：A、B角的中誤差為mA

、mB，求：C角中誤差mC。

解：，C角是直接觀測值A、B角的函數(shù)。

mC=?[例]

高差測定中的，h是直接觀測值a、b的函數(shù)。第34頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月二、觀測值的函數(shù)（一）和差函數(shù)（二）倍函數(shù)（三）線性函數(shù)（四）一般函數(shù)第35頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月三.線性函數(shù)設線性函數(shù)的一般式為：式中：為系數(shù)；為獨立觀測值。當觀測值的中誤差分別為時，按誤差傳播定律，函數(shù)的中誤差用下式計算：第36頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月nn第37頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月]第38頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

各獨立觀測值的精度相同，設其中誤差均為m。設平均值的中誤差為mx，則有

故由此可知，算術平均值的中誤差為觀測值的中誤差的倍。

例如對某量進行n次等精度觀測算術平均值為第39頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月例第40頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

可見，1次丈量的中誤差為±1.5mm,其相對誤差為

0.0015/120=1/800006次丈量的算術平均值的中誤差為±0.6mm,其相對誤差為

0.0006/120=1/200000第41頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月增加觀測次數(shù)對算術平均值精度的作用第42頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月

例如，在比例尺為l：500的地形圖上量得某兩點間的距離d＝134．7mm，圖上量距的中誤差md=土0．2mm，則換算為實地兩點間的距離D及其中誤差mD為

D=500×134.7mm=67.35m

mD=500×(±0.2mm)=±0.1m

寫成

D=67.35±0.1m倍函數(shù)z=kx的中誤差為

mz=kmz第43頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月四、和差函數(shù)的中誤差設有和差函數(shù)

z=x1

±x2±…±xn

是中，x1

…xn為獨立變量，其中誤差為m1…m2,顧及k1=k2=

…=kn=

±1則得和差函數(shù)的中誤差等精度自變量的和差函數(shù)的中誤差

mz=±m(xù)

√n第44頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月五.一般函數(shù)P=ab第45頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月設非線性函數(shù)的一般式為：式中：為獨立觀測值；為獨立觀測值的中誤差。求函數(shù)的全微分，并用“Δ”替代“d”，得第46頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月式中：是函數(shù)對的偏導數(shù)，當函數(shù)式與觀測值確定后，它們均為常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)，其中誤差為：第47頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]已知：測量矩形的兩邊a=20.00±0.02m,b=50.00±0.04m

求：矩形面積A及其中誤差mA

解：1.函數(shù)式A=a×b=100米2

2.全微分dA=b·da+a·db3.中誤差式∴（m）第48頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]已知：測量斜邊D′=50.00±0.05m，測得傾角α=15°00′00″±30″

求：水平距離D

解：1.函數(shù)式

2.全微分

3.化為中誤差（m）第49頁，課件共55頁，創(chuàng)作于2023年2月六.